基于改进灰狼算法和支持向量机的拱桥索力优化模型

段君邦，王 华，郝天之，梁茜雪

(1.广西交通投资集团有限公司，广西 南宁 530000；2.哈尔滨工业大学 土木与环境工程学院，广东 深圳 518055；3.广西交科集团有限公司 桥梁工程研究所，广西 南宁 530001； 4.广西北投交通养护科技集团有限公司，广西 南宁 530000)

0 引 言

求解实际工程结构的优化问题时，优化程序往往需要调用有限元软件进行反复的迭代计算，当结构较为复杂时，有限元模型的庞大计算量会极大程度降低程序的寻优效率，为解决这一问题，部分专家学者选择建立基于机器学习的近似预测模型代替有限元软件进行寻优分析[1-3]。

支持向量机(support vector machine，SVM)算法[4-6]虽然对非线性数据具有较高的学习映射能力，但针对不同问题，核参数的选择一直是SVM预测精度的关键，目前对SVM关键参数进行优化的方法大多基于不同的群体智能优化算法，典型的有遗传算法、粒子群算法和模拟退火算法等，但不同优化算法对于具体的优化问题均存在一定的局限性，且对SVM的参数进行优化时涉及到样本数据之间的映射关系，选择针对性的算法和改进方法可以大幅提高SVM预测结果的准确性。针对这一问题，众多专家展开了分析与研究，部分研究显示，智能群体优化算法可有效提高支持向量机的预测精度，改进后的算法相较于标准算法参数优化的效果更好[7-10]。在拱桥线形的预测和索力的优化问题上，已有研究主要以传统有限元软件配合智能优化算法为主[11-14]，对机器学习方法的应用程度并不广泛，这使得在大跨度拱桥索力优化的实际问题中，仍存在计算量大，优化速度不理想等问题。

基于此，本文以桥梁工程中拱桥的索力优化问题为例，提出了一种基于改进灰狼优化算法建立的组合优化模型，该模型可以在大幅降低计算时间成本的前提下达到优化目标，明显改善成拱线形，大幅度提高了复杂工程结构的寻优效率，可为类似工程的优化提供一定的参考。

1 改进灰狼算法

1.1 标准灰狼算法

灰狼算法(grey wolf optimizer，GWO)是Mirjalili等提出的一种基于灰狼群体捕猎活动的新型群体智能优化算法，具有收敛能力强、算法结构简单等特点。灰狼群体中存在着严格的社会支配等级关系，如图1所示，分别为社会等级最顶层的α狼，在算法中代表目标函数的最优解，社会等级第二层的β狼，在算法中代表目标函数的次优解，社会等级第三层的δ狼，在算法中代表目标函数的第三优解，社会等级最底层的ω狼，在算法中代表目标函数的候选解。

图1 灰狼种群等级分布

标准GWO优化过程分为5个主要步骤，分别是社会等级分层、包围猎物、狩猎、攻击猎物和寻找猎物。灰狼群体的围猎过程如图2所示，β狼和δ狼在α狼的指挥下包围猎物，在优化问题的D维决策空间中，假设前三阶级狼群更接近猎物位置，并利用该三类阶级狼群的最优位置强迫非最优位置的狼群和ω狼向猎物方向逼近。

图2 狼群围猎过程

此时，狼群的围猎过程可表示为式(1)所示

Xi(t+1)=Xp(t)-A|CXp(t)-Xi(t)|

(1)

A=2ar1-a

(2)

C=2r2

(3)

式中：t为算法迭代次数；Xi(t+1) 为狼群的目标位置；Xi(t) 为狼群的当前位置；Xp(t) 为猎物位置；A为收敛因子；C为摆动因子；r1、r2分别为[0,1]内的随机数；a为距离控制系数。

令α、β、δ狼与其它个体间的距离为Di=|CXp(t)-Xi(t)|， 则α、β、δ灰狼个体围猎时的位置更新公式如下

(4)

ω狼的最终位置由前三阶级灰狼的位置决定，其更新公式如式(5)所示

X(t+1)=(Xα+Xβ+Xδ)/3

(5)

