巧用图式，发展学生数学思维

涂家凤

【摘要】数学是一门研究数量关系和空间形式的学科.在小学数学阶段，数量与图形存在不可分割的联系，二者结合能够帮助学生实现数学知识的简化学习，从而快速理解抽象复杂的数学理论.文章提出发展学生图式融通思想是十分必要的，以直观的图式引导学生思考其中蕴含的数学思维，对发展学生的数学思维大有裨益.在教学过程中，教师应巧用图式，借助图形的特征引导学生产生数量与图形的连接，促进学生对抽象数学的理解.

【关键词】小学数学；图式融通；数学思维

【基金项目】本文系江苏省教育科学“十三五”规划2020年度青年专项重点资助课题《“好问题”促生图示优化儿童数学认知结构的案例研究》（课题编号：C-a/2020/02/19）的阶段性成果之一

杜威对教育的本质做出了相关论述：“教育即生活、教育即生长、教育即经验的重组与改造.”对于小学数学教学而言，从某种意义上来看，数学教学就是知识的重构、扩大的过程.图式能够基于学生已有的学习经验，构建新的学习模式，这是一种独特的数学表达方式，它能够将数量与图形建立联系，解读数学抽象知识的深层含义，反映出数学内在的规律.一方面，图式能以直观的图形形式存在；另一方面，图式能够抽象出数学知识的本质，加深学生对数学的理解.因此，在小学数学教学中，图式融通为学生提供了认知数学的方式，教师应理性看待数学图式，既要注重其直观性，又要强调其内在的逻辑性，引导学生理解和掌握数学知识，发展数学思维.

一、发展学生图式融通思想的价值

（一）降低数学难度，提高学生学习效率

对于小学生而言，数学具有一定的抽象性，尤其是针对刚入学的小学生来说，接触数学的时间较短，还难以形成数学知识体系，所以通过理论知识的教学，很难使学生透彻理解数学背后蕴含的逻辑思维.通过图式的融入，能够创新教学的方式，降低数学知识的抽象程度，从图式的角度归纳总结数学知识，能够提高学生的学习效率.比如，在教学“认识10以内的数”时，教师可以将学生熟知的事物与数字结合起来，帮助学生初步建立数学思维，使抽象的数字变得更加生动，从而帮助学生更好地接受数学知识，为后续的数学学习奠定良好的基础.因此，教师应注重将数学知识趣味化，通过图式的方法能够实现这一目标，从而降低数学的学习难度，让数学不再抽象，提高学生的学习效率.

（二）建立数学思维，发展学生数学素养

义务教育阶段的数学重视学生建立数学知识与实际生活联系的过程，注重让学生从现实世界中发现数量关系和空间形式，抽象出数学的本质，自然地理解数学背后的原理，形成数学素养.图式融通的方式能够让学生从图形中获取更多与数学有关的知识，比如在把握时间、速度、路程关系的过程中，融入图式，能够为学生提供更加直观的数学解释，让学生结合实际的生活問题，进一步把握三者之间的关系，这也是学生发展思维的重要过程.所以，数学思维的建立并非单一的理论知识传授，更重要的是建立数学知识与实际生活的联系，从而让学生能够在实际的问题中发现知识与生活的联系与规律，进行数学探究，结合图式获取关键的数学理论，逐步建立数学思维，发展数学素养.

（三）积累数学知识，完善学生知识结构

图式融通思想提倡对知识的拓展进行知识体系的构建.学生学习数学知识并非靠外力实现的，而是结合已有的数学知识，不断加深数学认知结构，完善和拓展数学知识体系.在这一过程中，学生能够将数学知识进行有机联系和整合，使学生能够不断积累数学知识，运用图式呈现知识，并促进数学知识体系化，让学生从整体的角度理解和掌握数学知识，深化学生的数学素养.

二、图式融通思想在小学数学教学中应用的策略

（一）创设图式，理解抽象知识

在小学数学学习中，学生需要掌握抽象的概念、定理、公式等，并以此为依据展开计算、解决问题.但是小学生由于数学学习经验不足，在理解抽象概念的过程中存在许多困难，光靠死记硬背并不能带来很好的数学学习效果.如何能够帮助学生更快速地理解抽象的数学概念、定理等就需要教师在教学过程中融合图式，以图式为辅助，帮助学生解决学习难点，使抽象的数学知识转化为直观的图形解释，用图式的方法帮助学生掌握数学概念，从而获得对数学的理性认识.

（二）挖掘关联，建立知识体系

小学数学的知识体系遵循由易到难的原则构建，从基础的知识点展开，逐渐增加数学知识的难度和复杂度，教学内容螺旋递进，从而形成一个完整的知识体系.简单来说，小学数学知识之间存在很大的关联性，一个知识点的深入探究常常能启发学生对其他知识点的进一步思考和理解.但是就目前小学数学教学而言，教师容易忽略知识之间的联系，导致数学知识碎片化，学生难以通过学习实现思维能力的提高，反而可能对发展数学思维及建立数学知识体系产生负面影响.所以在数学的教学中，教师应重视教学的整体性，可以借助图式挖掘数学知识中潜在的关联，更直观地帮助学生掌握数学知识，建立知识体系.

