统计学专业本科生数学观研究

吴 量，严 卿

（1.西南财经大学统计学院 四川 成都 611130；2.湖北大学师范学院 湖北 武汉 430062）

在信息社会与大数据时代，数学素养，特别是统计学素养的重要性越来越明显。在实际生活中遇到的问题往往不是简单而线性的，面对大量的信息与数据，势必需要加以鉴别，评估、比较与选择处理信息的方法，并反思得到的结果。NCTM（美国数学教师协会）指出，具备统计学知识是做出关键而明智的决定的前提[1]。然而，即便具有相应的知识，并不意味着我们能够得到可靠的结果，我们所持有的观念同样会产生重要的影响。例如，如果个体持有“可误主义”的数学观，那么他在处理数据时，便有更大可能去比较不同数据处理方法的优劣，并对得到的结果加以反思。

本研究通过编制调查问卷，调查统计学专业本科生数学观的现状，在此基础上探讨课程等因素对数学观的影响。

1 研究设计

1.1 调查问卷的编制

狭义上，数学观是对“数学是什么”这一问题的回答。相关研究对这一定义进行了推广，通常涉及“数学知识的复杂性”“数学知识的价值性”“数学知识的来源与辩护”等问题[2]。基于此，本研究建立了四维度的评价框架：知识的确定性，知识的复杂性，知识的价值性，知识的辩护，并在此基础上选编题项。初步编制的问卷共计29 道题，采用李克特6 点式计分。

为了检验问卷是否科学有效，研究选取594 名样本进行了预测试，对得到的数据分别进行项目分析、探索性因素分析以及验证性因素分析。在删减了部分题目后，问卷的结构调整为“知识的确定性”“知识的价值性”“知识的活动性”三个维度，具有较好的信度和结构效度。

1.2 研究对象

在国内某211 高校的统计学院发放问卷，共回收有效问卷465 份。其中，女生301 人，男生164 人；大一126 人，大二179 人，大三160 人。问卷发放时间为秋季学期开学后的一个月内。在对问卷数据进行分析的基础上，选取部分教师与学生进行访谈。

2 研究结果

2.1 统计学专业学生总体上持有比较积极的数学观

考虑到不同维度试题数量不同，将各维度总分除以题数，得到各维度的均分，对于总问卷也按相同方式处理。取3.5 分作为检验值，考查其与总问卷及各维度均分之间的差异，单样本t 检验结果显示差异均达到显著水平。这表明，无论是在总问卷还是各个维度上，统计学专业本科生都持有比较积极的数学观。

2.2 学生数学观在大一期间呈消极化趋势

以年级为自变量，总问卷及各维度均分为因变量进行单因素方差分析。结果显示，年级差异达到显著水平。事后多重检验结果显示，大一学生得分高于大二（p<0.001），大一学生得分高于大三（p<0.001）。大二与大三间的差异则未达到显著水平（p>0.05）。

具体到各维度，“价值性”与“活动性”的年级差异情况与总问卷基本一致。而在“确定性”维度，仅大一与大三学生的差异达到显著水平（p<0.05）。总体上，大二与大三学生的数学观得分比较接近，且均低于大一学生。

2.3 男、女生数学观的变化趋势存在差异

性别是数学能力研究中的一个重要变量，这一因素在数学观问题上是否也存在某种效应，同样值得关注。以年级、性别为自变量，分别以总问卷及各维度均分为因变量，进行3×2 方差分析。

对总问卷的方差分析结果显示，性别主效应不显著（p>0.05），年级主效应显著（p<0.001），性别与年级的交互效应显著（p<0.05）。由此可见，尽管从总体上而言，男、女生的数学观十分接近，但从大一到大三，表现出不同的变化趋势：女生的数学观得分在大一到大二之间有一个明显的下降，大二到大三间保持稳定；男生的得分尽管也呈下降趋势，但三个年级间的差异并未达到显著水平。对于各维度得分，亦呈现出类似的结果。

2.4 不同专业学生数学观存在差异

从大二开始，随着专业分流，学生所学课程也有所区别，有必要考查这些课程的学习对数学观的影响。以专业为自变量进行独立样本t检验，结果显示，不同专业学生总问卷均值的差异达到显著水平（p<0.05）。事后多重检验结果表明，经济统计专业得分高于管理科学与工程，且差异达到显著水平（p<0.05），而这一差异主要来自“活动性”维度（p<0.05）。

3 分析与讨论

3.1 对数学观结构的分析

数学观的结构是该领域一个基础性的问题，也是相关研究的前提。本研究首先建立了一个四维度的理论框架，但数据支持的则是三因素的结构。其中，“知识的确定性”与“知识的价值性”均属于预设的维度，但“知识的活动性”则与预设不同。“活动性”的提出参考了“数学活动论”。郑毓信指出，数学包括知识成分与观念成分。其中，知识成分是由问题、语言、方法、命题构成的多元复合体，观念成分表现为数学家共同体在工作中的能动性等[3]。这一理论主张数学知识不是定理与法则的简单汇集，强调了数学知识发展中过程性、动态性的一面。因素分析的结果验证了这一理论的合理性。

