透析作业的价值和功能，优化作业设计

江苏省南京市共青团路小学 刘正娟

数学教育家斯托利亚尔指出，数学教学是数学思维活动的教学，不仅仅是数学活动的结果，也是数学思维的过程。数学教育要遵循学生思维发展的规律，有效促进学生的思维发展，而教师要培养学生的思维能力，首先要读懂学生的思维，作业既能反映学生的思维，也能反馈学生对知识的掌握程度。因此，优化作业设计的，既能促使学生知识技能的达成，也是学生作业减量增质的关键。

一、透析数学作业价值，理解学生的数学思维

“读”有看、阅读之意，“懂”有知道、了解之意，“思维”是在表象、概念的基础上进行分析、综合、判断、推理等认识活动的过程。在数学活动中，要读懂学生数学学习的过程，不但要关注学生数学学习的过程，还要关注他们在数学活动中的思维。

在以往的教学中，教师更关注的是零散知识点的教学，更多追求的是达成课时目标，在课堂上，要想读懂学生的思维，往往是通过师生交流、生生互动来实现的，但由于授课时间和学生人数影响，教师在课堂上要读懂每个学生的思维还是有困难的。因此，作业就成为教师检验学生学习效果必不可少的方式。数学作业是教师与学生交流的重要方式，是读懂学生思维的主要途径，通过作业，教师可以了解学生的思维和其在解题过程中迸发的思维火花。但很多教师在批改作业时，着眼点仅仅放在“对”与“错”上。学生作业无论对错，都反映了他在学习过程中的思维活动，尤其是一些具有创新性的作业、一题多解的作业，教师除了要关注学生作业的对错，还要倾听学生的不同解题思路，帮助学生养成从不同角度思考问题的习惯，培养学生的创新意识。

教师批阅作业的过程是与学生一对一交流的过程。学生作业中存在大量信息，教师仔细品读可以发现学生对数学知识和数学问题的理解，如知识、能力、思维方式、思维习惯等信息都可以从学生作业中体现出来。如果教师能注意到这些，就可以更加全面地了解学生的学习过程和思维状况。

二、透析数学作业功能，读懂学生的思维活动

在实际教学中，“翻看教材—读懂教参—研究学生—设计教学流程”是教师备课时的惯用步骤，同时，教师还要参与学生的学习过程，重视对作业的批阅，从中读懂学生对数学知识的理解。批阅学生的数学作业时，教师可以读懂学生的以下思维活动。

（一）批阅作业——读懂学生对数学知识的理解程度

教师批改作业时，可以了解学生对数学知识的理解程度以及运用数学知识解决问题的能力。一般情况下，从作业中能直接看出学生是否掌握了相关数学知识，能否运用数学知识解决实际问题。即便是学生做错了，错题中也蕴含着大量的解题信息。

（二）错误资源——分析学生数学思维与知识缺乏的原因

仔细阅读学生作业中的错误，我们会发现错误有很多类型,如计算错误、列式错误等，这些都是我们分析学生掌握和理解情况的教学资源，也是我们了解学生学习习惯、思维方式的重要资源。站在学生角度分析学生的作业，仔细品读，就会发现学生错误的原因。

1.解题时，受认知水平以及过往活动经验的干扰而导致的错误

2.解决问题时数据用错而导致的错误

下面的例子反映了学生在解题过程中的思维活动正确，但在提取信息时出现了问题。

已知“方中圆”（见图1），正方形的面积是40平方厘米，求圆的面积。

图1

生答： 40÷4=10（厘米）

10÷2=5（厘米）

3.14×52=78.5（平方厘米）

分析学生作业，我们可以发现学生是通过分步来计算圆的面积的，从第二步可以看出学生求出了圆的半径为5厘米。自上而下可以推断学生的思维活动：要求圆的面积就要知道圆的半径。学生第一步先通过正方形的面积40平方厘米，求出正方形的边长（也就是圆的直径）40÷4=10（厘米），进而求出半径为5厘米，最后求圆的面积。纵观学生的解题过程，思路清晰，却犯了一个错误，学生把正方形的面积看成了周长。

