回首“对折”，促相等与垂直并行进阶

金奎

【摘   要】“对折”是轴对称学习的起始方式，概念进阶就是对应点的连线被对称轴垂直平分。由于学生受“相等”的定格影响，往往难以发现“垂直”的关键作用。教学围绕“暴露‘一样到‘重合的认知冲突；适配‘折到‘不折的心理跨越；挖掘‘相等并‘垂直的完整内涵；重建‘定性到‘定量的原理闭环”，从而实现相等与垂直并行进阶。

【關键词】对折；定性；定量；相等；垂直

从图形的运动角度看，平移、旋转运动都是一个图形在图形所在平面上的二维运动（滑动、转动）。轴对称运动有别于平移、旋转运动，它是一个图形上的任意一点都以对称轴上相应的点为圆心，向图形所在平面外做了180°的圆周运动。回首“对折”，轴对称运动的概念需进阶为对应点的连线被对称轴垂直平分。

“对折”显见“平分”而难现“垂直”，如何实现相等与垂直并行进阶？

一、暴露“一样”到“重合”的认知冲突

二年级“认识轴对称图形”教学，旨在让学生感知生活中的对称现象，通过观察、剪一剪的操作到感悟“轴对称”的数学化过程，侧重对图形的整体感知。这时轴对称教学中涉及的运动常为最直观的做法：对折。

学生的经验来自于“完全一样”，他们认为拥有两部分完全一样的图形即可称为轴对称图形。此时的学生只能给出轴对称图形的主要特征，但无法利用现有的语言体系高度概括出轴对称图形的概念。教师利用一幅呈现同一朝向的两只鸭子的图片制造认知冲突：这幅图左右两部分也是完全一样的，它是轴对称图形吗？由此触发学生的“对折”思维，打破“完全一样”给概念理解带来的认知不完整性的影响。学生在活动中感悟得出“对折后完全重合”的图形才能被判定为轴对称图形（如图1），同时理解和明确“折痕”即对称轴，并感悟“对折”对于轴对称的重要意义。

“动”的经验可以给“想”带来无限的空间，学生经历了大量“对折”的操作活动后，能形成几何变换的初始概念。他们不仅有了图形对称的直觉，也有了图形会动的直觉，那些在作业本上、屏幕上的图形虽不能进行具体的操作，却可以在脑海中“折”。然而，此时学生只是把图形的重合理解成面的相等，不会认识到是点到点距离的相等。

二、适配“对折”到“不折”的心理跨越

四年级《轴对称》教学，是在对折的基础之上进一步渗透轴对称的性质，注重思想和方法的感悟。教师要引导学生在“不折”的前提下找到并能标准地画出轴对称图形的对称轴，发现轴对称的特点：对应点的连线与对称轴垂直并被对称轴平分。最后，利用性质验证“对折”操作为什么能判定图形是否为轴对称图形，达到反哺的效果（如图2）。

然而，当教师提问：你是怎么找到对称轴的？不少学生还是回答“因为对折后完全重合”，思维依旧停留在二年级水平。根据范希尔理论中的进阶性，学生几何思维水平的提升是由教学决定的，而不是随年龄成长或心理成熟自然而然发生的。学生在理解“轴对称”概念的进阶过程中表现出思维的不连续性，也就说明从“折”到“不折”两个水平的过渡不是自然的，而是一个“跨越”的过程。当教学高于学生的思维层次时，必定导致学生无法理解，即产生不适配性。为了适配，教师应设计教学环节让学生经历从动手操作到心理操作（想象）的过程，为学生“跨越”助一臂之力。

【片段1】

教师出示图3。

教师提问：这些是我们二年级时已认识的轴对称图形，大家都能用“对折”的方法找对称轴。今天老师把它们放在大屏幕中，不能对折了，你还能找到对称轴吗？（让学生想象对称轴在哪里，让他们指一指）

