随机车载下的桥梁车致位移极值预测

赵辉， 陈水生， 李锦华， 陈潇

(1.信阳师范学院 建筑与土木工程学院，河南 信阳 464000； 2.华东交通大学 土木建筑学院，江西 南昌 330013)

随着跨区域间大宗货物运输业务的不断增加和汽车工业的飞速发展，公路运输因自身的优点而成为现代物流行业的主力军，城市道路和高速公路上的车辆越来越多且车辆规格越来越复杂。与此同时，我国桥梁建设突飞猛进，公路桥梁数量目前达到83.25万座[1]，其中中小跨径桥梁因其结构简单、施工方便等优点，在公路桥梁中广泛应用且数量庞大。与大跨径桥梁相比，中小跨径桥梁设计活恒载比值大，在服役期内对汽车荷载更敏感[2]。在满足经济发展需要的同时，逐年增加的交通量给在役桥梁带来了巨大的压力和挑战，特别是车辆超重超限而导致的桥梁垮塌事故时有发生[3]，桥梁结构在车辆荷载作用下的使用寿命和运营安全备受社会关注。因此，为保证桥梁结构的安全，在对新建桥梁和在役桥梁进行安全评估和修复加固时，必须面对一个问题：在剩余的服役期内，如何得到桥梁结构的最大荷载效应？解决这个问题是对桥梁结构进行可靠性评价的前提，也是确定桥梁结构荷载设计值的重要依据。因此，获得桥梁在随机车辆荷载作用下的位移极值就显得至关重要。

诚然，学者们对车辆荷载作用的桥梁荷载效应极值研究也做了很多工作，如：刘扬等[4]基于WIM系统建立随机车流模型，采用极值Ⅰ型分布来描述简支梁桥跨中弯矩和支座剪力的极值概率分布；冯海月等[5]采用广义Pareto分布对车辆荷载作用的简支梁桥弯矩效应极值进行预测；周军勇等[6]提出采用改进组合广义Pareto分布预测中小跨径桥梁的弯矩效应极值；袁伟璋等[7]基于实际运营车辆荷载，结合广义Pareto分布，建立在役空心板梁桥的车致荷载效应极值概率分布模型；李植淮等[8]基于广义Pareto分布预测简支梁桥在车辆荷载作用下的弯矩极值。但这些研究主要侧重于中小跨径桥梁在车辆荷载作用下的承载能力极值预测，而有关桥梁车致位移极值预测的研究较少。并且，已有研究主要采用了2种极值预测方法，即经典广义极值分布和广义Pareto分布，但前者对海量数据的利用率较低，丢失了很多有用的信息，对高尾数据的拟合并不是很理想；后者需要选择合理的阈值，而阈值的选择往往较困难。鉴于此，本文充分考虑过桥随机车流荷载的随机性特征，利用影响面加载的方法求解桥梁在车辆荷载作用下的位移；基于经典Rice公式预测桥梁在未来服役时间内的车致位移极值和位移首超失效概率。

1 桥梁车致位移极值预测方法

1.1 经典Rice公式极值预测理论

已有的研究表明，桥梁在某一车流荷载作用下的荷载效应通常可假定为平稳高斯随机过程[9]。那么，就可以采用经典Rice公式[10]来拟合桥梁车致位移与给定位移界限的交叉次数。设x为桥梁的车致位移随机过程，单位时间内x的跨阈率v(x)可以表示为：

(1)

将式(1)两边取对数，整理可以得到：

ln(v(x))=a0+a1x+a2x2

(2)

式中：

在已知不同位移界限跨阈率v(x)的前提下，采用最小二乘法对桥梁车致位移界限跨阈次数直方图的高尾数据进行拟合，可得式(2)的待定参数，并对拟合结果进行K-S检验以选择最优的拟合起点和界限区间值。那么，Rt重现期的桥梁车致位移的最大值xmax(Rt)可以表示为：

(3)

式中：v0,opt、mopt、σopt分别为最优拟合的均值点跨越率、均值和标准差。

随机过程x在桥梁服役期T内的最大值概率分布函数和相应的概率密度函数为：

(4)

(5)

基于首次超越失效准则[11]，桥梁在服役期T内的最大值超出给定界限值的概率P(b,T)为：

P(b,T)=1-exp(-Tv(b))

