利用几何画板讲一次函数的图象与性质

文｜宗迎峰

一次函数是学生首次学习，由于具有高度抽象性，给学生的学习带来一定难度。一次函数探索过程中的数形结合思想，为学生以后学习二次函数、反比例函数以及其他函数提供了可以类比的研究途径。在教学过程中若单纯使用传统教学手段，学生很难完全理解一次函数的图象与性质。而利用几何画板不仅可以方便地画出一次函数的图象，学生还能通过动手操作体验到函数图象与性质随函数解析式变化而做出的相应改变，进一步提升信息素养。

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》对一次函数提出的学业要求是会根据一次函数的图象和表达式y=kx＋b（k≠0）探索并理解k值的变化对函数图象的影响，同时还提出，数学课堂上要利用数学专用软件开展数学实验。

一次函数的图象与性质取决于k值和b值，只从解析式角度去分析，显然不够直观，学生难以完全理解和掌握。在正比例函数的基础上探索一次函数图象的平移变化，尽管学生也可以用描点法画出图象进行研究，但描出的点比较有限，图象不够精确。同时，如果画出的图象数量过少，缺乏普遍意义，学生难以观察归纳出本质特征；如果画出的图象太多，又比较耗时。而运用几何画板（5.06 版）这一工具，通过演示对比正比例函数与一次函数，学生能够更好地体验数形结合的思想，并且在学习过程中感受“从特殊到一般”这一重要数学研究方法。

一、一次函数图象平移

一次函数图象初中阶段只涉及上下平移，选择函数y=2x和函数y=2x＋3 进行研究，这两个函数解析式比较简单，便于计算和描点。

（一）从“数”的角度分析研究

学生观察解析式的异同，思考：函数y=2x＋3 和函数y=2x相比，多了常数项3，当自变量取相同数值时，函数值会有什么差异？

学生列表求值，x取一些特殊数值，计算两个函数对应的函数值，并对函数值进行对比，观察规律。

思考：当x取相同数值时，y=2x＋3 的函数值比y=2x多3，这在图象上会有什么样的表现？

猜想函数y=2x和函数y=2x＋3 图象的关系。

以上是从自变量与函数值的角度分析两个函数的关系，学生能理解“当横坐标相同时，函数y=2x＋3上的点纵坐标比y=2x大3”，进而根据“点动成线”提出自己的猜想，但缺乏直观感受。

（二）从“形”的角度分析研究

学生在操作台上用几何画板画出函数y=2x和函数y=2x＋3 的图象，其他学生同时在练习本上用描点法画出图象。虽然几何画板可以直接画出图象，也比较直观准确，有利于学生观察，但学生用描点法画图的过程也是不可缺少的，这既是为了培养学生的画图能力，同时又因为画出函数图象、观察函数图象进而归纳性质特征是研究函数的思路，这为以后研究新函数提供了途径。

1.学生画出图象以后，与操作台同学画出的图象进行对比，观察自己所画图象是否正确。

观察图象思考：函数y=2x＋3 的图象是什么形状？函数y=2x和函数y=2x＋3 的图象有什么位置关系？

猜想：函数y=2x图象通过怎样的平移能够得到函数y=2x＋3 的图象？

以上活动是让学生通过观察初步感知函数y=2x＋3 的图象与性质。

2.在两个函数图象上构造一些横坐标相同的点。

学生观察思考：当函数y=2x与y=2x＋3 图象上的点横坐标相同时，纵坐标有什么关系？

发现：当横坐标相同时，函数y=2x上的点的纵坐标比y=2x＋3 小3。

为了更有说服力，在函数y=2x上构造点A，经过点A作y轴平行线，然后构造这条平行线与函数y=2x＋3 的交点B，度量点A和点B的坐标。拖动点A，就可以清晰地看到：随着点A位置的改变，点B和点A的横坐标相同，纵坐标多3。

3.思考：点A通过怎样的平移能到点B的位置？

学生发现点A向上平移3 个单位长度得到点B。

教师演示平移的动态过程。

为了便于学生观察，把先前所构造的函数y=2x图象上的点在“显示”菜单中设置成“追踪点”，这样，当点击“动画点”按钮时，函数y=2x的图象向上平移的轨迹就直观地显示出来了。

