电励磁直线电动机磁悬浮系统的非线性自适应反步控制＊

邢艺馨 蓝益鹏 雷城

（沈阳工业大学电气工程学院，辽宁 沈阳 110870）

传统的数控机床进给平台是通过旋转电机和滚珠丝杠装置来实现直线进给，但是这种驱动方式会增加进给平台和静止导轨之间的摩擦，从而影响进给平台的高速性和进给精度[1-2]。

EELM实现了进给平台和静止导轨之间的相对独立[3-4]。水平方向产生电磁推力实现进给运动，垂直方向产生磁悬浮力使进给平台稳定悬浮。从根本上解决了传统机床进给平台的摩擦问题。但由于取消了中间的传动装置，会使外界扰动等不确定性作用在EELM磁悬浮系统上，加上直线电机固有的端部效应，使系统的精确控制变得更加困难。因此，消除不确定因素对系统产生的影响，并设计出控制性能良好的控制器是实现系统高精度控制的关键[5-6]。

反步方法是上世纪90年代初提出的一种基于Lyapunov的递归严格反馈方案。利用该方法，系统地构造了反馈控制律和Lyapunov函数。这种方法最初是针对SISO系统提出的，后来扩展到多输入系统。对于非线性不确定系统这种相当复杂的系统，目前所掌握的控制方法有很大的局限性，而反步控制方法针对这类系统有非常好的适应性。近来，非线性控制器被许多研究人员通过反步的方法设计出来，对于非线性系统来说，这样的方法提供了非常有效的控制设计工具[7-8]。自适应反步控制是当前自适应控制理论和应用领域的研究热点。近年来，该方法在解决线性和非线性系统问题的同时，在提高控制系统的性能方面显示出了巨大的优势[9]。将反步控制应用于永磁同步电动机的速度跟踪控制。控制效果可能会因为电机在运行时参数发生变化而被影响到。用反步方法设计的控制器依赖于动态模型的精度。因此，抑制电机参数对控制的影响非常重要。提出了一种控制策略将自适应与反步控制结合起来，该策略考虑了一些电机参数的影响，提高了反步控制的精度。目前，自适应反步控制已得到广泛应用[10-12]。

通过对EELM磁悬浮平台控制系统数学模型与状态方程的分析，该系统具有不确定性和非线性，因此，采用非线性自适应控制具有很强的针对性。本文设计出一种自适应反步控制器，将自适应控制与反步控制相结合，该控制器适用于EELM磁悬浮系统。其中的自适应算法对估计外部干扰与不确定性扰动有着很大的作用。系统的稳定性通过李雅普诺夫理论来证明。经过仿真实验结果表明，自适应反步控制相比于传统自适应控制，对系统的性能有了明显的改善。

1 EELM的结构与运行机理

EELM磁悬浮进给平台结构如图1所示，系统由基座、运动平台、电涡流传感器、EELM、光栅尺和辅助导轨等构成。

图1 EELM磁悬浮平台结构图

EELM的动子由电枢绕组和动子铁心组成，铁心和励磁绕组共同构成EELM的定子，其动子与数控机床进给平台固定连接驱动平台运动。

平台的悬浮由励磁磁场对动子铁心的单边磁拉力来实现，可以通过改变励磁电流的大小来改变悬浮力的大小。励磁磁场和行波磁场相互作用产生电磁推力来推动动子平台直线运行，其中行波磁场是对称三相交流电通入电枢绕组产生的。

2 EELM的数学模型

为了方便分析，简化模型，做如下假设[13-14]：

（1）在不计电机铁心饱和的情况下，电机磁路是线性的。

（2）忽略直线同步电机的端部效应。

（3）不予计算电机铁心的涡流与磁滞损耗。

（4）电枢绕组中通入三相对称电流。

基于以上假设，直线电动机在dq轴系下的电压方程和磁链方程推导如下：

电压方程：

磁链方程:

其中：ud、uq为d、q轴的电压分量，uf为磁极励磁的电压分量；id、iq为d、q轴的电流分量，磁极励磁的电流分量由if来表示；Lmd、Lmq为d、q轴的主电感，电枢绕组的漏感由Lσ表示，Lσf为励磁绕组的漏感；ψd、ψq为d、q轴的磁链，ψf为励磁磁极磁链分量；电枢绕组的电阻由rs表示，rf为磁极励磁绕组的电阻。

气隙中的合成磁场会对定动子产生吸引力，并且也是直线电动机的悬浮力，采用id=0的矢量控制悬浮力公式计算如下[15]。

垂直方向的运动方程：

其中：m为动子平台的重量；v为运动平台的运动速度，v=2fτ；f为电源供电频率；FL为负载阻力；δ为动子平台实际的悬浮气隙高度；fy为不确定性扰动；Ld=Lσ+Lmd，Lσ不随悬浮气隙高度变化；K为磁悬浮系数，K=5.659×10-6。

