概率论与数理统计课程思政的方法探索

王小飞 周亚群 王佳佳

摘 要：《概率论与数理统计》课程是高等院校理工类和经管类学生的必修课程，该门课程的学习效果直接影响后续专业课程的学习。结合教学经验总结以及《高校思想政治工作质量提升工程实施纲要》文件的相关要求，本文介绍了《概率论与数理统计》课程思政教学方法的若干探索，其目的是提高学生学习的主动性，增强学生对该门课程的学习兴趣。

关键词：概率论与数理统计；教学；课程思政

中图分类号：G4     文献标识码：A      doi：10.19311/j.cnki.16723198.2023.04.082

0 引言

概率论与数理统计是高等院校理工类和经管类学生的基础课程之一，是学生日后参加社会生产和工作的必要基础。随着社会的发展，概率论与数理统计课程在经济、管理、社会生活和科学研究等方面有着越来越广泛的应用。概率论与数理统计是研究随机现象客观规律的一门学科，是数学的一个重要分支，其主要内容包含随机事件及其概率、随机变量及其期望、随机变量的数字特征、大数定律与中心极限定理等内容。该门课程是理工科学生和经管类学生的必修课程，是高等数学的后续课程。大多数高等院校将该门课程放在学生大学生活的第三、第四学期进行学习。随着年级的升高，部分学生的学习热情有所下降，如何提高高年级学生对该门课程的学习兴趣显得非常重要。

另外，中共教育部党组于2017年12月发布了《高校思想政治工作质量提升工程实施纲要》，详细规划了“十大育人”体系。《实施纲要》要求深入推动习近平新时代中国特色社会主义思想进教材、进课堂、进头脑，大力推动以“课程思政”为目标的课堂教学改革，优化课程设置，修订专业教材，完善教学设计，加强教学管理，梳理各门课程所蕴含的思想政治教育元素和所承载的思想政治教育功能，融入课堂教学各环节，实现思想政治教育与知识体系教育的有机统一。培育选树一批“学科育人示范课程”，建立一批“课程思政研究中心”（摘自《高校思想政治工作质量提升工程实施纲要》）。根据《实施纲要》要求，如何在该门课程中进行课程思政，也是需要探索的一个课题。

本文将从课程教学方法、在教学过程中如何进行课程思政等方面进行探索。

1 教材选择

首先開设该门课程的学生是二年级以上的学生，学习该门课程时很多数学知识可能已经忘记，这样会让他们丧失学习该门课程的学习热情。为了提高学生的学习热情，我们可以在讲授知识点之前适当复习一下需要用到的相关数学知识，提高他们的学习信心。其次，该门课程的可供参考的教材很多，难度不一。因此我们在选用教材时需要提前阅读教材，尽量选择一本适合自己学生的教材。

2 结合多媒体进行教学

由于该门课程一些定义和例子比较繁琐，所以可以适当结合多媒体进行教学。可以通过图表、动画等提高学生的课堂注意力。其次需要根据不同的学生，对课堂内容进行适当调整。对于比较繁琐的证明，可以适当简化其证明过程，力求化复杂为简单，讲清楚其证明思路，留充足的时间给学生自己练习。

3 在教学中引入生活案例，进行课程思政

在第一次上课时，可以给学生讲解下我国概率统计的发展历程，特别是介绍下我国数理统计学科和概率论学科的奠基人许宝騄先生。2010年9月1日，我国概率统计学科的奠基人许宝禄教授百年诞辰纪念会在北京大学举行。国家统计局总统计师鲜祖德出席纪念会并致辞。鲜祖德说，“许宝禄教授是中国早期从事数理统计学和概率论研究并达到世界先进水平的杰出数学家，在中国开创了概率论、数理统计的教学与研究工作。许宝禄教授热爱祖国，崇尚科学，他一生淡泊名利，为人谦和，刻苦钻研。他晚年虽然体弱多病，仍顽强地坚持科研和教学工作，为提升我国的统计研究和应用水平作出了巨大贡献，直至生命的最后一息。许宝禄教授对科学研究的态度和精神永远值得我们学习，他是中国统计学界的骄傲”。在讲授相关知识点时，可以用一些生活中的例子，提高学生的学习兴趣。如：

例1：春节燃放烟花爆竹是延续了两千余年的民族传统，但燃放烟花爆竹也经常引发意外，造成惨剧。假定每次燃放烟花爆竹引发火警的概率是十万分之一，若春节期间北京有100万人次燃放烟花爆竹。计算没有引发火警的概率。

解：用n表示燃放爆竹的人数，Aj表示第j次燃放没有引发火警。则n=106，B=∩nj=1Aj表示春节期间燃放烟花爆竹没有引发火警。由案例背景可知A1，A2，…，An相互独立，且P（Aj）=1-10-5。则P（B）=P（∩nj=1Aj）=（1-10-5）n≈4.5×10-5

