例谈证明函数零点唯一性问题的有效策略*

管良梁

⦿安徽省合肥市第四中学

1 例题呈现

2 解题策略探究

2.1 分区间研究法

所谓分区间研究法就是将函数的定义域分成几个区间，在不同的区间里对函数进行研究.

2.2 构造辅助函数法

所谓构造辅助函数法就是根据题干构造一个新的函数.借助对新构造函数的研究，解决原函数所涉及的问题.

2.3 数形结合法

数形结合是一种数学思想.所谓数形结合法，就是将代数问题与几何图形结合起来，代数问题和几何问题相互转化，把复杂问题简单化.

因为r(x)=xex(x>0)，所以r′(x)=ex+xex=ex(x+1).

因为x∈(0,+∞)，所以r′(x)=ex(x+1)>0.

故函数r(x)=xex在(0,+∞)上单调递增.

因为x→0时，r(x)→0，且x→+∞时，r(x)→+∞，所以函数r(x)=xex(x>0)的图象如图1中所示.

图1

图2

即证函数h(x)=x2ex(x>0)的图象和函数g(x)=-lnx的图象有唯一交点.

因为h(x)=x2ex(x>0)，所以h′(x)=2xex+x2ex=xex(x+2).

由x∈(0,+∞)，得h′(x)=xex(x+2)>0.

所以函数h(x)=x2ex在(0,+∞)上单调递增.

因为x→0时，h(x)→0，且x→+∞时，h(x)→+∞，所以函数h(x)=x2ex(x>0)的图象如图2中所示.

易知，函数g(x)=-lnx的图象，如图2所示.

由图2可知，函数h(x)=x2ex(x>0)的图象和函数g(x)=-lnx的图象有唯一交点B，所以方程x2ex=-lnx(x>0)有唯一解.

函数的零点等价于对应方程的解，也等价于对应函数图象与x轴交点的横坐标.不同的问题采取不同的方法，使得复杂问题简单化，转化为我们熟悉的函数或方程加以解答.