由此分析原因：该生对“方中圆”的特点认识深刻，“正方形的边长就是圆的直径”，所以他更多关注的是图形中的数据，再加上读题不仔细，导致错误。正确的解题思路为：要求圆的面积就得知道圆的半径，但此题圆的半径以学生目前的知识水平求不出来，如果把这个正方形平均分成四份（见图2），不难看出，每个小正方形的面积就是半径r的平方，即r2，这样就可以求出圆的面积，即40÷4=10（平方厘米），3.14×10=31.4（平方厘米）。

图2

三、关注学、教、评一致性，优化作业设计

1.关注教学，精准设计作业内容

小学数学中的很多概念、规律、思想方法比较抽象，学生容易产生“迷思概念”，很难获得精准的理解。因此，教师需要瞄准时机引入一个话题，让学生展现内隐的思维，通过对比、分析，突破难点，获得更深的数学理解。如苏教版数学四年级下册“乘法分配律”新授课的课后作业：

乘法有乘法分配律，那么除法是不是也有除法分配律呢？

生1认为有除法分配律，（a+b）÷c=a÷c+b÷c，该生通过列式得出（8+12）÷2=20÷2=10，而8÷2+12÷2=4+6=10，所以是成立的。

生2认 为 没 有 除 法 分 配 律，12÷（2+4）=2，而12÷2+12÷4=9，两个式子的得数不相等，所以没有除法分配律。

乘法分配律相对于其他运算律而言，其算式结构和内在意义比较复杂，学生往往机械记忆“合”与“分”的外形特征。在作业情境中，生1的想法是学生普遍存在的负迁移。完成作业时，学生有的举例多个算式，不同水平的学生都在原有的基础上有了新的思维提升，有效地突破了学习难点。

2.关注学情，精准设计作业层次

数学知识是前后相连的,适时设计有层次的作业,把前后连贯性强的知识整合在一起，能增加作业的思维含量。学生在完成练习时，就能对这些知识有更加深刻的理解，起到以点带面的作用，学生高阶思维的能力也能得到一定的训练。

如在苏教版数学五年级下册“解决问题的策略——转化”中，笔者设计了以下操作性作业，让学生画图并思考：

“纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行。”多设计具有可操作性的作业，关注学生的学情，设计层次丰富的作业，在数学学习中注重培养学生的动手操作能力。当动手操作变成学习的一部分，那么学生对知识的掌握就会更好。

3.关注能力，优化作业设计形式

作业可分为课前作业、课中作业、课后作业、课时作业、单元作业、探究性作业、延展性作业等，教师要根据教学内容、教学需要、学生的实际水平，布置适合学生学习、注重能力提升的作业。

安德烈·焦尔当指出，人们是在体验、检验、掂量中学习的。听一听别人的经验，把它们记在大脑里，也就是积攒一些信息，不足以算作学习。教师需要引导学生与现实“对质”，搞清楚一种模型是以什么方式对自己“说话”的，以及一个公式如何概括事情的前因后果。

如苏教版数学五年级上册“平行四边形的面积”的课后作业：

用细木条钉成一个长方形框，长12厘米，宽7厘米。它的周长和面积各是多少？如果将其拉成一个平行四边形，周长变了没有？面积呢？（见图3）

图3

这一类型的练习确实有一定难度，教师讲了很多遍仍然有部分学生会出现错误。让学生利用学具拉一拉，学生发现平行四边形和长方形的周长是相等的，但它们的面积不相等。学生通过小组合作探究得出：平行四边形的底是长方形的长，平行四边形的高却不是长方形的宽，比长方形的宽短，所以，长方形被拉成平行四边形后面积变小了，因为高变短了。在此基础上，有学生提出想法：如果把平行四边形拉成长方形，长方形面积变大了，因为底不变，高变长了。学生动手操作探究，根据图形的变形和变形过程中的变化，领悟变与不变在交替过程中的数学思考。此题为学生体验数学知识的形成过程、检验数学猜想提供了平台，引导学生在“做中学”，通过数学实验，大胆地与数学现实“对质”，在科学探究中培养理性精神。

读懂学生作业的真实想法，有助于教师了解学生为什么出错，有助于教师改进教学，也有助于教师针对教情、学情有针对性地布置作业。在“双减”政策的背景下，我们不仅要研究教学，还要研究学生的“学”，心中有学生，布置作业时关注学生的水平层次，提高作业的质量，提升教学的实效性。