在“图形与几何”领域教学中渗透数学思想——以“三角形的面积”教学为例

李 喆

(哈萨尔路小学,吉林 松原 138000)

数学思想是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓。《义务教育数学课程标准(2022 年版) 》在总体目标中明确提出: “通过义务教育阶段的数学学习,学生能获得适应未来生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”[1]这充分说明了数学思想的重要性。南开大学的顾沛教授也提到: “小学生、中学生、大学生,数学学习的内容虽然不同,但是通过数学课程,渗透数学思想,提高数学素养这一点是共通的。”[2]可见,理想的教学效果是: 不仅让学生掌握基本的知识技能,更重要的是体会数学思想。

“图形与几何” 领域是小学数学的核心内容之一,对渗透数学思想具有重要价值。人教版五年级上册“三角形的面积” 属于“图形与几何” 领域中“图形的测量” 板块,教师应把数学思想作为重要教学目标,挖掘有助于学生获得数学思想的素材,将渗透数学思想的任务落实到教学实践中。一是要使学生在数学活动中经历观察空间形式、抽象研究属性、发现简单规律、提出数学问题的过程,体会抽象思想,发展空间观念和几何直观;二是要使学生自觉运用数学思想分析和解决问题,体会转化思想,发展推理意识;三是要使学生经历建模过程,构建普适的数学模型,体会模型思想,发展符号意识。下面以人教版五年级上册“三角形的面积” 教学为例,探讨如何在“图形与几何” 领域教学中渗透数学思想,促进学生核心素养的发展。

一、经历操作过程,渗透转化思想

转化思想是数学思想的核心,它是从未知领域向已知领域的转化。在教学“三角形的面积” 时,要引导学生从已有知识和活动经验出发,运用转化法自主探索,经历经验迁移、操作转化、归纳概括等活动,探索三角形的面积计算公式,理解、掌握转化思想,发展学生的空间观念。

(一) 在经验迁移中体会转化思想

“图形与几何” 领域的知识具有系统性和生长性,离不开经验的迁移。教师要有意识地引导学生观察、比较,找到知识之间的内在联结点,将已有知识作为新知识的生长点,通过经验迁移,将新知识的学习转化到旧知识的系统中,从而扩展原有的认知结构,促使学生高效地学习新知。例如: 在“经验迁移” 环节,教师首先呈现红领巾,提出问题: “可以怎样求三角形的面积?” 学生基于已有知识经验猜想: “可以把三角形转化成学过的图形来求面积。” 接着教师追问: “为什么要转化成学过的图形?” 让学生在说明理由中体会把未知转化成已知解决问题的方法。最后,配合课件演示回顾上一课时“平行四边形的面积” 的探究过程,唤醒学生运用转化法的操作经验,为探索三角形的面积计算公式做准备。这样的经验迁移,能促使学生将新知识化归到旧知识的系统中,感悟数学知识的内在本质和思想方法上的共性,体会转化思想。

(二) 在操作探究中感悟转化思想

“图形与几何” 领域所呈现的知识是抽象的,动手操作可以使抽象的知识形象化,是学生探索平面图形面积公式的重要手段。将动手操作与几何直观相结合,能帮助学生理解图形之间相互联系、相互转化的辩证观念,渗透转化思想,积累几何活动经验。例如: 在“操作转化” 环节,要突出学生运用转化法自主探索的活动性。教师首先给学生提供若干个三角形,让学生基于已有知识和活动经验自主探索,将三角形转化成学过的图形,并贴在纸上。接着,引导学生观察思考: “转化后的图形与原来的三角形之间有什么关系?” 这是引导学生推导三角形面积公式的关键。最后,教师组织各小组展示、汇报探究的成果。第一步: 组织学生交流用两个同样的三角形拼摆成一个平行四边形的方法(如图1 倍拼法);第二步: 组织学生交流用一个三角形沿一条中位线剪开,割补成一个平行四边形的方法(如图2 割补法);第三步: 教师呈现《九章算术》中记载的“圭田术曰,半广以乘正从”,通过“以盈补虚” 的方法把三角形分割、移补成长方形(如图3 以盈补虚)。通过不同方法的展示交流,使学生体会转化方法的多样性,培养创新意识。这样的操作活动,能使学生在动手实践中进一步感悟转化思想,发展空间观念。