(6)

式中：b为随机过程的给定界限值；v(b)为随机变量x对给定界限b的跨阈率。

根据跨阈率叠加原理，可以将不同车流状态的桥梁车致位移界限跨阈率进行叠加，得到实际车流的桥梁车致位移界限跨阈率vxym(x)：

vxym(x)=pxvx(x)+pyvy(x)+pmvm(x)

(7)

式中：vx(x)、vy(x)、vm(x)分别为稀疏、一般和密集车流的桥梁车致位移界限跨阈率；px、py、pm为不同车流的占比。

将式(7)代入式(1)，拟合经典Rice公式的最优待定参数，进而得到实际车流荷载作用的桥梁车致位移极值的概率分布，并预测桥梁在未来服役时间的车致位移极值。

1.2 桥梁车致位移极值预测流程

桥梁车致位移极值预测主要分为4大部分：随机车流荷载的模拟、桥梁车致位移的求解、建立桥梁车致位移界限跨阈率模型、桥梁车致位移极值的预测。其主要步骤如下：

1)根据过桥车辆的车辆类型、车辆行驶车道、车辆载重量、车辆行驶间距和车辆行驶状态的统计参数，采用蒙特卡罗随机抽样的方法生成满足实际交通状况的随机车流荷载；

2)采用Midas/Civil软件的空间梁单元建立桥梁的有限元模型，求解桥梁在单位荷载作用下的位移影响面。将随机车流中各车辆的车轮荷载等效为集中力，利用影响面加载的方法计算随机车流荷载产生的桥梁位移；

3)根据1 000 d的桥梁车致位移样本，建立不同车流状况的界限跨阈率模型并进行跨阈率叠加。采用最小二乘法和K-S检验法拟合经典Rice公式的最优参数，建立桥梁车致位移极值的预测模型，进而预测桥梁车致位移极值。

随机车载作用的桥梁车致位移极值的预测流程图如图1所示。

图1 桥梁车致位移极值的预测流程Fig.1 Flow chart of extreme value prediction of bridge vehicle-induced displacement

2 工程应用案例

以江西境内的某钢筋混凝土简支T梁桥为工程背景，该桥设计使用年限为100 a，已运营20 a。桥梁跨径20 m，桥梁上部结构6片T梁组成，混凝土强度等级为C30，桥面铺装层采用10 cm厚沥青混凝土+10 cm厚C25混凝土，桥梁横断面如图2所示，图中各片梁分别编号。因为该桥为完全对称结构且1#～3#梁位于行车道位置，主要承受大型货车荷载，故下文以1#～3#T型主梁为分析对象。

图2 桥梁横断面(cm)Fig.2 Bridge cross section(cm)

2.1 随机车载模型

对于桥梁工程，随机车流的模拟能够更真实的再现作用于桥梁上的实际车辆荷载，为桥梁的荷载效应分析提供有力的支撑。任意时间的过桥车辆具有很强的随机性，其中车辆的车型、车重、车辆间距和车辆行驶车道是考虑车辆随机性的4个主要参数。实测数据表明，车辆的随机参数服从一定的概率分布，因此可以采用随机过程理论和数理统计方法来对过桥车流进行仿真模拟。

2.1.1 车型及车道

公路桥梁的运行车辆各异，车辆类型较多，各类型车辆具有较强的随机性，根据车辆类型现场调查结果并参考已有的研究[12]，可以将高速公路上行驶车辆分为6种代表性车型，各车型和车辆行驶车道的统计数据如表1所示，各车型出现的频率和车辆车道的选择可以采用均匀分布函数来生成[13]。

表1 车型及车道统计数据Table 1 Vehicle type and lane statistics

2.1.2 车重

不同车辆的车重变化较大，与地域的经济发展和地理位置有关，通常情况下，上桥车辆可以分为空载、一般载重和重载3种情况，车重的最小值是空载情况下车辆自身的重量，车重的最大值与车辆的超载有关。根据实际交通监测数据，各车型的车重统计结果呈现多峰分布的特点，可以采用高斯混合分布拟合各车型车重[14]，拟合的高斯混合分布参数如表2所示。