教师追问：怎样才能准确地找到对称轴的位置呢？

（让学生用自己喜欢的方式，画出它们的对称轴）

开场说明同样的“对称图形”二年级用“对折”的方法找对称轴，四年级要求“不折”找对称轴。这样不同的要求，为学生从动手操作过渡到心理操作提供脚手架，引导他们的思维从单向低层次向多元高层次发展。

三、挖掘“相等”并“垂直”的完整内涵

学生在二年级时积累的直观经验是“面的相等”，即图形的“完全重合”。在这样的基础上，教师如果借助格子图，学生就容易从“面的相等”过渡到“对应点到对称轴的距离相等”，但很少有学生能够发现“对应点与对称轴垂直”。

（一）适度增加，“自”画蕴垂

根据诺曼和鲁梅尔哈特的研究，“增加”是思维转变方式的其中一种，即在既有的知识模块中不改变原有结构而增加新知识。以下教学片段中，教师在学生自主画对称轴的基础上，利用“相等”的经验去追加问题，层层递进，意蕴“垂直”。

【片段2】

1.教师出示图4，提问：你是怎么画出对称轴的？

（学生指出找到了两个关键的点来画垂线）

2.教师出示图5，提问：只有一个关键点，你又是怎么画出对称轴的呢？

预设一：量一量，再找一个点。

预设二：用画垂线的方法也能画出对称轴。

3.教师出示长方形，提问：你又是怎么画出它的对称轴的呢？（如图6）

（学生根据图5的经验，除了用尺子量，还用了画垂线的方法）

师生小结：画垂线的方法很实用。

准确了解学生遇到的认知障碍是教学中做到“对症下药”的前提。引导学生理解，在画对称轴时紧紧抓住轴对称图形的关键点或者把边平均分成两份，同时借助画垂线的方法，就能标准地画出对称轴。这样就提前埋好了“垂直”的种子，使其后续得以生根发芽。

（二）合理调整，单“等”无垂

从单一的“相等”感性认知调整为“相等并垂直”的理性认知，是学生思维结构变化的体现，也是数学教学本质的要求。以下教学片段中，教师对学生的思维进行加工、改造。学生在思维顺畅后就能突破冲突，在辨析、归纳中深刻体会到：除了相等，“对应点”还应基于连线垂直于对称轴来确定（如图7）。

【片段3】

师：仔细观察，对称轴的左边和右边有什么特点呢？请你找一找，描一描，连一连。

生：我发现对称轴的两边都是一模一样的，并且对应点到对称轴的距离都相等。

（教师根据学生回答，把每个特殊点都指一遍）

小结：从对称轴的两边找到点的对应关系是好办法，那么我们从上往下依次来找。

教师把“垂直”暂时“架空”，意图在于让学生先理解“对应点”，便于下一环节集中火力探究“垂直”。紧接着，通过找特殊点和非特殊点的对应点，引导学生感悟：对称轴一边的任意一点，都能在另一边上找到它的对应点，且在实际中，只要找关键点就行了。

（三）设置矛盾，对“比”引垂

有效的调整是完整、系统地掌握轴对称的关键。教师通过设置矛盾，引导学生在对比中实现思维断层的联结。

【片段4】

教师组织学生讨论图9。

师：点E′到对称轴的距离也是1格，为什么它不是点C的对应点？

生：这两点的连线与对称轴不垂直。

教师追问：对应点除了到对称轴的距离要相等外，还要满足什么要求？

生：连线要与对称轴垂直。

师：一个点不能说明问题，我们再多找几个点，看看它们的连线。

师：每一组对应点都是“距离相等，连线垂直”。

小結：对应点不仅到对称轴的距离相等，并且连线与对称轴垂直。

C′和E′的同时存在，容易使学生把问题聚焦到这两点与点C的连线上来。线段CC′与CE′同时相连，自然就把学生的思维从“相等”引导到“垂直”的层面上来。接下来，教师展示开场时的另两幅图，让学生利用“垂直”的思维方式找对应点，巩固轴对称的特点。

