直觉Fuzzifying拓扑空间的闭包算子

何 琼，王小霞，薛雨佳

（延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000）

1983 年，ATANASSOV［1-2］利用Zadeh 的模糊集［3］提出直觉模糊集的概念。直觉模糊拓扑［4］是直觉模糊集和拓扑学相结合的产物，其中直觉Fuzzifying 拓扑［5］是直觉模糊拓扑的重要分支。众所周知，闭包算子是拓扑学中的基本内容，在其他拓扑空间中闭包算子的研究已经取得了一些成果［6-7］，而在直觉Fuzzifying 拓扑空间中还没有对闭包算子进行研究。文献［5，8-10］研究了直觉Fuzzifying 拓扑的Moore-Smith 收敛理论、邻域系、子空间。文献［11-12］得到了直觉Fuzzifying拓扑空间的分离公理及其相关等价定理。文献［13-15］相继讨论了基于L*-格值逻辑上直觉Fuzzifying 的一些性质。

本文主要研究直觉Fuzzifying 拓扑空间的闭包算子及相关性质。首先给出闭集族和闭包的定义以及闭包的相关性质；其次定义了直觉Fuzzifying 拓扑空间的闭包算子；最后证明了拓扑的直觉Fuzzifying 闭包算子Icl的等价关系。在直觉Fuzzifying 拓扑空间中，利用Lukasiewicz 蕴含算子引入闭包算子，可以完善直觉Fuzzifying 拓扑空间的研究，并为这一空间连通性的研究奠定基础。本文所涉及到的未作特别说明的符号与专业术语均见文献［16］。

1 预备知识

P(X)表示非空集合X上的全体直觉模糊集，其最小元为，最大元为表示直觉模糊集A的补。

本文中使用的关于赋值格为Lukasiewicz 单位区间的逻辑的一些记号。

对任意公式φ，符号[φ]表示φ的真值，这时真值集是[0，1]，一个公式为重言式。记╞φ当且仅当[φ]=1。

定义1.1［2］设X是一个非空集合，I=(0，1)，I0=(0，1]，I1=[0，1)。为X上的一个直觉模糊集，映射μA：X→I，γA：X→I满足∀x∈X，0 ≤μA(x) +γA(x) ≤1 成立。μA(x)和γA(x)表示x对于A的隶属度和非隶属度。

定义1.2［3］对于任意A，B∈P(X)，

定义1.3［3］设X是一个非空集合，P（X）上的直觉模糊集Iτ∈IFS(P(X))，即Iτ：P(X) →L*，满足：

1）Iτ(X)=Iτ(∅)=1L*=(1，0)，

即μIτ(X)=μIτ(∅)=1，γIτ(X)=γIτ(∅)=0；

2）∀A，B∈P(X)，Iτ(A∩B) ≥L*Iτ(A) ∧Iτ(B)，

即μIτ(A∩B) ≥μIτ(A) ∧μIτ(B)，

γIτ(A∩B) ≥γIτ(A) ∨γIτ(B)；

则称Iτ为直觉Fuzzifying 拓扑，(P(X)，Iτ)为直觉Fuzzifying拓扑空间。

定义1.4［4］设(X，Iτ)是直觉Fuzzifying 拓扑空间，∀x∈X，定义P（X）上的直觉模糊集INx（即INx：P(X) →L*）如下则称直觉模糊集族为直觉Fuzzifying 拓扑Iτ的邻域系。

定理1.1［4］设(X，Iτ)是直觉Fuzzifying 拓扑空间，则Iτ的邻域系具有以下性质：∀A，B∈P(X)有

定义1.5［12］设(X，Iτ)是直觉Fuzzifying 拓扑空间，A∈P(X)，A的直觉Fuzzifying 闭包A-∈IFS(X)，定义为

2 直觉Fuzzifying拓扑空间的闭包度及性质

定义2.1直觉Fuzzifying 闭集族IF定义为A∈P(X)，╞A∈IF：=Ac∈Iτ，即IF(A)=Iτ(Ac)。

定义2.2设(X，Iτ)是直觉Fuzzifying 拓扑空间，∀A，B∈P(X)，映 射IclA：P(X) →L*，A的直觉Fuzzifying闭包IclA∈IFS(X)定义如下：

定理2.1设(X，Iτ)是直觉Fuzzifying 拓扑空间，∀A，B∈P(X)，其相关性质如下：

3 直觉Fuzzifying拓扑空间的闭包算子

定义3.1设映射IclA：P(X) →L*满足：

定理3.1设(X，Iτ)是直觉Fuzzifying 拓扑空间，IclIτ：P(X) →L*，如定义2.2，IτIcl：P(X) →L*，，若IclA是拓扑的直觉Fuzzifying拓扑空间的闭包算子，则