新评价视角下三角专题高考测评探析

张 洁 林晴岚

（福建教育学院数学研修部，福建 福州 350025）

三角函数与解三角形作为新高考评价必备内容之一，三角函数单元内容作为高中数学函数主线重要基础性的内容之一，解三角形是高中数学几何与代数主线的基础性内容之一.在高考试题中以“一大一小”的考查形式呈现，小题评价形式内容变化大，一般主要考查三角函数定义与同角三角函数的基本关系，或是三角函数图像与性质，或是利用三角恒等变换求值等内容；（大题）解答题一般以三角形或四边形为背景，考查利用正、余弦定理解三角形的形式呈现.高考数学既关注考生对三角函数单元的基本概念、基本公式、基本思想方法的理解与应用水平考查；又关注考生在解三角形问题时，是否具备综合应用正、余弦定理联系三角函数有关公式解决实际问题能力.加强对考生合理的数学知识结构、扎实的数学基础、灵活运用数学思想和方法有效解决问题综合能力和健全向上的人格素养进行全面考查.

一、三角专题的课程学习内容与学业质量要求

（一）课程学习内容要求

1.三角函数

三角函数单元课程内容有五个小节：第一小节是角与弧度.以初中学习的锐角三角函数为基础，通过单位圆将锐角扩充到任意角，引入弧度制，实现任意角的实数表达目标，为研究三角函数打下良好基础.第二小节是三角函数概念、图象与性质.通过平面直角坐标系以坐标原点为任意角的顶点，定义三角函数，探索三角函数的图像及其性质（如周期性、奇偶性、单调性和最值等）；利用三角函数的定义和单位圆的对称性画出三角函数在[0,2π]上的图象，推导出三角的一系列诱导公式；借助对y=Asin(ωx+φ)图像观察，从三角函数图像中感受参数的变化对图像的影响，更直观理解ω、φ、A的意义.第三小节是同角三角函数关系式，从三角函数的定义中，观察同一角的正弦、余弦、正切的值，发现它们之间的关系，理解sin2x+cox2x=1,=tanx两个基本关系式.第四小节是三角恒等变换，利用向量研究两角差的余弦公式作为基础，展开对正弦的两角和与差公式，余弦的两角和公式研究，进而研究正切的两角和与差公式，以及正弦、余弦、正切的二倍角公式，并在此基础上进一步研究了积化和差公式、和差化积公式、半角公式，促进理解三角函数之间关系；为解决三角有关问题提供了多样工具.第五小节是三角函数的应用，掌握利用三角函数构建刻画实际问题中所描述事物变化规律的周期性特征，会解决简单的三角函数应用问题.［1］

2.解三角形

解三角形小节内容是借助平面向量这一运算工具研究任意三角形的边与角关系，推导出了正弦定理和余弦定理，［1］感受向量运算与实数运算的差异，体会了向量在解决数学与现实问题中的作用，掌握运用正弦定理与余弦定理解决三角形问题的基本方式.

（二）学业质量要求

三角专题学业要求是：提升数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象和数学模型素养.［1］

1.三角函数

能够从实数集合之间的对应关系，认识与理解三角函数的概念和性质，以几何直观等不同角度，研究三角函数图象和性质，会选择适当的三角函数构建数学模型，解决相关实际问题.［1］

2.解三角形

会利用向量运算构建几何直观与代数运算之间联系，增强对正弦定理与余弦定理的理解和应用.

二、三角专题高考考什么与怎么考

通过对新高考中三角专题内容的试题进行整理分析，更好地了解新高考数学是如何借助载体——试题，来承载考查三角专题内容与评价考生的数学素养水平.

全国高考数学试题命制时选择三角专题相关重点内容作为“选拔人才”必备的基础性、综合性、应用性的数学内容，并根据新时代“选拔人才”的要求设置相关问题.三角专题的考查主要有两部分：一是以三角函数概念、性质与图象为主要内容，构建数学问题模型；二是以正弦定理、余弦定理的应用为主要内容，结合同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换等相关数学公式，设置数学问题；重点考查考生解决问题时呈现的数学思维品质与数学语言表达，评价考生的数学素养水平层次.［2］

（一）三角函数单元

1.三角函数专题高考考查要求

y=Asin(ωx+φ)图象和性质是考查重点的试题之一，一方面考查考生对三角函数中y=Asin(ωx+φ)的周期性、最值、关键点等“特色”理解与应用；另一方面考查考生在已知y=Asin(ωx+φ)+b(A＞0,ω＞0)与y=Acos(ωx+φ)+b(A＞0,ω＞0)的条件中，求元素A,ω,b这类问题的常规思路运用水平.通常解决问题的方法有：①代入法：将图象上的一个已知点代入（此时A,ω,b已知）或代入曲线与直线y=b的交点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）.②三角函数的五点法：确定φ值时，常需要以寻找“五点法”中的第一个关键点为突破口.具体方法如下：“第一点”（即图象上升时与x轴的交点）时，(ωx+φ)=0；“第二点”（即图象的“峰点”）时，(ωx+φ)=；“第三点”（即图象下降时与x 轴的交点）时，(ωx+φ)=π；“第四点”（即图象的“谷点”）时，(ωx+φ)=；“第五点”时，(ωx+φ)=2π.解决具体的三角函数问题.③从已知图象中观察，得到y=Asin(ωx+φ)+b(A＞0,ω＞0) 与y=Acos(ωx+φ)+b(A＞0,ω＞0)的最大值M和最小值m，求元素A,b.即.④观察已知图象，结合数学运算求得y=Asin(ωx+φ)+b(A＞0,ω＞0) 与y=Acos(ωx+φ)+b(A＞0,ω＞0)的最小正周期T，再根据公式ω=求元素ω.⑤从两种不同变换方式，分析三角函数y=sinx的图象变换到y=Asin(ωx+φ)图象（如表1），会求元素φ.