表2 车重统计数据Table 2 Vehicle weight statistics

2.1.3 车距

桥上行驶车辆的间距体现了交通流的密度和车流的长度，不同的时间段，上桥车辆数量是不相同的，可以将交通流划分为稀疏车流、一般车流和密集车流，不同车流状况的日占比分别约为0.42、0.33、0.25，不同车流的日通行量分别约为1 020、2 400、2 988辆。稀疏和一般车流的车辆间距可以采用对数正态分布生成车距样本，密集车流的车辆间距可以采用伽马分布生成车距样本[15]，其分布参数分别为(7.21，0.42)、(6.52，0.68)、(6.43，9.15)。根据不同车流的车辆间距样本拟合的概率密度曲线如图3所示，从图可以看出，随着车流密度的增大，车辆间距的均值减小，概率密度曲线的峰值越来越大，车距样本的离散性越来越小。

图3 车距概率密度曲线Fig.3 Distance probability density curves

综合考虑车型、车道、车重和车辆间距的随机性特征，以一般车流为例，采用蒙特卡罗随机抽样的方法生成某一时段的随机车流样本如图4所示，车道1为行车道，车道2为超车道。

图4 随机车流样本Fig.4 Random traffic flow sample

2.2 桥梁车致位移的求解

随机车流的车辆数量很多，如果所有车辆都采用整车模型，计算时间将很长。为了简化计算，本文将各车辆的载重量按比例分配给每一个车轮，再将各车轮荷载简化为一个集中力，利用影响面加载的方法计算桥梁的荷载效应，图5给出了单位集中荷载在桥面上移动时1#梁跨中位移的影响面。

图5 1#梁跨中位移影响面Fig.5 Influence surface of displacement of 1# beam in midspan

根据实测车流的日通行量，以1#T型主梁为例，其跨中车致位移的日时程曲线如图6所示，从图可以看出，不同车流的桥梁车致位移峰值随机性较强，任意一个峰值点的出现都说明有一辆重型货车过桥。

图6 1#梁车致位移时程曲线Fig.6 Time history curve of vehicle-induced displacement of 1# beam

同时，为了探究本文简支梁桥车致荷载效应是否满足平稳高斯随机过程特征，图7给出了1#梁跨中车致位移的均方差随时间的变化曲线，图8给出了该随机过程的频数直方图及其拟合的正态分布概率密度曲线。从图可以看出，1#梁跨中车致位移的均方差随着时间的增加而趋于稳定，即随机车辆荷载效应样本数量较大时，该随机过程呈现出平稳性特征；正态分布概率密度曲线对1#梁跨中车致位移频数直方图的拟合效果很好，即该随机过程为高斯随机过程。

图7 时变均方差Fig.7 Time-varying mean square deviation

图8 正态分布拟合结果Fig.8 Fitting results of normal distribution

2.3 位移界限跨阈率模型的建立

如果每年按250个有效日历天计算，基于1#梁车致位移的时程模拟数据，用1 000 d的桥梁车致位移样本数据来拟合经典Rice公式。图9给出了稀疏车流作用的1#梁跨中位移界限跨阈率曲线拟合结果。从图可以看出，经典Rice公式对桥梁车致位移年跨阈次数的拟合效果很好，最优拟合参数vopt、mopt、σopt分别为1 922.8次/a、10.43 mm、3.42 mm。

图9 稀疏车流作用的位移界限跨阈率拟合结果Fig.9 Fitting results of displacement limit threshold crossing rate under sparse traffic flow

同时，为了分析不同车流状态，即随机车流中车辆间距对中小跨径桥梁车致位移界限跨阈率的影响，按照实测的车流占比，在此分2种情况进行讨论：情况1，稀疏、一般、密集车流具有相同的日车辆数量1 000辆；情况2，稀疏、一般、密集车流具有不同的日车辆数量，分别为实测车辆数量1 020、2 400、2 988辆。图10给出了不同车流作用的1#梁跨中位移界限跨阈率曲线拟合结果，从图可以看出，情况1不同车流作用的位移界限跨阈率及跨阈率曲线接近重合，桥梁车致位移的取值区间相同，说明随机车流中车辆间距对本文简支梁桥的车致位移界限跨阈率的影响很小。情况2密集车流作用的位移界限跨阈率最大，一般车流次之，稀疏车流最小，即车辆数量越多，则位移界限跨阈率就越大，说明位移界限跨阈率大小取决于过桥车辆数量。这与实际交通状况是吻合的，对于中小跨径桥梁而言，多车同时过桥的概率很小，2辆货车或多辆货车同时过桥的概率更小。据此也可以推断，桥梁跨径越小，车辆行驶间距对桥梁车致荷载效应的影响就会越小，即在研究中小跨径桥梁的车致荷载效应时，根据车辆间距将过桥车辆划分为稀疏、一般、密集的车流状态意义不大。