以苏教版四年级下册“三角形、平行四边形和梯形”的教学为例.本单元的教学目标是加深学生对三角形、平行四边形和梯形的认识与理解并掌握图形的特征，掌握“底和高”的概念，培养学生观察、操作、分析、概括、推理等数学能力，发展学生空间观念.比如在学习“平行四边形”的相关定义和特征时，教师可以先引导学生结合生活经验，说一说在生活中见到的平行四边形，让学生在脑海中构建图式，加深学生对平行四边形的定义与特征的理解.并且在学习本单元之前，学生已经掌握了正方形与长方形的概念，教师可以引入学生比较熟悉的数学知识，开展教学，并结合图式，加深学生对概念的理解.如在板书上展示长方形，引导学生观察并思考长方形和平行四边形的联系，长方形是否能够转化成平行四边形.通过对比，学生可以总结出长方形与平行四边形的相同点为：长方形和平行四边形的都有四条边、四个角，内角和均为360度，相对应的两条边平行；不同点：长方形的四角均为直角，而平行四边形有两个锐角，两个钝角，所以说长方形也是特殊的平行四边形.在图式的指导下，学生能够建立平行四边形与长方形的知识体系，将平行四边形的性质与长方形的性质进行区分和联系，从而巩固和加深对平行四边形性质的认识.这样一来，新学习的数学知识在学生眼里不再陌生抽象.在教学“三角形的分类”时，教师也可以融入二年级下册“角的初步认识”的相关知识，先简单地引入复习的知识，帮助学生回顾“锐角”“钝角”“直角”的相关概念，并将其与“锐角三角形”“钝角三角形”“直角三角形”进行图式对比，再引导学生将旧知识有效转化为新知识，促进学生实现知识的连贯性和拓展性.所以对于小学数学教学而言，新知识的教学建立在旧知识的基础上，教师应关联知识的内在逻辑，并将其呈现给学生，让学生也能够挖掘知识的关联，从而建立完整的知识体系，实现思维的拓展.

（三）数形融合，优化逻辑思维

数量和图形的融合具有内在的逻辑性，图式融通思想并不仅仅是通过图形深入挖掘数学理论知识的过程，这会导致教学内容过于机械性，固化学生的思维.教师应起到启发、引导的作用，让学生在教师的引导下，自主搭建图式，探索数学与图式之间的关联，从而真正地促进学生图式融通思想的内化，让数学学习真正地实现从量变向质变的升华.

以苏教版五年级下册“圆的面积”的教学为例.教材中展示了由“圆”转变为“平行四边形”的过程，在图式的变化中，推导总结出圆的面积公式为S=πr，记住圆的面积公式对于大多数学生而言没有难度，但是数学教学应注重学生的过程性学习，也就是说，在圆的面积推导公式过程中，学生应熟练地掌握图式的变化，能够深化对图式的理解，从而更深刻地把握圆的面积公式，并且能够面对更多不规则图形面积的计算.所以在这一教学过程中，教师应鼓励学生进行自主探索，比如组织学生开展小组合作学习活动，根据教材中的提示，以及教师的教学引导，能够通过动手操作，讨论认知等方式，加深对圆面积公式推导过程的理解.通过以上教学方法的实施，圆的面积公式不再是学生需要死记硬背的内容，而是通过自主学习过程中得以深化理解的体现.图形变化的过程蕴含着丰富的数学逻辑知识，这正是学生需要掌握的图式融通思想，理解图形中蕴含的变化和逻辑，而非简单地套用公式，陷入无效学习.

（四）解决问题，激发学生数学思考

学习数学的最终目的是能够运用数学思维以及数学理论知识解决生活中的数学问题，综合运用知识促进数学思维的提升.因此在数学的教学过程中，引导学生运用图式融通思想解决相关的数学问题也是教学的关键内容，因此教师应重视引导学生展开习题练习，并找到恰当的解決方法，深化学生对知识的理解与应用，实现用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界的培养目标.

以“相遇问题”的练习为例，这部分练习能够有效提高学生数学运算的能力，能够结合相关的实际情境以数学的思维展开解决，所以对于大多数小学生而言，这部分习题解决起来比较吃力，理解起来也相对困难，所以教师可以引导学生融合图式进行解题，将题目中给出的有效信息，用画图的方法呈现出来，帮助学生掌握解决习题的能力.

例 甲、乙两列火车同时从相距1000千米的两地相向而行，6小时后两车还差130千米相遇，甲车速度为85千米/小时，求乙车每小时行驶多少千米？

阅读题目，可以发现题目中给出了许多数字信息，如果直接进行解题会导致许多学生出现无从下手的情况，对于这一问题，教师可以指导学生将甲、乙两列火车的距离用线段表示，并在线段图中分别画出甲、乙两辆车的位置，经过6小时的行驶后，再运用另一个线段图表示出甲、乙两车的位置，直观地将题目中的数学信息呈现在线段图中.这样，学生能够理解题目的含义，深化数学的思维，从而呈现出具体的解题过程：1000-6×85=490（千米），（490-130）÷6=60（千米/小时）.不仅此类问题可以通过图式帮助学生直观展示数学信息，还有很多实际问题也可以引导学生引入图式，如多边形面积、百分数计算等，都可以融合图式，对习题内容进行重新解读，让数学知识变得更加直观，促进学生对数学的理解，激发学生的深度思考.

结 语

总之，图式融通思想体现了学生解决问题、融会贯通的学习过程，是学生将已有的学习经验与数学的基本学习活动进行综合体现的过程.图式能够促进学生认知的不断发展，将复杂抽象的数学理论知识具体化，进一步帮助学生建构数学知识体系.因此，教师应秉持“以人为本”的理念，将发展学生图式融通思想与数学教学相结合，使复杂的数学数量关系形象化，让原本分散、孤立的数学知识点在图式的架构下实现结构化.如此，学生才能够更好地经历数学的学习过程，构建立体化的数学思维，为其终身学习奠定坚实的基础.

【参考文献】

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[3]李相林.图式融通：给未知的数学世界画图———基于单元视角的小学数学图式融通教学实践与思考[J].小学数学教育，2020，（10）：17-20.