1.2 改进灰狼算法

群体智能优化算法存在多种改进方式，通常的改进策略主要集中于两方面：一是针对种群初始化策略的改进，通过采用更加合理的映射方式降低随机初始化种群带来的分布不均造成的影响，保证种群在初始化阶段尽可能的均匀分布在搜索空间内，此种改进策略可以使种群在进行全局搜索的初期遍历所有搜索空间，防止算法遗漏全局最优解；另一种改进策略主要是针对个体搜索方式和进化策略的改进，标准仿生优化算法的个体搜索策略往往使用相同的或线性变化的搜索步长，其缺陷为当算法进入搜索后期时极易陷入局部最优解，且固定的或线性递减的搜索步长无法帮助个体跳出局部极值，使种群出现进化停滞的现象。因此，对种群初始化策略和个体搜索策略同时进行改进可有效提高算法性能，本文采用两种改进策略同时对灰狼算法进行改进。

1.2.1 混沌映射初始化种群

GWO通常采用随机的方式产生初始化种群，但此种方法难以维持灰狼的种群多样性，且种群在算法搜索初期难以遍历全部搜索空间，容易导致算法进行搜索时陷入局部最优解，为解决随机产生初始化种群的弊端，保证算法对全局有较强的搜索能力，采用混沌映射的方法初始化种群可以使初始种群均匀分布在D维搜索空间内。根据文献[15]的研究，目前主流的混沌映射方式有Tent映射、Logistic映射，由于Tent映射的典型形式相较于Logistic映射具有更佳的遍历均匀性[16]，且对不同参数具有较为一致的分布密度，因此本文采取Tent混沌映射的方式改进标准灰狼算法随机初始化种群的方式，映射公式如式(6)所示

(6)

Tent混沌映射初始化种群理论上能在[0,1]上产生分布均匀的初始值，有效提高算法前中期的全局搜索能力和寻优速度，避免算法前中期陷入局部最优解。

1.2.2 余弦收敛因子

GWO的收敛因子由距离控制系数a确定，根据距离控制系数a的表达式可知，随着迭代次数的不断增加，控制系数在算法中后期呈现出线性递减的趋势，严重影响算法后期狼群的种群多样性和全局搜索能力，为避免种群在算法中后期无法跳出局部极值区域，本文采取余弦型收敛因子进行改进[17]，改进后的收敛因子取值如式(7)所示

(7)

式中：amin、amax分别为收敛因子的最小值和最大值；n为递减指数;tmax为最大迭代次数。

1.2.3 算法性能验证

为验证改进灰狼算法(improved grey wolf optimizer，IGWO)的寻优性能，选取单峰测试函数Sphere，多峰测试函数Griewank、Rastrigin、Ackley测试算法在给定迭代次数下的收敛精度，各测试函数在定义域内的理论最优值均为0。设定空间维度D为30，种群规模取30，最大迭代次数取300，分别使用标准灰狼算法(GWO)、基于混沌映射改进的灰狼算法(GWO1)、基于余弦收敛改进的灰狼算法(GWO2)、基于混沌映射与余弦收敛双策略改进的灰狼算法(IGWO)和标准粒子群算法(PSO)对目标函数进行搜索，各算法独立运行30次，测试平台基于Matlab 2019a，各测试函数下的算法寻优结果见表1。

由表1可知，标准GWO算法、仅采用混沌映射初始化种群的GWO1算法和仅基于余弦收敛改进的GWO2算法对单峰测试函数Sphere的收敛精度较高，都收敛至了理论最优值，对比GWO、GWO1、GWO2、IGWO和PSO的单峰函数测试结果可知，基于混沌映射和余弦收敛的IGWO算法平均耗时最短，收敛速度最快。此外，标准GWO算法、仅采用混沌映射初始化种群的GWO1算法和仅基于余弦收敛改进的GWO2算法对多峰测试函数Griewank、Rastrigin和Ackley的寻优能力较差，灰狼种群经过400次进化后的平均值距离理论最优值仍有一定的偏差，且多次运行结果表明，种群分布较为分散，算法稳定性较差。

