指向学力生长的数学任务设计*——以六上《求百分率的实际问题》一课的教学为例

赵兆兵

通俗地讲，“学力”就是一个人的学习能力，是对个体学习过程与结果的综合表征。数学学力是一种以数学思维为核心的综合素养。它既包括数学知识、经验技能、思想方法等认知因素，又涉及学习情感、态度、价值观等非认知因素。数学学力不仅决定了学生当下数学学习的成效，更深刻影响其未来数学学习的走向。数学学力的培育最终要落实到具体的数学学习活动中。在教学中，教师基于自己的教学理解，将数学知识转化为一个个富有挑战性的、恰当的数学活动，并对其内容与形式进行系统筹划，即数学任务设计。数学任务将情境、问题与活动融为一体，对学生数学学力的形成与发展具有重要的影响。高水平的数学任务能够引发学生深层次的、实质性的思维参与，让数学学习成为他们发现意义、建构意义的过程，成为其数学学力不断积淀与攀升的过程。下面，笔者以苏教版六上《求百分率的实际问题》一课教学为例，谈一些实践与思考。

一、创设真实情境，构造意义学习境脉

学习并非仅在个体身上发生。相反，学习总是嵌在一个社会性的情境中。真实情境是指一种包含数学信息的综合问题情境，其通过对现实问题的高度还原，使人从情节、事件、人物关系中挖掘和丰富自我角色定位，展开想象，围绕现实问题展开行动，激起内心逼真的情感和灵活的思维。因此，教师在设计数学任务时，可以通过创设真实的情境，把数学问题嵌入丰富的学习场景之中，帮助学生将学科知识与自身经验合二为一，生成对数学知识深刻而有意义的理解。

课始，教师首先演示一个小实验：在烧杯里放入适量的水和一只鸡蛋，鸡蛋沉在杯底，接着加入一些食盐，并用小棒不停地搅拌，鸡蛋就浮起来了。学生一下子就被有趣的实验所吸引，充满了浓厚的探究兴趣。教师顺势提问：从数学的角度，你能提出一个什么问题呢？将学生的思维自然引到盐水的“含盐率”上，“什么是含盐率？”“当一杯盐水含盐率达到多少时，鸡蛋会浮起来呢？”“有个同学也想研究这个问题，他该这么做呢？”经过一番交流之后，教师指出：这位同学跟大家的想法一样，他调配了这样的三杯盐水（如图1），你能算出它们的含盐率分别是多少吗？在三个烧杯中分别放入鸡蛋，你觉得结果会怎么样呢？学生讨论之后，教师再次演示放入鸡蛋，1 号杯鸡蛋沉了下去，2 号杯鸡蛋也沉了下去，3 号杯鸡蛋浮了起来。接着，教师引导学生思考：根据这个实验结果，我们能得到什么结论呢？

（图1）

情境学习理论认为，知识、思维和学习的境脉紧密联系并且都存在于实践中，当个体试图弄清楚一个情境并从他的知识经验中建构解决方法时，总是会创建一个关于该情境的心智模型。在重新建构自己的想法和知识以适应新情境的过程中，人脑不可避免地会独自重新建构一些原因——与情境形成关联。正是因为有了这样的关联，情境才具有意义。在上述教学中，教师将教材中学生的出勤率问题置换为一个科学小实验。现实的活动场景、有趣的实验现象激发起学生强烈的学习兴趣和探索热情。在教师的引导下，学生尝试提出问题并展开实验探索。在模拟帮助一位同学计算实验数据、验证实验结果的过程中，真实的问题情境赋予了学生探索者的角色、研究者的身份，使他们真切地感受到了实验研究的乐趣和数学学习的意义。

二、提出核心问题，理解数学知识本质

问题是教学的载体，也是数学任务设计的关键。数学课堂上从来不缺少问题，缺少的是那些能够揭示知识本质、启发学生思维的核心问题。核心问题也称“过程结构化问题”，美国学者Beyer 认为，它是“一系列能够引导学生依次通过某个特定的思维操作的基本心理步骤的问题”，是“能够集中、引导和调节学生初始思考成果的问题”。可见，核心问题不是一个静态的、单向度的概念，而是一个动态的、多维度的概念。它是教学的统领，在揭示教学内容的数学本质、推进学生的数学思考方面具有重要作用。教师在教学时，应注意带着批判的眼光精心设计问题，引导学生发现真实的问题，思考真正的问题，促进他们展开真正意义上的数学学习，不断逼近数学的本质。

在学生认识了“含盐率”之后，教师播放一段新闻视频——某地成功调解一起因水稻种子发芽率低引起的纠纷。并引导学生思考：什么是水稻种子的发芽率？国家规定，水稻种子的发芽率标准是85%，这是什么意思？怎样才能知道水稻种子的发芽率？在充分交流之后，教师出示问题：王叔叔需要购买一批水稻种子，他选择了三个品种的水稻种子做发芽实验。根据下面的实验结果（如表1），你认为王叔叔会选择哪个水稻品种？在解决了发芽率问题之后，教师引导学生深入思考：你在生活中还见过哪些百分率？它们的含义是什么？生活中为什么会有这么多的百分率？它们有什么共同的特点？在此基础上归纳出百分率计算的基本数量关系，即百分率=比较量÷总量。