【片段5】

教师出示图10。

师：请看这三幅图，通过画对称轴和找轴对称的特点，你学会了什么？

生：对应点到对称轴的距离相等，连线与对称轴垂直。

师：画对称轴的时候，还可以用画垂线的方法，它的原理其实就是“相等并垂直”。

教师在教学时要将所教内容置于整体设计的知识结构中，让学生进行系统地思考。画对称轴和轴对称的性质之间有着紧密的联系，教师可以通过“垂直”把它们联系起来，从而实现教学的一致性。

四、重建“定性”到“定量”的原理闭环

要使学生深度理解“对应点的连线与对称轴垂直并被对称轴平分”的缘由，教师还需设计教学环节，让学生经历“重建”的过程，也就是让学生重新审视以往的轴对称图形，对其进行再思考、再构建，以获得对轴对称的原理闭环。

（一）重建一：常见图形对称轴条数

【片段6】

质疑：为什么正方形有4条对称轴，而一般的长方形（不包含正方形）只有2条？

师：我们先来研究正方形，重点来分析两条斜的对称轴。

以相对的顶点为对应点，连线垂直，所以正方形的对角线是它的对称轴，另一条对角线也同理可得。

师：长方形（不包含正方形）的对角线，是不是它的对称轴呢？以相对顶点为对应点，连线，你发现了什么？

生：与对角线相互不垂直。

师：它们虽然长度相等，但不垂直，所以这条对角线不是长方形的对称轴。

小结：轴对称的性质可以解决以前只能靠对折才能解决的问题。

教学不应只局限于让学生学会画对称轴，也应解释为什么要这样画，让学生知其所以然。本环节从常见的长方形、正方形入手，利用轴对称的性质进行解释说明，反哺以前的直观认知，让对称轴的条数变得有理有据，使“相等并且垂直”在轴对称中一脉相承。

（二）重建二：常见图形的性质属性

学生对于轴对称的“惑”主要是：某些拥有两部分完全相同的图形却不是轴对称图形。其中最典型的属平行四边形（不包括菱形、长方形、正方形，下同）。平行四边形有相等的边和角，且任一条对角线或以任一边的中点出发作邻边的平行线，都可以将其分成相同的两部分，因此容易被错认为是轴对称图形。事实上，平行四边形属于中心对称图形。中心对称图形有两个特征：一是所有对应点连线交于一点，且各对应点到该交点距离相等；二是绕交点旋转180°后可以跟原图形完全重合，这个交点称为对称中心。中心对称与轴对称同属图形的变换，但两者的变换方式不同。

深度认识图形的本质属性，审视教学内容，有利于教师合理开展教学活动，针对学生出现的错误，提供诊断教学策略，并有效地对学生的认知偏移进行诊断、纠正，从而根除学生的错误观念。

【片段7】

师：如果以长方形的对角线作为对称轴画图形，会是一个怎样的轴对称图形呢？根据相等且垂直的原理，补全这个轴对称图形的另一半。（用课件动态演示过程，如图11）

师：现在这样一个普通三角形，请你先自己规定一条对称轴，然后再创造出轴对称图形。

（展示不同的学生作品，如图12）

教师出示图13。

师：看这一幅，创造对了吗？能用今天学的知识来解释一下吗？

生：相对顶点的连线与他画的对称轴不垂直。

师：这正好也解释了为什么平行四边形不是轴对称图形。对应点的连线与“轴”不垂直，就不是轴对称图形。

学生感悟到对于同一个图形，通过不同的对称轴会形成不同的轴对称图形。教师要培养学生多角度思考问题的能力，发展其想象力。教师利用“相等且垂直”原理，通过对以往熟悉的图形进行重新审视，完成了轴对称性质的第二次反哺——判定平行四边形是否为轴对称图形。

“相等且垂直”使“轴对称”内容形成了一个高度融合的有机整体，它不仅是轴对称性质的具体体现，更是用来反哺、判定轴对称性质的有力工具，是概念学习本质化、系统化、结构化的精髓所在。

参考文献：

［1］鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程［M］.上海：上海教育出版社，2009.