表1 算法测试结果

本文融合混沌映射初始化种群和余弦收敛因子双策略改进的IGWO算法除了对单峰测试函数实现了精确收敛外，对多峰函数的搜索寻优也有较好的适应性，与仅做单一策略改进的GWO1、GWO2和标准PSO算法相比，IGWO在多峰函数测试结果的标准差均在10-10数量级以内，说明算法在30次运行下的结果较为一致，400代进化后所有个体基本已集中于最优值附近，算法稳定性良好。综上比较可知，相比于单一策略改进形式，基于双策略改进后的IGWO算法性能得到大幅度提升，能有效跳出多峰函数的局部极值，完成目标函数的寻优。

2 IGWO-SVM组合优化模型

2.1 SVM原理

SVM是一种定义在特征空间上的最大线性分类器，其基本原理是通过统计学习将样本数据在特征空间上进行划分以求取分离超平面的过程。相较于常用预测模型，SVM预测模型引入核函数将非线性数据映射至高维数据空间进行回归分析，有效解决了机器学习预测模型在高维空间的计算问题。

假设存在非线性数据样本集合为 {(x1,y1),(x2,y2),…,(xi,yi)}， 为实现数据样本x到y的映射关系，SVM将输入向量X映射至高维空间D中进行线性回归，引入损失函数f(x)=ωφ(x)+b求解回归问题，其中ω为权向量，b为

拟合偏差，如式(8)所示建立求解关于损失函数最大超平面的优化问题

(8)

引入朗格朗日乘子αi和βi，同时引入核函数k(u,v)=φ(u)φ(v) 将非线性的数据样本映射至高维数据空间，改造后的优化问题描述如式(9)所示

(9)

本文预测模型核函数采用RBF径向基函数，RBF径向基函数在对于非线性数据映射具有较高的拟合和预测精度，其表达式如下

(10)

2.2 IGWO-SVM组合优化模型

传统工程问题的优化模型往往存在一定的局限性，优化程序调用有限元软件进行反复计算会消耗大量的时间成本，为解决这一问题，本文采用IGWO算法分别建立SVM线形预测的关键参数优化模型和考虑线形控制的索力优化模型。首先使用有限元软件建立一定的数据样本供SVM模型进行学习，采用IGWO算法对样本数据下的SVM参数进行优化，直至建立起样本数据的最佳映射关系。其次建立实际工程问题的数学优化模型，以某大跨径钢管混凝土拱桥的索力优化问题为例，建立考虑线形控制的目标函数，将永久扣索力作为待优化参数，使用IGWO算法进行迭代寻优，将每一代进化后输出的索力组合作为SVM的输入向量进行线形预测，输出当前索力下的种群适应度值，如此反复降低优化模型进行适应度评价时的时间成本，实现基于IGWO的组合优化效果。

优化模型1：SVM核函数的参数(c,g)取值对SVM预测模型的精度影响很大，通常情况下核函数参数根据测试经验取值，十分影响预测结果，因此需要对SVM内部的(c,g)参数取值进行优化。将待优化向量机参数(c,g)转化为灰狼个体在搜索空间中的坐标，在设计扣索张拉力的合理上下限区间随机生成50组索力组合数据，代入拱桥有限元程序计算得到各标高控制点拱肋节段的计算标高。对索力—线形训练样本进行预处理后形成样本集输入SVM模型进行学习，以索力组合作为输入向量，如式(11)所示使用预测线形与计算线形偏差的均方误差对灰狼种群的寻优结果进行评价，最终得到IGWO迭代下的SVM最优参数组合

(11)

优化模型2：为得到考虑线形控制下的最优索力组合，采用IGWO算法建立拱桥的索力优化模型，优化问题的描述如式(12)所示。将扣索力组合X=(x1,x2,…,xj) 转化为灰狼个体在搜索空间中的坐标形成初始种群，利用优化SVM的预测值计算狼群适应度，判断IGWO算法是否达到最大迭代次数，若达到则输出IGWO迭代下的最优索力组合。索力优化问题的数学模型如式(12)所示

(12)