表1 三种水稻种子发芽实验结果统计表单位：粒

教学要向学生揭示“伟大事物的魅力”。数学教学不能一味地让学生沉迷于符号的世界，而要让他们感悟问题的本原和数学表达的意义。本课的教学重点是揭示百分率的数学本质，即它是一个部分量与整体量比较的数学模型，在实际生活中，只要遇到类似问题都可以用百分率来解释和解决。上述教学中，教师通过一段新闻视频，自然引出“选购水稻种子”的学习任务，通过引导学生理解“种子发芽率”，进一步丰富他们对百分率的理解。教师接着引导学生思考：生活中为什么会有这么多的百分率？它们有什么共同的特点？一系列问题前后关联，相互支撑，共同构成本节课学习的核心问题。教学中，不是所有的问题都是核心问题，但我们可以从学科的上位知识、学生的真实思维过程中梳理、提炼和架构教学的核心问题，用问题驱动学生学习，让学生透过事实性知识达到对概念的深刻理解。

三、丰富活动体验，推动思维深度参与

数学任务通常由一系列数学活动组成。课堂上，学生参与数学活动可以从外显（行为）与内在（思维）两个维度进行区别，也可以根据参与的深度进行“表层参与”与“深度参与”的程度划分。就数学学习而言，高水平的思维参与是我们应该着力追求的，低水平的思维参与是应该避免的，特别需要注意避免高行为参与和低思维参与的情况，即课堂表面的热闹掩盖了真实的思维发生，这种情况常常迷惑教师的判断，从而造成学生学习的浅层与低效。因此，教师设计数学任务时需要更多从学生学习的角度思考，任务本身是否能为学生提供判断推理、建构意义和解决问题的机会，是否能为学生深入探索与思考提供支持，是否需要学生付出一定的努力，等等。

在学生初步理解了百分率的概念后，教师设计如下数学任务：刚刚有同学说到了“投篮命中率”，今天，老师带来了一个投篮小游戏。让我们一起来测试一位同学的投篮水平，怎么样？接着，请一名学生现场演示投篮。学生投篮一次后提问：现在的命中率是多少？如果再投一次，命中率会变成多少？随着投篮次数与投中次数不断变化，让学生不断计算这个同学的投篮命中率。投5 次之后引导学生思考：现在的投篮命中率是多少？如果让他再多投几次，投篮命中率会怎样变化？这些投篮命中率中，你觉得哪个能代表他真正的投篮水平？

学习不是传递，而是参与。数学学习从表层走向深入，离不开学生的思维参与。只有思维深度参与学习过程，学生才能真切体会数学知识丰富复杂的内涵，实现经验的提升与思维的转变。上述教学中，教师精心设计了一个现场投篮小游戏，让学生亲历现场投篮、收集数据与计算命中率的完整过程，在感受投篮命中率随着投篮次数与投中次数不断变化的过程中，进一步深化学生对百分率本质的理解，促进他们感受到百分率（作为统计量）在刻画现实生活的事物或行动方面的意义与价值。从静态的数据计算到动态的活动感受，高水平的数学活动不断将学生的思维引向深入，让知识的深度理解与技能迁移成为可能。

四、促进知识建构，形成真实的数学学力

学习不是浅层的感知，而是要在学习后产生新的概念，并且与既有知识之间形成链环，从而表现出更好的结构，更优的链接，更丰富的意涵。瑞士学者安德烈·焦尔当教授认为，学习是知识意义的炼制过程。一方面，新的信息在与个体原有的心智结构之间的融合是一个极其复杂的过程；另一方面，知识只有在新的情境中被调用起来，学习者才能感受到它的价值与意义。因此，数学教学要注意问题与结构之间的平衡，数学任务不仅要让学生亲历问题解决的过程，还要帮助学生从单纯的行动中解脱出来，引导他们在反思与运用中建构自己的理解，通过对学习经验进行更精细的加工，实现更深层次的思考，形成真实的数学学力。

在对整个学习过程展开回顾之后，教师再次将百分率与生活联系起来，设计如下数学任务：百分率就在我们身边，请你判断一下，下面三句话都是真的吗？（1）妈妈做了一碗汤，含盐率是15%，小明觉得很美味；（2）最新数据显示，我国的森林覆盖率已达到22.96%，居世界第一；（3）国家卫健委的数据表明，今年我国小学生近视率高达45.7%。

结合前面的学习经验，学生都认为前两句话是假的，第三句可能是真的。那么，有没有办法证明一下呢？学生自然想到，可以在班级进行调查，经过简单的数据收集与计算之后，学生认为“近视率”可能是真的，因为班级学生的近视率与它比较接近。接着，教师通过一个新闻视频验证了学生的想法，并且进一步引导他们思考：通过刚刚的活动你有什么收获？看到黑板上这么多的百分率，你有什么想说的？

当学习者试图理解一样东西时，他从来都不是从零出发。他拥有自己的工具，即他的概念。这些概念为学习者提供了提问框架、推理方式和参照系。借助这一分析和思维的网络，学习者对其所面对的情境进行阐释与重组，并尝试解决其中的问题。上述教学，从学生熟悉的生活世界中提取相关信息，通过教师有意识的加工处理，让学生对信息内容的真伪进行判别。似曾相识的生活信息，相对陌生的数据，对学生的认知构成了新的挑战。结合前面学习形成的对百分率概念的理解，学生尝试对新情境中的数据进行质疑，并创造性地想到结合班级的数据进行统计推理，最终解决了问题。这个过程既是解决问题的过程，也是发现新的知识意义的过程，更是学生形成和发展真实学力的过程。