新课标下小学数学探究能力培养的思考——以北师大版六年级“圆的周长”一课为例

文| 孙治国

新课标背景下，学生是课堂的主体，教师需要结合学生成长特点讲授新知识，鼓励学生质疑、探索与创新，主动分享不同看法。现以北师大版六年级“圆的周长”一课为例，带领学生探索圆的周长并透过现象看到本质所在，培养其数学核心素养。

一、创设情境，引入新知

（一）创设生活化情境，帮助学生初步构建周长的概念

教师：同学们，我问大家一个有趣的数学问题，一只蚂蚁沿着正方形走一圈，另一只蚂蚁沿着圆走一圈，谁走的路程长？请大家大胆猜一猜。

学生积极思考，通过讨论明确：要比较蚂蚁走过的路程，应该比正方形一圈的长度与圆一圈的长度。

教师：现在我们换一种方式，请思考下面的问题：（1）自行车和滑板车，谁的轮子大？（2）如果同样只滚动一圈，谁能滚得更远？（3）为什么它滚得远？

学生结合刚才的结论，明确上述问题比较的是圆的一圈的长度，回顾与圆相关的知识。

教师：请同学们在纸上画一个圆，裁剪好。请把裁剪好的圆举起来，摸一摸圆的周长，再次体会圆的周长是什么。（实际上是圆的一周的长度）那么，现在继续思考，自行车和滑板车谁滚得远？

学生发散思维，思考自行车轮与滑板车轮滚动与圆之间的联系。

生1：车轮滚动一圈，留下一条直线，这条直线就是车轮的周长。

生2：轮子越大，滚动距离越长，是不是圆越大，周长越长？

教师设计以下问题：①自行车车轮滚动一圈的长度是什么？②滑板车车轮滚动一圈的长度是什么？

学生进一步思考与探索，教师指名回答。

生1：自行车车轮滚动一圈的长度是自行车车轮的周长。

生2：滑板车车轮滚动一圈的长度是滑板车车轮的周长。

（设计意图：运用生活元素让知识立体化与直观化，同时通过多个有关联的问题带领学生走入生活情境，回顾车轮滚动一圈的情况，引发探讨兴趣，理解周长的真正含义，构建周长的概念。）

（二）展开新课

教师结合小学生思维特征，带领学生总结知识点，并设计引导问题：观察圆并说一说什么是圆的周长，总结圆的周长概念。

学生再次摸一摸刚才剪好的圆形纸片，再比一比同桌的圆，结合教师的问题，指着圆片争相讲解。

生1：圆的周长是这个圆一圈的长度。

生2：圆形的周长是围成圆形的这条曲线的长度。

教师及时揭示课题：现在，我们进一步认识圆的周长。请大家回答下面的问题：（1）我们知道了圆的周长，如果让你制作另一个圆，要求比第一个圆大或者小，你该怎么画？（2）想一想，圆的周长是一个长度，它和什么有关系呢？

生3：增加围成圆的曲线的长度，让圆变大。

生4：用手部做出扩大的动作，表示大圆；用缩小的动作表示小圆。

学生意识到可以增加或者缩短圆的直径，从而调整圆的周长。

教师及时引导学生总结概念，提出问题：同学们，如果用严谨一点的语言该如何表述圆的周长？

学生结合圆的概念与性质思考，并运用数学思维去组织语言，总结出围成圆一周的曲线的长度是圆的周长，成功获得圆的周长概念。

（设计意图：教师在情境创设后直接揭示课题，通过简单的问题引导学生总结概念性知识，将更多的时间放在后续探索环节，保证新课程标准能够落实到位。）

二、探索交流，解决问题

（一）自主探究

教师结合圆的周长概念，带领学生探索如何测量圆的周长。

教师通过设问引思，帮助学生明确探索方向：（1）你如何知道这个圆形纸片的周长？（2）你会使用什么办法？（3）你的办法最简单吗？请展示你的办法。

学生自主思考与研究，计算圆形纸片的周长。

生5 展示自己的办法，用一根绳子绕圆形纸片外边一圈，做好标记，用直尺量绳子长度，就算出这个圆片的周长。

教师巧设问题：（1）大家都是用这个办法吗？（2）想一想，还有其他不同的办法吗？

学生展示不同方法，有的将圆立起来，放在纸上，记录圆与纸接触的位置，再滚动圆片一周，待滚动至刚才圆上标记的点时停下来，计算这一段滚动的长度。

教师总结：看来大家想到的办法，基本上是把圆的周长转化为曲线的长度。很棒，这种办法很不错，是测量圆的周长的好办法。但如果圆非常大，你该怎么计算？古代的人是怎么计算圆的周长的？

（学生思维开始活跃，期待学习计算圆周长的新办法。）

设计意图：调动学生已有知识与经验，引导学生自主探究完成圆的周长测量，同时将数学思想“化曲为直”渗透其中，帮助学生去寻找解决数学问题的办法，培养其探究意识与实践能力。

（二）唤醒动力

教师结合上一环节留下的疑问，创设新情境，用多媒体展示北京天坛公园的回音壁，又展示“天津之眼”的摩天轮，引导学生思考：（1）回音壁与摩天轮都是什么形状？（2）请问如何用刚才的方法去测量它们的周长？是否有其他办法测量？

（学生纷纷思考并分享自身真实想法。）

生1：可以运用目测法计算。

生2：可以用比例与估算的方式去计算。

教师引导学生回顾：圆包括半径、直径、圆心，那么圆的周长是否跟这些元素有关？

（设计意图：创设新情境，引导学生感悟用“围”的方式测量圆周长的局限性，从而理解计算圆周长公式的重要性，激发学生学习内驱力，成功唤醒学生探索动力，进一步落实新课标。）