3.2 对数学观整体现状的分析

根据研究结果，统计学专业学生总体上持一种比较积极的数学观，他们更倾向于认同数学并非绝对真理，数学知识具有实际价值，并且用一种动态的观点来认识数学的发展过程。与国外相关研究对比可以发现[4]，我国统计学专业学生的数学观是较为成熟的。

这种成熟一定程度上可以归结为21 世纪以来的基础教育数学课程改革。近年来的基础教育数学课程越来越重视知识背景情境的创设、问题的引领以及数学史与数学文化的融入。在访谈中，围绕数学知识的确定性问题，多名学生提及了非欧几何的创立与三次数学危机。对这些事实的了解是学生认同数学知识可误性、活动性的主要依据。

3.3 对数学观个体差异的分析

通过研究不同群体间数学观的差异，可以揭示出数学观的一些影响因素，进而对数学观的塑造提供启示。本研究中，主要考虑了年级、性别、专业等因素。

年级差异主要体现在大一到大二之间存在一个比较明显的下滑。由于问卷施测于秋季开学后不久，大一学生的数学观反映了高中毕业时的水平。这一结果和已有的一些研究并不一致。在Schommer 等的研究中，高年级的学生往往具有更加成熟的认识信念，因为他们所学的知识更加丰富，对于知识发生、发展的过程有更深入的理解[5]。而在本研究中，通过对师生的访谈可以发现，造成这种现象的主要原因在于数学类课程的教学方式。这些课程本身就具有高度形式化、抽象化的特征，在教学中又往往遵循“概念+习题”这样一种“演绎”的模式。学生很难将大学阶段的数学知识与实际问题联系在一起，很少有机会经历数学知识的发生、发展过程，对于数学发展过程中的挫折与数学家努力过程中的选择性缺乏了解，学习到的只是作为结果的、看起来十分完备的知识体系。因此，与大一相比，大二、大三学生更倾向于认为数学知识是客观的、绝对真理的集合。

性别差异在数学观的研究中始终获得了学者相当多的关注，在这些研究中，男、女生在对于知识的看法上往往并不存在显著差异，这与本研究的结果是一致的。不过，本研究通过两因素方差分析对性别与年级的关系作了进一步探讨，揭示出男女生在数学观的变化趋势上存在差异，女生在大一至大二间存在消极化的趋势。在访谈中，教师普遍表示女生在学习中表现得更为勤奋与认真，这一点与已有研究是一致的[6]。尽管女生对学习有着更为积极的态度，但在面对高度形式化、抽象化的内容时，这种态度就转化为了如下的典型观点——“即便一时难以完全理解，但也应该先记忆下来”。女生对自身施加了更高的要求和更大的压力，这强化了她们对数学知识客观真理性的认识以及对教学中权威角色的依赖。

在不同专业中，经济统计学专业的学生持有最为成熟的数学观，其次是金融统计。实际上，在经济统计课程中，很多时候学生会面临着统计学方法选择上的问题，这些方法在使用条件、结果可靠程度等方面存在差异，因此并不能简单用“对”或“错”来评判。即便学生最终决定选择某一方法，对其局限性的认识也是必要的。再者，这些方法本身仍处于不断发展中，新的方法往往依赖于新模型的使用，经济统计专业的学生对此更为熟悉。因此，他们在数学知识的确定性、活动性问题上持有更为成熟的信念。

4 研究结论

基于对研究结果的分析，笔者在此提出优化统计学专业本科生数学观的教学建议。第一，转化知识教学的基本逻辑。改变由概念到性质、再到习题的传统教学模式，创设问题情境，通过对问题的探究引出新的知识，再利用新知认解决最初的问题。新知识的学习与解决实际问题紧密结合，能够让学生感悟数学知识的价值性。第二，还原知识的来龙去脉。尽管教材上的数学知识通常以完备、严谨的形式呈现，但数学知识在其发展过程中往往充满了“波折”。知识的发展通常来自问题，在探究问题的过程中，基于形象思维的猜想经常发挥着重要作用，新知识的接受与否则依赖于数学家共同体的认可。知识发展过程中也常常伴随着反驳、证伪，甚至在很多时候都面临着无法解决的悖论。在教学中为学生还原这一过程，能够让学生感悟数学知识的活动性特征。第三，创设开放性的任务。在传统数学教学中，任务的设置通常服务于知识点，表现在数学题中就是通常没有任何多余的条件，并且方法与答案往往是唯一确定的。显然，这样的任务会使学生倾向于认为数学知识就是确定性真理的集合，解决数学问题就是“套公式”。开放性任务存在多种解答方法或多个答案，能够让学生比较不同的方法，反思思维的方向，感悟数学探究过程中主体的选择性。