式中：X表示待优化的索力输入向量；ui表示第i个样本的理论标高设计值；Δ为索力均匀度评价阈值；xmin和xmax表示扣索张拉力的上下限。

基于IGWO-SVM的索力优化流程如图3所示，具体步骤如下：

图3 IGWO-SVM组合优化模型

步骤1 初始化SVM参数优化模型1的IGWO参数，设定灰狼种群规模为n=100，最大迭代次数为tmax=300，将待优化参数(c,g)编译为狼群坐标，根据式(6)混沌映射公式将灰狼种群均匀分布至搜索空间内；

步骤2 根据式(7)更新收敛因子，计算灰狼种群适应度值，并将最优适应度赋予α狼；

步骤3 判断算法是否达到最大迭代次数，若未达到则返回步骤2，若达到则输出SVM最优参数组合，使用索力-线形训练样本测试更新参数后的SVM预测精度；

步骤4 判断更新参数后的SVM是否满足精度要求，若未达到则返回步骤1重新寻优，若达到则完成SVM线形预测模型优化；

步骤5 初始化优化模型2的IGWO参数，待优化参数为数学模型式(12)中的索力组合X，设定灰狼种群规模为n=100，最大迭代次数为tmax=300，将索力组合X编译为狼群坐标，并对灰狼种群设置索力的约束条件，根据式(6)将灰狼种群混沌映射至搜索空间内；

步骤6 根据式(7)更新余弦收敛因子，根据式(4)、式(5)更新狼群在搜索空间中的位置；

步骤7 反编译狼群坐标，并作为SVM输入向量进行线形预测，将预测线形结果按式(12)中目标函数的计算方式返回优化模型2更新灰狼种群适应度值；

步骤8 判断算法是否达到终止条件，算法终止条件为达到最大迭代次数，当算法未达到最大迭代次数时返回步骤6，以达到最大迭代次数时输出α狼坐标并反编译为索力组合X。

3 工程算例

3.1 工程背景与实验参数

以某大跨径钢管混凝土拱桥为工程背景，主拱采用计算跨径450 m的上承式钢管混凝土变截面桁架拱，拱轴线系数为1.55，矢高100 m，矢跨比为1/4.5。拱圈采取斜拉扣挂缆索吊装系统施工，主拱圈节段安装采用两岸对称悬拼，共分14个吊装节段，全桥仅保留5个正式扣段。采用有限元软件对结构进行全施工阶段建模，根据各施工节段的实际工况激活对应扣索。扣索施工平面布置如4所示，有限元模型如图5所示。

图4 拱桥施工平面布置

图5 有限元模型

实验采用IGWO算法、SVM与有限元计算联合仿真形式，数值计算平台采用Midas Civil 2019，IGWO算法和SVM平台采用Matlab 2019a，计算环境基本配置如下：操作系统为Windows10，CPU为i7-8700U，内存16 GB。建立两个联合仿真的子程序如下：

程序1：根据优化模型1在Matlab中编写该大跨度钢管混凝土拱桥的SVM线形预测模型参数优化程序，通过该钢管拱的有限元模型样本数据对SVM最佳参数组合(c,g)寻优；

程序2：根据优化模型2在Matlab中编写该大跨度钢管混凝土拱桥的索力优化程序，调用程序1作为索力寻优的适应度求解器，求解最优索力组合。

改进灰狼算法与支持向量机的初始参数设置见表2。

表2 初始实验参数

3.2 SVM优化结果

为验证SVM参数优化的效果，取一组新的样本数据分别使用未优化参数的SVM、基于IGWO优化参数的SVM、基于粒子群算法(PSO)优化参数的SVM和基于遗传算法(GA)优化参数的SVM分别进行学习预测，并计算线形预测结果与有限元仿真结果的线形偏差，取半结构进行分析。不同算法的优化的SVM线形预测结果如图6所示，由图可知，经过群体智能算法优化参数后的SVM预测精度明显高于未经参数优化的原始SVM，原始SVM主拱拱肋第8、9、11、12节段线形预测偏差均大于10 mm，超过拱圈吊装偏差的工程允许限值，而基于不同算法优化后的SVM所有节段线形预测偏差均小于10 mm。优化后的SVM主拱圈各阶段的预测线形偏差均低于未优化的SVM，说明对核函数参数进行优化调整后可以有效提高SVM的预测精度。

