问题串在数学实验课中的运用*——以“发现皮克公式”为例

江苏省江阴市教师发展中心 王俊蓉

问题串因其内涵丰富、功能多样，在教学设计中时常被广泛运用.“借助问题串设计能立课堂之骨架，让课堂更立体；重视经验的积累与提升，可以让课堂更充实、丰盈；注重对学生高阶思维的培育，才能彰显课堂的学科价值、提升课堂的生长力、赋予课堂生命力.”[1]笔者将问题串设计与数学实验课二者结合在一起研究发现问题串设计能有效地将“做中学”的理念渗透到教学实践中，实现数学实验课的特有价值.下面，以苏科版七年级下册数学实验手册中的实验“16 数格点 算面积——发现皮克公式”为例进行阐述.

1 教学流程及说明

问题1同学们，我们研究数学问题时常常借助一些工具，譬如可以用刻度尺测量线段的长度.你还能列举一些数学工具吗？

教学说明：(1)让学生梳理使用过的数学工具及其功能，除对实物型工具(譬如三角板、直尺、圆规等)的回顾，还要回顾经历数学抽象的概念型工具(譬如数轴、网格等).引导学生激活对数轴、网格等工具运用的基本经验，加深对这些工具数学功能的理解.

(2)引导学生回顾关于网格的基本数学问题，归纳出画平行线、垂线等是将网格线作为基本参考物，体现网格线之间的位置关系；求三角形面积等，体现网格可以反映数量关系，激活学生对网格问题的已有经验，建立学生对本节课的情感联系，为后继研究做好知识及经验准备.特别是，在该环节中结合“数学是研究数量关系和空间形式的科学”，让学生体会“网格”作为数学问题研究工具的必要性和可行性.

图1

问题2根据图1，你能求出哪些量？

教学说明：(1)开放型问题的价值主要是引导学生学会多角度、多层面分析、思考问题.该问题中，学生容易想到的是求图形的面积、周长，可以引导学生发现格点的存在，并将要研究的格点按位置分为在边上和在内部两类，便于研究多边形的面积、边上的格点数、内部的格点数三者之间的关系.

(2)本节课中图形面积的计算是研究基础，夯实该部分内容才能对后面的实验进行有效探究.教学时，通过不断拖动点A的位置，让学生计算围成的图形面积，确保每位学生能熟练掌握割补法求图形面积的方法.

问题3同学们，在改变点A位置时发现，改变的不仅是图形的面积，还有一些量也在改变.你能提出一些假设吗？

教学说明：让学生在问题情境中自由探索，感受各量之间互相影响的依存关系.该问题的设置意在培养学生发现问题、提出问题的能力，感受问题的真实性，激发学生深入探究的兴趣与热情.学生可能会提出各种问题，在有限的时间与空间内显然不可能一一探究，教师可选择与本节课相关的问题深入展开.同时，对其他问题的价值予以肯定，激发学生的同理心，将注意力与兴趣点有效转移到同一个话题上，形成思维聚焦，孕育思维场.

问题4如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这种多边形叫做格点多边形(如图1的五边形ABCDE).如果格点多边形的面积、边上的格点数、内部的格点数确实存在某种关系，我们该如何寻找这种关系呢？请小组讨论，选派一位组员集中汇报.

教学说明：(1)给出格点多边形的概念，便于进一步深入研究该对象.

(2)以小组合作交流的形式开展这一问题的探究，凸显学生主体地位的同时，让每一位学生都有机会参与，特别是基础薄弱但思维活跃的学生在该环节中一般会有较好的表现，从而有效增强这类学生群体学好数学的自信心.当各组员积极参与活动，制定研究计划时，组内同学的思维会受群体思维的影响作出改变，个体思维在思维场的作用下逐渐向深处蔓延.

(3)以小组为单位汇报各自的研究计划，其他各组成员会对汇报者的研究计划进行分析、评价，与本小组的计划进行比较、评估，完善自己小组的计划.这一过程，思维场对群体性思维、个体性思维都产生良性作用，激发学生大脑接收外界信息刺激的同时，积极分解、消化，能有效促进学生高阶思维的培育.

(4)将学生提供的思路进行完善，增强其可行性及严谨性.一般而言，运用特殊到一般的方式进行不完全归纳.但由于涉及三个变量之间的关系，所以采用控制变量法，即通过固定某一个量来探索其他两个变量的变化规律，从而将复杂问题简单化.若多边形的面积记为S、边上的格点数记为L、内部的格点数记为N，则可以先确定N的值，然后发现S，L之间的关系.

(5)如果根据上述方式每个小组分别取若干个N的值进行计算，显然课堂时间是不允许的，可以采用分组合作的方式.以六个小组为例，前四个小组分别计算当N从0开始到3时，某一满足条件的图形中S，L的值，并探究三者之间的关系；第五、六小组可以自主选择一些N的值进行探究.这样在提高效率的同时，使N具有普遍性，从而体现结论的一般意义.