图1 倍拼法

图2 割补法

图3 以盈补虚

(三) 在实践应用中强化转化思想

数学练习是教学活动的重要组成部分。通过练习可以深化学生对知识的理解与掌握,强化学生对数学思想的巩固与运用,提高学生解决实际问题的能力。如在“巩固应用” 环节,教师设计了一道发展练习: 你能想到哪些转化方法来计算这个三角形的面积? 课件依次呈现习题中的①至④(如图4 转化思想练习题),找到与转化的方法相匹配的算式并连一连。在这样的练习活动中,学生先想象,再理清不同转化方法的计算原理,进一步强化转化思想。

图4 转化思想练习题

(四) 在回顾反思中升华转化思想

著名数学家波利亚在《怎样解题》 中将解题分为四个阶段,并指出: “回顾已经完成的解答是工作中的一个重要且有启发性的阶段。”[3]在新知教学后,教师要引导学生回顾数学知识的形成过程,总结经验收获,提炼数学思想,促使学生把经历变成经验、把思想化成素养。如在“回顾反思” 环节,借助自我反思单元引导学生从三维目标的角度自我反思: 1.我学会了什么? 2.我是用什么方法学会的? 3.对我今后的学习有什么作用? 回顾反思能梳理三角形面积计算公式的推导过程,提炼升华转化思想,启发学生将转化思想拓展到其他数学问题的研究中,为后续学习做好思想方法的铺垫。

二、突出思维过程,渗透推理思想

推理是从一个或几个已有的命题得出另一个新命题的思维形式,包括合情推理和演绎推理两种形式[4]。在教学“三角形的面积” 时,要引导学生从已有知识和活动经验出发,经过比较联想、归纳概括、演绎推理等活动,推导三角形的面积计算公式,从而使学生的推理能力得到发展。

(一) 在比较联想中体会类比推理

类比推理是从特殊到特殊的推理方法。类比推理在“图形与几何” 领域的应用主要有: 长度、面积、体积单位的认识,周长、面积、体积的概念及公式的推导。“图形与几何” 领域的知识存在着内在联系和发展,可以通过观察、比较、联想,发现相似的性质,达到迁移类比的目的。教学中要注重知识的结构性和关联性,将不同的知识用同种方法策略关联起来,形成知识和方法的结构化。例如:在“经验迁移” 环节,引导学生思考: “根据前面的学习经验,你们打算怎样研究三角形的面积?”学生联想到: “三角形的面积与平行四边形的面积很相似,我们可以把三角形转化成学过的图形来研究。” 学生通过观察、比较、联想,建立新旧知识间的联结,类比平行四边形面积的推导方法来研究三角形的面积,初步体会类比推理思想。

(二) 在几何直观中体会归纳推理

归纳推理是从特殊到一般的推理方法。归纳推理在“图形与几何” 领域的应用主要有: 找规律、面积和体积公式的推导。归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理,在三角形的面积推导中用到的是完全归纳推理。例如: 在“归纳概括” 环节,分别探究直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。学生在表达与交流中发现这三种不同类型的三角形都能转化成平行四边形。接着,引导学生思考:“观察转化后的图形与原来的三角形,你有什么发现吗?” 借助几何直观,学生归纳概括出: “虽然选取的三角形不一样,但只要是两个同样的三角形就能拼成一个平行四边形。” 学生经历从特殊到一般的完全归纳推理过程,能理解完全归纳推理推导出的结论具有普适性,体会归纳思想在推导总结一般性规律中的应用,形成初步的几何直观和推理意识。