电枢磁场对励磁磁场产生的影响，在这里作为扰动处理。因此，垂直方向总扰动为

令x1=δ，x2=，u=if2，得到磁悬浮系统的状态方程为

3 非线性自适应反步控制器的设计

假设1：由于外界存在的扰动很难在线估计，并且随机性比较大，因此假设不确定未知干扰因素为一连续有界函数向量且满足为未知正数。

3.1 定义误差与虚拟控制变量

由公式（6）可得状态方程为

然后根据反步方法构造新的误差变量z1和z2。

式中：δ*为悬浮高度的参考值，δ*=0.0025m ；δ0=0.003m 为初始悬浮高度；α1为虚拟控制变量。

在反步控制设计的第1步中，李雅普诺夫函数可以定义为

对V1求微分可得

定义虚拟控制变量：

式中：c1是设计参数，c1＞0。

由式（12）和式（13）可得

在反步控制设计的第2步中，z2的导数可计算为

α1的导数为

将式（16）代入式（15）中，得

3.2 控制律与参数自适应律

由于扰动f是未知的，第2个李雅普诺夫函数可以定义为

其中：γ＞0。

对V2求微分可得

控制律可设计为

其中：c2＞0。

将式（21）代入式（20）可得

时变参数自适应算法可以设计为

式中：γ为自适应增益系数。

3.3 稳定性分析

定理1：EELM磁悬浮控制系统在满足假设1的条件下，采用式（21）、式（23）所设计的自适应反步控制律及自适应律，则系统是渐近稳定的，控制误差是一致有界的。

将式（23）代入式（22）可得

由式（18）可得

因此可以得出，基于该控制律及自适应律能够使系统达到稳定。

4 仿真研究

EELM控制系统的仿真框图如图2所示，非线性自适应反步控制器用作系统的位置环节，传统的PI控制器用作电流环。

图2 EELM磁悬浮控制系统框图

c1是虚拟控制变量系数，系统的响应速度、恢复时间与超调量会受其影响。系统的超调量会因c1选取过小而显著增加，并且系统很不稳定；选取大时恢复稳定的时间会增加。总的考虑系统的各项因素，控制器的参数如下：c1=50，c2=2320，γ=200。

将自适应反步控制（ABC）与自适应控制(AC)以及PI控制进行比较。

（1）磁悬浮系统的起动性能的考察与分析。系统初始气隙高度3 mm，运行到达目标高度2.5 mm。电机磁悬浮高度在起动时的响应曲线由图3所示。当控制器为PI控制时，约0.12 s磁悬浮系统到达目标气隙高度；采用AC控制时，到达给定气隙高度的时间约0.1 s；采用ABC控制时，到达给定气隙高度的时间约0.06 s。3种控制方法均无超调。从仿真结果可以看出，ABC控制的起动性能相比于其他两种控制要更加优越。

图3 起动时磁悬浮高度响应曲线

（2）磁悬浮系统突加负载扰动的抑制能力考察与分析。在系统达到稳定状态后，加入负载扰动，用f=10 N的阶跃信号来模拟，在0.3 s加入该信号并在0.6 s移去该信号。图4的气隙高度响应曲线为突加负载扰动后的。根据图中曲线可以看出，PI控制系统中，加入阶跃扰动后，气隙高度降落了大约0.058 mm,由下降高度恢复至目标高度2.5 mm大约0.192 s。AC控制系统中，突加扰动后，高度降落大约0.043 mm，恢复到给定高度的时间约为0.155 s。ABC控制系统中，加入负载扰动后，高度降落约0.025 mm,恢复时间约0.079 s。由以上数据可以得出，PI控制系统的降落高度及恢复时间最差，AC控制系统强于PI系统，而ABC控制系统受到突加扰动的影响是最小的，与PI和AC系统相比高度下降分别减少了25.9%和56.9%，恢复目标高度的速度分别提高了19.3%和58.9%。由此可以看出ABC控制系统的抗干扰能力是很强的。

图4 加入阶跃负载扰动气隙高度响应曲线

图5为加入阶跃负载扰动后的励磁电流响应曲线。由图5中可以看出ABC控制比起PI控制超调量相对较高，但是恢复时间较PI控制短一些，约为0.019 s。

图5 加入阶跃扰动励磁电流响应曲线

图6为 η的自适应估计值。由图中可以看出在0.3 s加入扰动时，自适应值 η突然增加以抑制扰动，后又回到稳定值10。

图6 η的自适应估计值

（3）对磁悬浮系统端部效应扰动的抑制能力考察。在0.3 s加入用正弦函数f=15sin(20t) N模拟的端部效应扰动，图7的气隙高度响应曲线为加入端部效应扰动后的。由图中可看出在PI控制系统中，曲线的波动在加入正弦扰动后比较大，抗扰能力比较差。AC控制系统中，波动程度比起PI控制好一些，抗扰能力也相对较强。ABC控制系统中，系统波动相对平稳，可知抗扰能力比起前两种系统强一些。

图7 正弦扰动下气隙高度响应曲线

5 结语

针对数控机床进给平台EELM磁悬浮系统，提出了一种非线性自适应反步控制方法，通过研究得出以下的结论：

（1）分析了EELM的结构、工作原理，考虑电枢绕组交轴电流和负载变化对磁悬浮力产生的影响，将其当作扰动，推导磁悬浮系统的数学模型，并给出含有不确定性扰动时磁悬浮系统的状态方程。

（2）提出非线性自适应反步控制方法，限制输出误差，将其限制在比较小的范围之中，并引入虚拟控制量的概念。选择合适的自适应律使系统趋于稳定，设计了非线性自适应反步控制器。估计了不确定扰动，同时将其前馈给控制器，降低了不确定扰动对系统的影响。

（3）构造李雅普诺夫函数证明了系统的稳定性，系统可渐进收敛至边界层内。用Matlab软件对系统进行仿真，结果表明了非线性自适应反步控制规律的有效性。