Cartan-Egg 域与复欧氏空间的不相关性

程晓亮 ,王 博 ,郝毅红

（1.吉林师范大学 数学与计算机学院,吉林 四平 136000;2.西北大学 数学学院,西安 710127）

0 引言

近年来,从Kähler 流形到复空间形式的全纯等距嵌入问题引起了许多数学家的关注.文献[1]给出了不同类型的Hermite 对称空间具有不可嵌入的结果.与全纯等距嵌入的存在性密切相关的研究课题是Kähler 流形的公共Kähler 子流形的存在性问题.文献[2]将两个复流形在各自的诱导度量下具有公共的Kähler 子流形的情形称为相关的,否则称为不相关的,并证明了具有Bergman 度量的有界域与具有Fubini-Study 度量的射影流形是不相关的.Mossa[3]证明了具有Kähler 度量的有界齐性域与具有Fubini-Study 度量的射影流形是不相关的.文献[4]通过不同的方法证明了非紧型的Hermite对称空间与具有平坦度量的复欧氏空间是不相关的.Loi 等[5]证明了具有Kähler 度量的有界齐性域与任何射影Kähler 流形都是不相关的.随后,Cheng 等[6]给出了有限维Fubini-Study 空间与不同曲率空间相关的充要条件,这是Umehara 结论的非平凡推广.Cheng 等[7]证明了具有Bergman 度量的Cartan-Hartogs 域与具有平坦度量的复欧氏空间是不相关的.Su 等[8]证明了具有正则度量的对称多圆盘与具有平坦度量的复欧氏空间是不相关的.Cheng 等[9]给出了实解析Kähler 流形与具有标准度量的复空间形式不具有相关性的充分条件.作为直接应用,可以得出具有Bergman 度量的最小球、有界齐性域与复欧氏空间均为不相关的.

本文主要研究具有Bergman 度量的Cartan-Egg 域与具有平坦度量的复欧氏空间的相关性.Cartan-Egg 域是一类非常好的有界非齐性域,其Bergman 核函数具有显表达式.如果一个域的Bergman 核函数是Nash 函数,容易分析在其诱导的Bergman 度量下与复欧氏空间的相关性,而Cartan-Egg 域的Bergman 核函数不是Nash 函数,故已有方法不能直接使用.在定理1 的证明过程中,通过分析Cartan-Egg 域的Bergman 核函数的偏导函数的性质克服了这一困难.

1 Nash 函数和相关性

定义1[2]如果存在两个Kähler 嵌入h1:S →M1,h2:S →M2,使得Kähler 流形M1和M2具有公共的子流形S,则称M1和M2是相关的.否则称M1和M2是不相关的.

定义2[4]设D是n维复欧氏空间 Cn上的连通开集,f是D上 的全纯函数,对于任意的x0∈D,存在x0的开邻域U和多项式函数P:Cn×C→C ,其中P≠0 .使得对于任意的x∈U有P(x,f(x))=0,其中

s为自然数,σ0,σ1,···,σs是 Cn上的多项式且σ0≠0 .则称f是在x0处的Nash 函数.

引理1[4]在D的开子集上,全纯多项式和全纯有理函数都是Nash 函数.

引理2[4]D上的Nash 函数族记作N(D) ,设f,g ∈N(D) .则有以下性质:

那么H(ξ1,ξ2,···,ξκ) 是V上的常值函数.

2 Cartan-Egg 域的Bergman 核函数

n维复欧氏空间中的有界域都存在唯一的Bergman 核函数,但是可以显式求出Bergman 核函数的域只有有界齐性域和蛋型域.殷慰萍[10]引进如下Cartan-Hartogs 域:

上式中:N是正整数;ρ是正实数;Ω是4 类典型域;NΩ(Z,W) 表示典型域上的一般模.4 类Cartan-Hartogs 域的Bergman 核函数都具有显表达式[11].