图10 不同车流作用的位移界限跨阈率拟合结果Fig.10 Fitting results of displacement limit threshold crossing rate under different traffic flow

2.4 桥梁车致位移极值预测

根据式(3)，不同重现期的1#梁跨中位移极值如图11所示，从图可以看出，桥梁的位移极值随着重现期的增大而增大；密集车流作用下的桥梁位移极值最大，稀疏车流作用的桥梁位移极值最小，而综合考虑各车流占比的实际车流位移极值与一般车流接近；稀疏、一般、密集和实际车流在未来80 a重现期的位移极值分别为26.79、27.69、28.07、27.7 mm。

图11 不同重现期的桥梁车致位移极值Fig.11 Extreme value of vehicle-induced displacement of bridge in different return periods

图12给出了1#～3#梁在未来80 a内的位移极值概率密度函数(PDF)和累积概率分布函数(CDF)。我国公路桥梁设计规范对车辆荷载效应的重现期定义为设计基准期内具有95%保证率的最大值[16]，从图可以看出，1#～3#梁车致位移极值的期望分别为27.7、24.9、21.1 mm，95%保证率的位移极值分别为29.4、26.5、22.8 mm；多梁式简支梁桥的边梁在随机车辆荷载作用下的位移极值大于其他主梁。

图12 未来80年位移极值的PDF和CDFFig.12 Extreme displacement PDF and CDF in next 80 years

2.5 桥梁车致位移首超失效概率估计

根据式(6)可以计算桥梁的可靠指标，不同的车流荷载，1#梁在未来不同服役期内的可靠指标如图13所示，从图可以看出，桥梁的可靠指标随着桥梁服役时间的增加而降低，1#梁在密集车流荷载作用下的可靠指标最小，在稀疏车流荷载作用下的可靠指标最大，而考虑各车流占比的实际车流荷载作用的可靠指标与一般车流荷载的可靠指标接近。如果将桥梁的目标可靠指标设为β=4.2[16]，那么，1#梁在密集、一般和实际车流荷载作用下再服役5、18、24 a就需要采取维修加固措施，为保证桥梁的安全运营，可以采取适当的交通管制措施。

图13 不同车流作用的1#梁可靠指标Fig.13 Reliability index of 1# beam under different traffic flow

我国《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》对梁式桥主梁最大位移规定了限值，其汽车荷载产生的最大挠度限值为桥梁计算跨径的1/600[17]，即该桥最大挠度限值为33.33 mm。在未来80 a服役期内，1#～3#梁在实际车流荷载作用下的位移首超失效概率如图14所示，从图可以看出，1#失效概率最大，其次是2#，而3#梁的失效概率最小，三者位移首超失效概率分别为1.1×10-4、5.4×10-8、3.6×10-11。

图14 未来80 a的位移首超失效概率Fig.14 First displacement failure probability in next 80 years

3 结论

1)提出随机车载作用的桥梁车致位移极值预测方法，是在经典Rice公式极值预测理论的基础上，通过严谨的数学推导而得到的。其有效解决了公路桥梁车致位移极值预测问题，可为桥梁的安全评估、修复加固和剩余寿命预测提供有效的事前决策数据。

2)经典Rice公式对桥梁车致位移界限跨阈次数的拟合效果很好，可以保证桥梁车致位移极值预测模型的可靠性，且工程应用方便。

3)中小跨径桥梁车致位移界限跨阈率主要取决于通行车辆数量，受车辆间距的影响较小。桥梁车致位移极值随着重现期和车流密度的增加而增大；梁式桥边梁的位移极值和位移首超失效概率大于其他主梁，在建造时可以增大其安全储备。