(三) 在结论推导中体会演绎推理

演绎推理是从一般到特殊的推理方法。演绎推理在“图形与几何” 领域教学中的应用主要有: 多边形内角和的推导、体积和面积公式的推导、角的相等证明、多边形内外角关系的探索。例如: 在运用几何变换把三角形转化成长方形或平行四边形后,通过建立转化前后图形之间的等量关系,推导三角形的面积计算公式。这个过程实际上是应用了演绎推理的三段论结构。三段论包括: 大前提、小前提和结论。学生推理过程: 平行四边形的面积=底×高,两个同样的三角形的面积等于平行四边形的面积,所以两个三角形的面积等于底乘高,因而三角形的面积=底×高÷2。这样学生经历了演绎推理的过程,能运用三段论结构推导出数学结论,初步体会演绎推理思想。

三、围绕建模过程,渗透模型思想

模型思想是用数学的概念和原理描述现实世界的一种数学结构。《义务教育数学课程标准(2022 年版) 》 指出: “引导学生在真实情境中发现问题和提出问题,利用观察、猜测、实验、计算、推理、验证、数据分析、直观想象等方法分析问题和解决问题,促进学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能,体会和运用数学思想与方法,获得数学的基本活动经验。”[5]在教学“三角形的面积” 时,要引导学生从生活情境中抽象出数学问题,通过观察抽象、操作探究、归纳概括等数学活动,构建三角形的面积模型,让学生完整且真实地经历“问题抽象—构建模型—应用拓展” 的过程,渗透模型思想。

(一) 在问题抽象中感知模型思想

数学知识来源于客观世界,“图形与几何” 领域的知识往往能在生活中找到原型。教师要善于挖掘与数学学习相关联的生活素材,将数学知识与学生生活实际有机融合,促使学生从直观的生活现象中抽象出数学模型,建立感性认识,帮助学生理解数学模型。例如: 在“创设情境” 环节,教师将学生每天佩戴的红领巾作为数学原型,并提问: “对于红领巾,你们想研究什么问题?” 学生从中抽象出数学问题: “红领巾是三角形的,三角形的面积该怎么求?” 学生经历从“境” 到“型” 的抽象过程,能加深对三角形的面积模型的认识,初步感知模型思想。

(二) 在多元表征中建立模型思想

数学建模的目的不仅是获得数学结论,更重要的是在建模的过程中促进数学知识的内化和思想方法的升华。教师要引导学生在直观的操作活动中主动构建数学模型,鼓励学生运用多元的表征方式进行数学思考和表达。例如: 在构建三角形的面积模型时,引导学生通过拼摆、割补、等积变形等操作,感悟三角形与转化后的平行四边形的底、高之间的关系,尝试用字母简洁地表示推导出的数学结论,建立三角形的面积模型: S=ah÷2。学生经历“情境表征—操作表征—语言表征—符号表征” 这一数学化的过程,能层层建立起三角形的面积模型的清晰概念,深化对三角形面积模型的理解和把握,初步建立符号意识,体会模型思想。

(三) 在解决问题中应用模型思想

生活中存在许多与空间形式相关的信息,一个数学模型往往能解决一类数学问题,因而数学模型具有普适性。教师要鼓励学生将已经建构的数学模型运用到新的数学问题中,从而提高学生分析和解决问题的能力。例如: 在“巩固练习” 环节,回归到课前的情境中,让学生自己动手测量红领巾的底和高,利用三角形的面积公式求出红领巾的面积。这样学生在解决问题中又一次经历了运用数学模型解决生活问题的过程,能体会数学模型的应用价值,增强应用意识。

总之,在“图形与几何” 领域的教学中,教师要深入挖掘数学知识背后蕴含的数学思想,引导学生通过抽象、迁移、操作、讨论、归纳等数学活动,经历“抽象数学问题—动手操作转化—归纳概括结论—提炼数学思想” 的过程,让学生掌握数学思想,并将其内化为自身的数学素养,从而真正实现受益终身。