图6 预测精度对比

对比基于不同算法参数优化后的SVM预测结果可知，基于IGWO参数优化后的SVM线形预测精度明显优于基于PSO和GA优化的SVM。基于IGWO优化的SVM预测偏差最大值出现在拱肋第4节段，为4.62 mm，最小值出现在第6节段，为0.65 mm，预测方差为1.08；基于PSO优化的SVM预测偏差最大值出现在拱肋第8节段，为7.32 mm，最小值出现在第4节段，为1.45 mm，预测方差为1.59；基于GA优化的SVM预测偏差最大值出现在拱肋第9节段，为7.27 mm，最小值出现在第3节段，为3.22 mm，预测方差为1.16。相较于原始SVM，基于IGWO优化后的SVM平均预测误差下降69.2%，基于PSO优化后的SVM平均预测误差下降48.7%，基于GA优化后的SVM平均预测误差下降40.3%，由不同算法优化后的SVM预测结果精度可知，基于IGWO优化参数后的SVM相较于PSO和GA优化后的SVM具有更高的预测精度，预测误差的方差最小，具有最高的预测精度和稳定性，对于样本数据的泛化能力更强。

3.3 索力优化结果

图7给出了IGWO在进行索力寻优过程中的适应度与迭代次数之间的关系曲线，由图可知，灰狼种群进化到第100代左右时收敛速度明显降低，至第225代左右时已基本收敛至最优解附近，并在最优解局部呈现出一定的抖动，说明改进后的灰狼优化算法在灰狼种群在收敛至最优解附近时仍然保留着一定的种群多样性，维持算法在局部范围内一定的开发能力。

图7 适应度曲线

图8给出了永久扣索优化结果，由图可知，相较于永久扣索的原设计索力，基于IGWO优化后的永久扣索索力在1号索和5号索有小幅度的提升，分别为107 kN和80 kN；2号索和3号索有小幅度的降低，分别为46 kN和43 kN，其中4号索索力降幅最大，由1860 kN降低至1669 kN，降幅约10.3%。优化后的永久扣索索力分布均匀度得到了一定幅度的提升，在保证计算线形逼近目标线形的前提下，结构整体受力更为合理。

图8 索力优化结果

图9给出了索力优化前后的线形偏差计算结果，对比设计索力与优化索力的线形计算结果可知，基于IGWO优化后的索力组合大幅降低了拱肋各控制节段与理论标高的线形偏差，各控制节段计算线形与目标线形的相对偏差平均下降了5.25 mm，其中，拱顶处线形偏差平均降幅约为77%，验证了IGWO-SVM组合优化模型的有效性。对比IGWO-SVM优化结果与有限元优化结果(FEM)可知，考虑到索力-线形为高度复杂的非线性映射关系，IGWO-SVM对优化后的索力组合适应性良好，预测结果与FEM计算结果保持了较高的一致性，平均相对误差仅为9%。

图9 线形偏差结果

传统有限元法和IGWO-SVM组合优化模型的计算耗时见表3，从两种方法的总优化耗时可以看出，在保证了优化效果的前提下，相较于传统有限元优化方法，IGWO-SVM组合优化模型利用机器学习算法替代了有限元计算，极大缩短了优化程序的计算时间，大幅度提升了结构的优化效率，验证了IGWO-SVM组合优化模型在工程优化问题上的有效性。

表3 计算时间对比

4 结束语

(1)基于混沌映射初始化种群和余弦收敛因子改进的IGWO算法相较于标准GWO算法性能得到大幅度提升，有效避免了算法陷入早熟，在4个测试函数中均收敛至理论最优解；

(2)相较于PSO算法和GA算法，基于IGWO算法优化后的SVM线形预测模型可以准确模拟大跨径拱桥索力与线形的非线性映射关系，预测误差最小，具有较强的学习泛化能力；

(3)基于IGWO-SVM建立的组合优化模型可以有效解决斜拉扣挂法施工的拱桥索力优化问题，相较于传统有限元优化方法，大幅缩短了时间成本，提高了优化效率；

(4)本文提到的组合优化方法不一定对所有工程都具备良好的适应性，针对其它工程问题，未来可对SVM的核参数做出针对性的调整与改进，以达到对特定工程最佳的优化效果。