在此基础上,殷慰萍[10]将上述Cartan-Hartogs 域推广为Cartan-Egg 域:

上式中:M,N是正整数;µ是正实数;Ω是4 类 典型域.用EⅠ,EⅡ,EⅢ,EⅣ分别表示第1 类,第2 类,第3 类,第4 类Cartan-Egg 域:

上式中:m,n,p,q是正整数;µ是正实数;Z分别表示m×n矩阵,p×p对称方阵,q×q斜对称方阵和1×n矩阵;Z¯ 表示Z的共轭;ZT表示Z的转置;RⅠ,RⅡ,RⅢ,RⅣ分别表示第1 类典型域,第2 类典型域,第3 类典型域,第4 类典型域.要算出上述Cartan-Egg 域的Bergman 核函数,只需算出当M=N=1 时相应Cartan-Egg 域的Bergman 核函数.再对W1和W2连续两次应用膨胀原理就可以得到M,N为一般情况时的Bergman 核函数.下面给出4 类Cartan-Egg 域的Bergman 核函数的显表达式[11].

第1 类Cartan-Egg 域的Bergman 核函数:

3 主要结论

定理 1设D是 C 的连通开集,F:D →Cn,L=(G,H,S)=(g1,g2,···,sN):D→MΩ(µ) 都是全纯映射,满足L(0)=0 .如果在D上有

其中F∗,L∗均为拉回映射,那么F一定是常值映射.

推论1Cartan-Egg 域与复欧氏空间不存在包含零点的公共Kähler 子流形,即Cartan-Egg 域与复欧氏空间不相关.

成立,其中b1,b2,···,bs为正常数,那么F一定是常值映射.

4 定理1 的证明

本章将采用文献[4]中的证明方法证明定理1.

在4 类Cartan-Egg 域的任意点p的邻域U上固定局部坐标系z,在U上存在实解析的Kähler 势φ:U →R .它可以解析延拓到对角的开邻域W⊂U ×c(U) 上,其中c(U)={z ∈Cn|z¯∈U}.用φ(z,w)表示φ(z) 的延拓,称为φ的极化.通过极化式(2)等价于

下面分成3 步证明定理1.

步骤1 对于任意的 1 ≤i≤n,可证fi(z)是L(z)=(G(z),H(z),S(z)) 的全纯多项式,也就是证明存在全纯多项式Pi(z,X),i=1,2,···,n,使得fi(z)=Pi(z,L(z)) ,必要时将D向原点收缩.

式(3)两侧同时对w微分,当w充分接近0 时,可得

设vj(j=1,2,···,n-τ) 是L的欧氏正交补的一组基,则有

当w=0,δ=(δ1,δ2,···,δτ) 时,将式(6)—(7)整理成矩阵的形式,应用克莱姆法则,可得

当w=0 时,对F(z) 而言,式(8)左侧的系数矩阵是非奇异矩阵.式(8)右侧的矩阵的每一行元素是L=(G(z),H(z),S(z)) 的全纯多项式.由克莱姆法则可知,fi(z) 是(g1(z),g2(z),···,gmn(z),h1(z),h2(z),···,hM(z),s1(z),s2(z),···,sN(z))的全纯多项式.自然也是Nash 函数.

步骤2 假设g1(z),g2(z),···,gmn(z),h1(z),h2(z),···,hM(z),s1(z),s2(z),···,sN(z) 都是全纯的Nash 函数.通过第1 步证明过程,fi(z) 可以写成

等价于式(3).通过引理3 可知,F=(f1,f2,···,fn) 是常值映射.

步骤3 假设(g1(z),g2(z),···,gmn(z),h1(z),h2(z),···,hM(z),s1(z),s2(z),···,sN(z)) 中存在一些元素不是Nash 函数.设Q是由z形成的有理函数域,其中z ∈D.

考虑域的扩张

即D上有理函数域的最小子域包含Nash 函数和g1(z),g2(z),···,gmn(z),h1(z),h2(z),···,hM(z),s1(z),s2(z),···,sN(z) .简记L=(G(z),H(z),S(z))=(g1(z),g2(z),···,gmn+M+N(z)) .设O={g1(z),g2(z),···,gl(z)}(l≤mn+N+M) 是Y的极大代数无关子集.因此,Y/Q(O) 是由Nash 函数生成的集合,Nash函数是多项式的根,由Nash 函数构成的域超越次数为0,故Y/Q(O) 的超越次数为0.

故{g1(z),g2(z),···,gl(z)}在Q上是代数相关的,与假设O={g1(z),g2(z),···,gl(z)}是Y的极大代数无关子集矛盾.则Φ(z,X,w) 关于w的泰勒展开式中,系数Φk(z,X,0) 恒为零.令Φ(z,X,0)=0,故Φ(z,X,w)≡0.于是可得方程