由此可知，不发生火警是一个小概率事件，在一次试验中是不可能发生的。即不引起火警是不可能的。如文献[6]所述：“据报道：2005春节期间，从腊月三十下午5时至正月初五下午3时，北京市共接报火警818起，其中烟花爆竹引发的火灾282起，除夕夜接报火警444起，因燃放烟花引起的火情172起。市卫生局统计，因燃放烟花爆竹致伤到28家重点医院救治的有307人，4人因燃放烟花爆竹死亡”。讲完该例子后，我们接着可以说有些地方政府春节期间禁止燃放烟花爆竹是合理的，是为了人民的切身利益，从而提高学生对政府政策的理解度，增强学生对政府的支持度。

例2：在讲授贝叶斯公式时候，可以用如下的例子：俗话说“只有再一再二，没有再三再四”，这是为什么呢？接着介绍贝叶斯公式。然后用贝叶斯公式来分析这一问题。经过计算可以发现，一个本来诚信的人，假如连续两次撒谎，经过两次使用贝叶斯公式，可以发现此人的诚信度急剧下降，第三次别人将不会再相信此人。类似的例子还有“烽火戏诸侯”，银行放贷等。讲完这些例子后，可以接着进行德育教育，说明诚实守信的重要性质。

例3：在讲授正态分布时，力求介绍清楚正态分布的性质及其应用，说明正态分布很简单，但是可以描述生活中的很多事。接着进行德育教育，正态分布很简单，但是其在生活中有很多应用，即大道理有时候都非常简单，如中国古代思想家教育家孔子的名言“己所不欲，勿施于人”，这句话虽然非常简单，但是说明的道理却很深刻，很多外国人也知道，由此来增强学生的民族自豪感。

例4：假设P（Bi）=ε，i=1，2，…，B1，B2，…相互独立。其中ε表示很小的正数，A=∪

i=1Bi，求P（A）。

解：P（A）=P（∪

（1-ε）n=1。

该例求法比较简单，但是隐含的思想比较深刻。由于ε很小，所以在一次试验中事件Bi不会发生。事件A表示无穷多次试验中，事件Bi至少发生一次的概率，由计算结果可知，无穷多次试验中，事件Bi肯定会发生。这也是小概率思想，即概率不为0的事件只要坚持一直做下去，肯定会发生，但是在一次试验中，小概率事件不发生。正如俗话说“常在河边走，哪能不湿鞋”“常在江湖飘，哪有不挨刀”都是这个道理。可以警示学生，平时注意防范微小的错误，不然日积月累，会发生质的变化，可能酿成大祸。

例5：结合时事热点进行授课，如在讲授数学期望时，可以分析如下问题：在进行社区大规模核酸检测时，分成几人一组进行混检效率最高？

解：假设需要对n个人进行检测，人群中的病毒携带者的概率为p，每次将l个人的唾液样本进行混合检测。若混合样本的检测结果为阴，则说明这l人都不携带该病毒。否则说明这l人中至少有一人携带该病毒，接下来需要将l人进行逐一检测以找出病毒携带者。问题是将l设置为多少最合适呢？若用X表示每个人的检测次数，则X的可能取值为1/l，1+1/l。取值的概率分别为：

P（X=1/l）=（1-p）l，P（X=1+1/l）=1-（1-p）l

从而可知：EX=1-（1-p）l+1/l。在实际中得到p的估计后，自然是希望EX越小越好。因此这是一个简单的求极值问题，很容易得到合理的l的估计。

例6：在讲授数学期望定义时，先讲清期望的定义。以离散型随机变量为例，假定随机变量X的分布律为：

P（X=xi）=pi，i=1，2，…

则当级数∑

i=1xipi的求和不会因为求和次序的改变而发生改變。讲完该知识点后，可以接着进行课程思政，即我们说的加法具有交换律是指在有限项的情况下，当求和项具有无穷多项时，交换律就不一定成立。这蕴含了量变到质变的哲学思想。在学习和实践中就必须首先作艰苦的量的积累工作，要有脚踏实地，埋头苦干的精神，要一点一滴地做细小的事情，反对急于求成，立竿见影，揠苗助长，须知欲速则不达的道理。老子说：“为学日益，为道日损”。“日益”“日损”都是量变的过程。在进行量的积累时就要充满必胜的信心和信念，不能因量变的漫长和艰辛而放弃或失去信心，要相信规律、相信质变必然会发生（摘自对立统一规律、量变质变规律、否定之否定规，https：//www.doc88.com/p-98337093528.html-2011）。

例7：假定在n重伯努利实验中，事件A出现在概率：P（A）=p，X表示n次实验中事件A出现的次数，则

P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k，k=0，1，…，n

称X服从参数为n，p的二项分布，记为X～B（n，p）。讲完该定义后，接着讲如下例子：

假设有80台机器，每台及其发生故障的概率为0.01，假定机器之间是否发生故障是相互独立的，假定每名维修工人只能同时维修一台机器，假定有两种维修方案，一种维修方案是配备三个工人同时维修80台，第二种维修方案是配备四个工人，每人承包20台。试问两种维修方案，哪种不能及时维修的概率小？（该例来自文献[2]）。