三、小组活动，深入探究

（一）合作探究

教师设问：（1）长方形周长的计算需要什么条件？（2）计算圆的周长需要知道什么？

学生回顾并积极回答。

生1：长方形周长需要知道长与宽。

生2：在滚动的方式下计算圆的周长时，圆的半径与直径并没有发生变化，所以计算圆的周长需要知道圆的半径或者直径。

师：那么，你们知道圆的周长与半径、直径有什么关系吗？

学生分小组探究，各小组通过估算明白圆的周长是直径的2 倍多，但未获得具体数值。

（设计意图：用合作探究方式解决上一环节遗留问题，探究圆的半径、直径与周长的关系。教师通过问题与小组合作让学生挖掘知识之间的联系，让知识成功迁移，有利于培养学生探索能力。）

（二）推导公式

教师布置小组任务：（1）将圆分成不同等份，计算圆的周长是直径的几倍。（2）各小组试着计算，分别分成4 份、6 份，记录计算结果。

各小组展示计算结果：

1 小组：把圆等分成4 份，圆的周长是直径的4倍左右。

2 小组：在分成6 份时，圆的周长比圆的直径的3 倍多一点。

……

各小组进入深度探索阶段，计算出3.2 左右。

教师：圆的周长除以直径的商为什么都不是固定的数呢？是因为测量不准确而存在一些误差吗？

学生继续计算，发现确实如此，从而陷入困惑。

教师：大家的计算过程完全正确，但不可避免会出现误差，只能减少误差。在古代，我国知名数学家祖冲之揭示循环小数圆周率为3.1415926……比欧洲早好几百年。后来欧洲数学家进一步研究之后，圆周率计算到小数点后12411 亿位，并用π 表示。

学生在知道这一结果之后，开始崇拜公式的形成过程，水到渠成地理解了圆的周长计算公式为C=πd 或者C=2πr。

（设计意图：结合上一环节的疑问，教师引导学生继续猜想与假设，进入公式推导过程。在合作探究中用旧知学习新知，帮助学生通过思考与验证形成新知识，体会极限思想，同时渗透爱国主义教育，让学生带着自豪感去探索数学知识。）

四、回顾整理，实践应用

（一）总结提升

教师总结：今天你有什么新收获？

学生：了解了圆的周长概念，学习了圆的周长公式，知道了祖冲之和圆周率的故事。

教师：你认识了哪位科学家？他的成就是什么？

学生：我们认识了祖冲之，他发现了圆周率。

教师：你还想了解有关圆的什么知识？

学生：圆在生活中有哪些应用呢？

学生讨论后，教师总结：在日常生活、工农业生产、交通运输、土木建筑等方面，都可以见到圆的形象，如蒙古包、汽车轮胎等。

（设计意图：通过知识之间的联系去学习新知识，使学生形成数学思想，掌握学习方法与运用技巧，促进学生总结和探究等能力的提升。）

（二）实践应用

运用所学知识解决实际问题，同时开展变式训练。

教师多媒体出示之前展示的天坛回音壁与摩天轮的图片，邀请学生解决最初遇到的问题。教师给出的已知条件是：天坛回音壁围墙直径为65 m，摩天轮圆形框架半径为55 m，同时设计变式训练，一个长方形的羊圈需要改装成圆形羊圈，已知长方形的长为5 m，宽为3 m，请问圆形羊圈的周长是多少？

学生利用C=πd 或者C=2πr 完成计算并展示计算结果，感受π 的关键作用，还灵活地将长方形周长转换为圆的周长进行计算。

（设计意图：让学生运用亲自探究得出的圆的周长计算公式去解决最开始遇到的实际问题，通过变式训练实现其解决问题能力的同步培养。）

五、教学反思

（一）创设教学情境，激发探究欲望

在新知导入环节，教师通过教学情境的创设帮助学生建立起圆的周长概念，全面调动其生活经验。但教师还应重视学生适应社会能力的培养，如带领学生探索测量山体与湖泊的周长，增强其社会责任感，学生将化身设计师去探索与运用数学知识。

（二）重视推导过程，探究新的知识

在自主探究与合作探究环节，教师成功融入“化曲为直”的数学思维，快速启动问题“倍数关系”，使各小组凭借集体智慧探索圆的周长公式。在该过程中，学生观察圆的周长与直径的关系，大胆去验证与分享想法，获得圆周率近似值。在新课标下，教师要围绕学生探究能力的培养，增设小组竞赛活动，让各小组更积极地去探索，融合创新思维去寻找测量圆的周长的办法。在比赛氛围中，学生能够突破“围”与“绕”的局限，用计算的方式去解决实际问题，结合圆的近似值去探索圆的周长、直径、半径之间的联系，对前面的猜想、推理做到及时验证与总结，通过探究获得新知识，提升自身探究能力。

（三）丰富教学内容，培养学习情感

教师要促进知识迁移，做到“为迁移而教”，让学生善于探索知识间的联系并加以利用，让原有知识与新知识同化、融合。教师不仅要通过长方形周长计算引出圆的周长，还应融入游戏元素，例如，设计闯关游戏，先说出长方形周长计算原理，成功者进入第二关看到圆的周长、圆周率的故事，化身数学家去总结圆的周长计算公式。再进入第三关，看到思维导图内容，理清知识之间的联系，如圆的直径、半径、圆周率与周长的关系。与此同时，教师用短视频展示刘徽、祖冲之获得的世界性成就，讲述更多数学家的故事，激发学生探索、爱国的学习情感。

（四）开展实践应用，强化探究能力

在总结与训练环节，教师应融入更多实际元素，设计多种类型的训练，例如，计算圆形广场、圆形农田的周长等。在实践应用中，学生将圆周长计算公式运用于生活各方面，更好地理解圆周长计算与运用的实际意义。