4.思考：根据“点动成线”，函数y=2x的图象通过怎样的平移能够得到函数y=2x＋3 的图象？

学生通过前面过程已经理解了两个函数图象上对应点的关系，能够得出结论：函数y=2x图象上的每个点都向上平移3 个单位长度就得到函数y=2x＋3的图象，所以函数y=2x＋3 的图象也是直线。

观察两条直线的位置关系，发现它们互相平行。

教师用几何画板演示直线平移过程。

利用前面做出的点A和点B构造线段AB，在线段AB上构造点C，选中点C和点A，在“构造”菜单里点击“轨迹”，出现和直线y=2x平行的直线。选中点C，按“编辑→操作类按钮→动画”流程操作，出现“动画点”按钮，右键设置“属性”，“方向”选择“向后”，然后点击“确认”。点击“动画点”，可以看到函数y=2x图象向上平移3 个单位长度得到函数y=2x＋3图象的过程。

把常数项换成其他数字进行演示，学生观察总结。

用类似的教学流程在动态变化中来讲函数y=2x图象和函数y=2x－3 图象的关系，以调动学生的积极性，增加学生参与演示的机会。

5.在教学k值小于0 的一次函数图象性质过程中，把上面的流程做一个相反的变化。

先提出问题：把正比例函数y=－2x的图象向上平移4 个单位长度，哪些特点发生变化？哪些特点不变？请猜想解析式。

学生已经有了前面的探究经历，所以在学习活动中不急于演示动态变化过程，可以先引导学生从函数的增减性、经过的象限、与y轴的交点坐标等方面对正比例函数y=－2x进行想象，然后思考它向上平移4 个单位长度以后有哪些特点发生变化，哪些特点不变。

学生回答之后，不评价对错，先画出函数y=－2x+4 的图象，然后演示动态过程，让学生观察图象的相同点和不同点，对结论进行验证。

学生观察思考：正比例函数y=－2x的图象在向上平移过程中，解析式哪些部分发生变化？哪些部分不变？

在“度量”菜单中有“度量方程”的功能，拖动函数图象，学生能够观察到当函数图象位置发生变化时，k值不变，一直都是－2，b值发生变化。这为下面总结一次函数图象的性质作出了铺垫。

一次函数图象是一条直线，但在几何画板中经过定点画这个函数图象的平行线是不能直接作出的，往往是在原函数图象上构造两个点，然后经过这两个点画出一条和原函数图象重合的直线，最后再经过定点来构造这条新直线的平行线，从而得到与原一次函数图象平行的直线。

“轨迹”构造的直线也无法直接度量方程，同样可以在这条直线上构造两个点，隐藏直线，然后构造经过这两个点的直线，度量新直线的解析式。

在演示图象平移过程中往往会出现一种情况：图象平移之后会跳回原来的位置，不能停留在终点，不利于学生观察。以直线y=－2x平移到直线y=－2x+4为例来解决这个问题，先根据前面流程作出直线y=－2x向上平移4 个单位长度得到直线y=－2x+4 的动画，再选中直线y=－2x+4 做“隐藏/显示”按钮（流程是编辑→操作类按钮→隐藏/显示），然后依次选中“动画点”和“隐藏/显示”两个按钮，在“编辑”菜单中“操作类按钮”选择“系列按钮”，这样就实现了一个按钮控制整个移动过程，并且不会发生跳回现象。

6.归纳总结阶段把重点转向学生的操作体验。因为经过前面的学习过程，学生已经对一次函数图象和性质有了初步的理解，还需要通过进一步的体验感悟来加深印象。

为了让学生直观感受k值的作用，教师可让学生画出大量k值固定不变的一次函数的图象，如k=0.5，画出直线y=0.5x，y=0.5x＋4，y=0.5x＋2，y=0.5x－1.5，y=0.5x－4…学生观察到这些函数的图象都是平行的直线。