分析：在第一种方案下，用X表示80台机器中需要维修的台数，则根据问题背景可知：

X～B（80，0.01），不能及时维修的概率为：

P（X≥4）=∑80k=4Ck800.01k0.991-k=0.0091

在第二种方案下，用Ai表示“第i个人承包的20台机器不能及时维修”，i=1，2，3，4。则不能即使维修等价于事件A1，A2，A3，A4至少有一个发生，即所求的概率为：

P（A1∪A2∪A3∪A4）≥P（A1）=∑20k=2Ck200.01k0.9920-k=0.0175

通过计算可以发现，第一种方案较好。本例中，n较大，p较小，因此可以近似地看成参数λ=np的泊松分布。第一种方案下，λ=np=0.8。所求概率为：

P（X≥4）=1-P（X≤3）≈1-∑3k=00.8kk！e-0.8≈0.0091

第二中方案下，λ=np=0.2，所求概率为：

P（X≥2）=1-P（X≤1）≈1-∑1k=00.2kk！e-0.2≈0.0175

可见两种方法所得的结论是一致的。讲完该例子后，可以进行课程思政。第一种方案是在三人合作的情况的取的结果，即说明团队合作的重要性。一滴水，不管多么晶莹剔透，风一吹，太阳一晒就会瞬间消逝，然而汇入大河，则会展示其无限的生命力。一道微光，起不了什么作用，可是千万道光聚在一起，便足以驱走黑暗，带来光明。在我们现实生活中，无处不体现团队协作的重要性。就拿拔河比赛来说，即使个人的力量再强大，如果没有相互协作，胡乱使劲，又有什么用呢？反之，即使个人的力量很渺小，但大家都劲往一处使，力往一处发，那么，胜利将是属于他们的，因为分工明确，因为团结。古人云：“人心齐，泰山移”，这是对团队协作的最好总结（摘自团队协作的重要性（总结10篇），http：//www.qunzou.com/shenghuo/10296.html-2019）。

例8：在赌场，有很多人在赌廿一点时顺便押对子。其规则如下：庄家从6副（每副52张）扑克中随机发给你两张。如果赌徒下注a元，当得到的两张牌是一对時，庄家赔赌徒十倍，否则赌徒输掉的赌注。如果赌徒下注100元，赌徒和庄家在每局中各期望赢多少元？（该例来自文献[6]）。

解：用X和Y分别表示赌徒和庄家在一局中的获利，a=100。则由古典概型可知

P（X=10a）=0.074，P（X=-10a）=1-0.074

于是每局赌徒期望赢得

EX=10a×0.074-10a×（1-0.074）=-18.6

每局庄家期望赢得

EY=-10a×0.074+10a×（1-0.074）=18.6

即每局赌徒期望以输钱结束。进一步，结合强大数定律可知，样本均值以概率1收敛到总体均值，即若长期赌下去，赌徒以概率1不会赢钱。如文献[6]所述：“据记载，人类的赌博活动已经有三千多年的历史了。在这漫长的历史中，大量的赌徒早已输光，而新的赌徒也在不断地涌现并将不断地输光，为数极少的赌庄也有形成而且还会形成，但是在公平赌博模型下，它们最终总逃脱不掉破产的命运。容易理解，在非公平赌博模型下，赌徒破产和赌庄聚积赌资都将加快，而且赌庄会以一个正概率永不破产”。这个例子告诉学生一个人生哲理：不要做投机取巧的事情，只有越努力越幸运。想不通过自己的努力和付出，对工作、学习或生活进行蒙骗、造假，企图获得通过是行不通的。人生的路没有捷径可走，要一步一个脚印的去走，要扑下身子，扎扎实实地去做。

4 注意线上与线下教育相结合

在上课之前，要求同学们先预习相关内容，对不理解的地方通过微信群、QQ群等方式告知老师，这样在课堂上可以进行针对性讲解。在课堂结束后，可以适当给学生留下一些和生活密切相关的一些思考问题，如敏感性问题调查等，增强学生对该门课程的学习兴趣。通过建立微信群、QQ群等方式，经常与学生沟通，了解学生的学习情况，视情况调整教学方式。另外可将学生课堂表现、课后思考问题的解答等纳入课程过程考核，激发学生学习的主观能动性。

2 总结

本文介绍了一些《概率论与数理统计》课程思政教学方法改革的一些思考，重点从教学内容及其方式的改革等方面进行了探索。在以后的教学中需要不断总结经验，紧跟时代步伐，根据国家的教育政策持续更新教学理念及其教学方法，不断提高教学水平，希望能取得更好地教学效果。

参考文献

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