表1

2.2020-2022 年三角函数单元部分高考试题与考向

（1）（2020 年新高考I 山东卷第10 题），由已知三角函数y=Asin(ωx+φ)的部分图像（图1），考查考生通过观察已知三角函数图象的关键点，结合y=sinx的关键点和周期规律特征，寻找该三角函数的周期和初相，以此求得sin(ωx+φ)的表达式.

图1

（2020 年全国I 卷第7 题）在已知三角函数f(x)=cos(ωx+)在[-π,π]的图像大致如图2 的情况下，考查考生通过观察已知三角函数图象的关键点，结合三角函数f(x)=cosx的关键点和周期规律特征，寻找ω（值，以此求得f(x)=cos(ωx+) 的最小正周期；

图2

（2）（2021 年全国甲卷理第16 题），已知函 数f(x+2 cos(ωx+φ)的部分图像（图3），考查考生通过观察三角函数图象的最小周期、关键点，寻找满足不等式(f(x) -f(-))(f(x) -＞0 成立的最小正整数x值.

图3

以上高考试题要求考生会结合正弦曲线、余弦曲线，综合运用三角公式，利用整体代换结合三角计算去分析问题、解决问题.2022 年新高考I 卷从新的视角考查三角函数y=sin(ωx+φ)图像与性质问题，呈现出了对数学运算与逻辑推理素养水平的新要求趋势.总体评价的要求是数学运算素养水平二、直观想象水平一与逻辑推理水平一层次.［2］

（二）解三角形

1.解三角形的高考考查要求

2.2020-2022 年解三角形部分高考试题与考向

（1）（2020 年全国I 卷文科卷第18 题）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150°.（1）若a=，求△ABC的面积；

第一问考查考生由余弦定理建立c的方程，求解得出a,c，利用面积公式求得S△ABC；（2）若sinA+，求c.本题第二问考查考生运用三角恒等变换解三角形，合理选择与运用公式是解此问的关键.

（2020 年 全国2 卷第17 题）△ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.（1）求A；（2）若BC=3，求△ABC周长的最大值.

（2020 年新高考I 卷（山东卷）由已知①ac=②csinA=3，③c=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求C的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在△ABC，它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sinA=，________?这样的开放问题是新高考的新问题呈现方式，要求考生选择一条件完善问题，再根据解三角形的常用方法，如，选择条件①时，可利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，再由余弦定理得到c的长度；选择条件②时，利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tanA的值，得到内角A,B,C的值解决该问题.

（2）（2021 年全国新高考I 卷第19 题）记△ABC，它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac，点D在边AC上，BDsin ∠ABC=asinC.（1）证明：BD=b；考查考生合理运用正弦定理和已知条件以角化边，进行逻辑推理来证此问；（2）若AD=2DC，求cos ∠ABC，考查考生运用余弦定理来解此问的数学运算素养.

（3）（2022 年新高考I 卷第18 题）记△ABC，它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知（1）若C=，求B；考查考生灵活利用三角恒等变换和三角形的内角和定理，合理将已知条件转化成与角B 联系的关系等式，求得角B；（2）求的最小值.查考生灵活利用三角恒等变换和三角形的内角和定理，在（1）问的一中间关系式，合理将已知条件转化成同一量的关系，再结合基本不等式构造不等关系，以求得问题解决，此题要求考生的数学运算素养与逻辑推理素养水平都是二级层次.

（2022 年高考乙卷第17 题）记△ABC的内角A,B,C对边分别为a,b,c，已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).（1）证明：2a2=b2+c2；考查考生合理运用正弦定理和已知条件，以角化边进行逻辑推理来证明；（2）若a=5,cosA=，求△ABC的周长.考查考生运用余弦定理来解此问的数学运算素养.

（2022 年新高考Ⅱ卷）△ABC的内角A,B,C对边分别为a,b,c，分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3，已知S1-S2+S3=,sinB=求△ABC的面积；（2）若sinAsinC=求b.考查考生合理运用三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理和已知条件，以角化边进行逻辑推理来解此问，此类问题总体趋势是评价考生数学运算素养与逻辑推理素养水平二的层次要求。

三、评价启示

三角专题的高考试题以考查考生解决三角函数、解三角形与代数运算的融合问题时，所呈现出的素养水平层次，试题每年从不同视角和不同要求提出新问题，但都是围绕考查三角专题的基础内容、基本性质、解决问题的基本思维方式和基本数学运算.考生在理解和掌握三角专题问题解决思路和方法上仍有一定难度，需要教师通过课堂教学：一方面对课程标准中三角专题学习内容和学业质量评价的要求进行细化解读，帮助考生借助单元圆的直观，学习三角专题内容，理解三角函数、解三角形等具体内容的内涵，领悟其中的数学原理和思想方法，掌握三角专题内容作为高考数学“基础性”与必备知识的评价原则；另一方面，通过研究近几年全国高考三角专题试题，追本溯源，寻找试题与教材中的例、习题间联系与演化源，提升对这些典型题的理解层次，探析高考三角专题考查内容与评价新变化趋势.［3］