问题5分工合作，根据操作单完成探究任务.(图2是以n=0为例进行示范，当N取其他值时，各组自行画图并探究.)

探索N=时的格点多边形中S与L之间的关系.

(1)图2-1,2-2,2-3分别为N=的格点多边形，请你在图2-4中再画出一个N=的格点多边形.

图2-1

图2-2

图2-3

图2-4

(2)观察图形并填写下表：

图号LS图2-1图2-2图2-3图2-4

当N=时，若用含有L的代数式表示S，则有S=.

问题6猜想：格点多边形的面积S与边上的格点数L、内部的格点数N之间有怎样的数量关系？

教学说明：将各组的结论汇总在一张表格中呈现给所有同学进行研究，各小组汇报研究的结果.该环节中，学生的思维碰撞会比较激烈，教师可以将话语权交给学生，让学生交流沟通.思维在碰撞的过程中，会从感性走向理性，从片面走向全面.学生的思维状态能够很好地实现层级跃迁，即从低阶思维状态进入到高阶思维状态，再次促进高阶思维的培育.此时，教师的主导地位主要体现在当话题偏离主线时，及时介入、引导，确保学生的争论点聚焦于核心问题.

问题7同学们，这个公式是奥地利数学家皮克在1899年给出的，被称为“皮克定理”.你能运用公式提出一些问题吗？

教学说明：(1)数学文化的渗透让学生既感受到历史的温度、内涵的深度、数学的美度，又能让学生经历与数学家在不同时空对同一问题的研究过程，感受发现问题的兴奋感、提出问题的困惑感、分析问题的急切感以及解决问题的满足感，体验探究本身带来的乐趣，向学生展现数学的内在魅力.

(2)皮克公式的运用不是本节课的重点，但从数学抽象的角度来说，需要获得对发现的公式进行运用体验.特别地，该公式给出了三个量之间的关系，如果其中两个量确定，则可以运用方程思想求出第三个量；若给定面积，根据两个格点数是整数，可求不定方程的整数解.

问题8若把正方形网格换成等边三角形网格，或者是有一个内角是60°的菱形网格(如图3)，格点多边形的面积S与边上的格点数L、内部的格点数N之间还有这样的数量关系吗？

图3

教学说明：通过类比迁移，将皮克公式向一般化进行推广.进一步扩大公式的适用范围，既是提高公式本身的数学价值，也是探究公式的一般方法.

问题9通过本节课的学习你有哪些收获？还存在哪些困惑？

教学说明：引导学生对探究过程中的体验进行总结，如活动的设计、自己的感受等，将这些体验上升为经验，从感性认识上升到理性认识，从而为今后研究类似问题积累活动经验.

2 教学反思

2.1 问题串设计促进学习方式的变革

学习方式的变革是核心素养导向下的课堂改革的重点之一.增强问题的情境化，能让学生在问题情境中发展“四能”.本案例借助问题串驱动，引导学生发现并提出问题，在寻求问题解决的策略时，教师不是直接给出实验路径，而是放权给学生，让他们以自主设计、小组交流、分享汇报的方式完成实验设计环节.教师摆正“主导”的位置不越界，只是当学生的讨论在无用的细节处纠缠或找不到问题解决的出口时，教师发挥其作用，将学生讨论的话题引导回归主题.在探究公式的过程中，学生通过全员分工、小组合作交流等方式开展活动，教师不急于给出答案，也不轻易介入学生的探究过程.学生自主探究、自由交流，分享自己的成果，主动向同伴寻求帮助.在问题串的引领下，学习方式多样化，学生主体地位得以彰显.

2.2 问题串促进高阶思维的培养

用问题串建构课堂流程，对问题串的功能剖析能明晰教学的实际组织方式与学生的学习样态.本案例采用项目化学习的组织方式，教学目标的设定不仅指向知识与技能的获得，更是指向经验的激活、积累、沉淀与再运用，指向学生“四能”的提升.教师始终只把握教学主题，对获得结果的方式方法、具体路径等都由学生自主探究、交流合作而来.他们面对的问题是自己发现的，所以解决问题的急切感强烈.学生的思维触角在自主探究的氛围中自然延伸，在主观能动性的驱使下不断向深度探寻.特别是，当学生思维在激烈碰撞时，个体思维之间不断相互作用，思维场能有效促进学生的思维从低阶思维向高阶思维的层级跃迁.

“初中数学实验是通过动手动脑‘做’数学的一种学习活动”，“力图通过‘做实验’的主动探究过程来培养学生的动手实践能力、解决问题的能力和创新意识”[2].问题串引领下的数学实验课，在问题驱动下发挥学生的主观能动性，提升学生探究的意识与能力，最大化地发挥数学实验课的价值.