总结规律：一次函数的k值相同时，它们的图象是一组互相平行的直线；反过来，当一次函数图象是平行直线时，它们的解析式k值相同。

学生在几何画板中画出k=-2 的一次函数y=-2x，y=-2x+4，y=-2x+2，y=-2x-0.5，y=-2x-3…的图象，通过观察再次验证规律。

思考：观察两组函数图象以及前面正比例函数图象到一次函数图象的动态变化过程，你能说出一次函数图象从左到右上升或下降的规律吗？

由此得到k的第二个作用：k＞0，一次函数图象从左到右上升，函数值随自变量的增大而增大；k＜0，一次函数图象从左到右下降，函数值随自变量的增大而减小。

把正比例函数图象和一次函数图象放在同一个坐标系中，更方便比较它们的异同。

通过以上过程，学生对一次函数中k值对图象的两个作用有直观、清晰的理解认识。

二、一次函数图象与y 轴的交点

一次函数中常数项的作用与以后要学习的二次函数中常数项的作用相同，所以常数项的研究方法对今后学习其他函数具有指导作用，仍然从“数”与“形”两个角度进行研究，以函数y=2x+3 为例。

（一）从“数”的角度分析研究

思考：一次函数y=2x+3，当x=0 时，y值等于几？

学生求出当x=0 时，y=3。

思考：这个计算结果反映了函数y=2x+3 的图象有什么样的特征？

根据自变量和函数值的关系，可以知道函数图象与y轴的交点坐标是（0，3）。

思考：一次函数y=kx+b（k≠0）与y轴的交点坐标是什么？

学生利用前面分析具体解析式获得的经验，从特殊到一般，可以推导出一次函数y=kx+b（k≠0）与y轴交点坐标是（0，b）。

从“数”的角度尽管也能得出结论，但缺乏直观性，不利于学生思维的发散，难以进行更深层次的发掘。

（二）从“形”的角度分析研究

1.利用正比例函数图象的平移分析

思考：一次函数y=2x+3 的图象可以由哪个正比例函数图象通过怎样的平移得到？与y轴的交点发生了怎样的变化？

这是由函数图象的平移得到与y轴交点的平移。

学生由函数y=2x的图象向上平移3 个单位长度得到函数y=2x+3 的图象，可以联想到图象与y轴的交点也向上平移了3 个单位长度，函数y=2x+3 的图象与y轴交点坐标为（0，3）。

2.几何画板画图分析

学生在操作台上利用几何画板画出一次函数y=4x+3，y=2x+3，y=0.5x+3，y=-0.5x+3，y=-x+3，y=-2x+3…的图象。

观察思考：这些图象与y轴的交点有什么特点？

学生可以看出它们与y轴的交点坐标都是（0，3）。

观察思考：它们的解析式有什么样的共同点？

学生能够发现函数解析式中常数项b值都是3。

这样学生就建立起了b值与函数图象y轴交点坐标之间的关系，进一步引导学生分析为什么它们的图象与y轴的交点坐标都是（0，3）。

最后学生共同归纳出一次函数y=kx+b（k≠0）中b值的作用：决定着一次函数图象与y轴交点的坐标，b值相同的一次函数图象与y轴交点在同一位置。

三、结语

如果使用传统教学手段，只能侧重从“数”的角度分析一次函数图象和性质，尽管也可以用描点法对画出的图象进行分析研究，但不利于学生完全理解一次函数的本质，也不利于学生进一步发掘。

课堂上利用几何画板讲授一次函数，一方面动态演示，从微观和运动变化的角度进行探索，真正实现了数形结合，另一方面强大的交互性让学生有更多的参与机会，学生在“做中学”，通过体验感悟，能够从本质上理解一次函数的图象与性质，并且留下深刻印象。同时，利用几何画板把正比例函数的图象和大量的一次函数的图象放在一个平面直角坐标系中加以对比，让学生在动态变化中清晰、准确地认识和理解它们的关系，进一步体验到类比的数学思想。

但是几何画板只能作为一种辅助教学手段，在教学过程中不能完全以演示代替教师的启发引导和学生的画图实践，只有合理利用，才能真正促进数学教学方式的变革，提高学生的核心素养。