高中数学教育中的阿基米德三角形研究综述

唐明超， 杨亚平

(1.云南师范大学信息学院,云南 昆明 650500；2.云南师范大学数学学院,云南 昆明 650500)

1 问题提出

新中国成立以来，追求科学性与适应性的高中数学课程改革从未止步.经历了新中国成立初的道路选择迷茫期(1949—1957年)、第一次探索中国课程发展道路时期(1958—1961年)、回归苏联模式时期(1962—1966年)以及十年挫折时期(1966—1976年)后迎来了改革开放[1].此后，高中数学教育也抓住了新的改革机遇并获得了长足发展.经历了1978—1991年的课程发展道路探索期和1992—2000年的课程体系建设试验期，初步明确了我国高中数学教育课程体系的建设方向，为2001年以后大力建设我国课程体系奠定了坚实基础.时至今日，阿基米德三角形始终作为解析几何或数学文化的载体存在于高中数学教育教学活动中，有必要对其研究进程和研究现状进行梳理分析，总结阶段性研究成果，从而厘清发展方向.

在中国知网以“阿基米德三角形”为主题和关键词分别检索到相关文献118篇和77篇，运用CiteSpace软件对相关文献进行可视化分析，通过关键词聚类图谱追踪研究热点和重点；结合文献内容的分析与梳理，得出结论.已有研究主要围绕“阿基米德三角形基本性质的探索与证明，以阿基米德三角形为背景的数学试题命制与解题研究，高观点下阿基米德三角形基本性质的探讨与数学文化渗透，面向深度学习的教学素材与问题情景应用研究”等方面.阿基米德三角形的由来、性质的探索与证明、以阿基米德三角形为载体的试题命制与解题研究是研究的重点，成果丰富.但是，阿基米德三角形数学文化教育内涵的解剖与教学实践，以阿基米德三角形为载体设置问题情景引导学生学会深度学习进而发展数学核心素养的实现路径都是未来需要重点关注并进一步开展研究的问题.

1.1 简述阿基米德三角形

古希腊著名数学家阿基米德对数学学科的发展作出了举世瞩目的贡献，他继承了欧几里得的严谨推理和柏拉图的丰富想象力.在其著作《抛物线求积法》中，用穷竭法讨论了直线与抛物线所围成的不规则图形面积的求解问题[2].其中，以抛物线一条弦的两个端点为切点的两条切线与该弦所围成的三角形的性质探讨备受关注，且该三角形的性质在任意圆锥曲线中具有统一性，后人将抛物线、圆、椭圆、双曲线中的一类具有相同特征的特殊三角形统称为阿基米德三角形.

1.2 泛阿基米德三角形的概念

当圆锥曲线的弦的两个端点不是切点，即过两端点的直线与圆锥曲线相交时，3条直线围成的三角形可以看作是阿基米德三角形的一般形式，学界将此类三角形统称为“泛阿基米德三角形”[3].对泛阿基米德三角形的研究成为解析几何课程中探究直线与圆锥曲线位置关系的重要内容，体现了数学知识从特殊到一般、从具体到抽象的发展逻辑.后文中将直接使用，不予赘述.

2 研究内容

笔者将已有研究成果按照发表的时间轴顺序进行整理，并对文献的内容进行分析，得到以下结论：1984—1999年，围绕阿基米德三角形开展的高中数学教育教学相关研究文献共10篇，研究内容聚焦阿基米德三角形基本性质的探究与证明；2000—2010年，该主题的研究内容从优化阿基米德三角形基本性质的证明方法开始向研究以阿基米德三角形为背景的高考试题的转变；2011—2016年，开始深入探究阿基米德三角形及其基本性质在高考命题中的应用，聚焦命题研究与解题研究，少量文献介绍高观点下的阿基米德三角形基本性质证明方法与应用举例；2017—2022年，研究内容与时俱进，强调信息技术应用，如何将数学文化渗透到数学课堂教学与高考各环节，提高育人质量也是这一时期学界关注的重点内容.

2.1 阿基米德三角形性质的探究与证明

探究阿基米德三角形的基本性质大多从抛物线的定义和图像性质出发，在介绍阿基米德三角形概念的基础上运用代数与几何的方法探究阿基米德三角形各要素间的关系，三角形的面积、中线性质等都是研究的重点.

图1

如图1所示，在抛物线y2=2px(其中p>0)中，过弦AB两端点的切线NA与NB相交于点N，AB的中点为G，弦AB交对称轴于点M，不妨设A(x1,y1)，B(x2,y2)，△ABN即为阿基米德三角形.1999年以前探究阿基米德三角形基本性质的文献主要围绕以下性质及其证明过程展开论述.

性质3动点N的轨迹是一条直线[4-6].

性质4当直线AB过抛物线的焦点时，∠ANB=90°，且NM⊥AB，此时交点N的轨迹就是抛物线的准线[7-8].

图2

性质6一般地，如图2，如果点N是与抛物线没有交点的任意一条直线上的动点，过动点N作抛物线的两条切线，则切点弦AB一定过定点，逆命题也成立[9-10].

性质7如图2，在任意的阿基米德三角形△ANB中，若F是抛物线的焦点，则恒有∠AFN=∠BFN，且NF2=AF·BF[7-9].

阿基米德三角形的相关性质远不止以上7条，限于篇幅，大多数性质都可以基于以上性质拓展迁移得到，此处不予赘述，读者可以参阅相关文献.

2.2 以阿基米德三角形为背景的试题研究

课程改革推动数学教育领域对阿基米德三角形相关性质的研究不断深入，研究重点逐渐聚焦阿基米德三角形基本性质的教育价值与教学应用，试图将阿基米德三角形的基本性质从学术形态向教育形态转化，发挥育人功能.从2005年起，全国各地的高考数学试题中逐步出现以阿基米德三角形为背景的高考试题.试题的呈现方式主要以抛物线和双曲线为载体，以阿基米德三角形为背景，考查学生解决直线与圆锥曲线位置关系的能力.已有研究主要结合高考试题分析阿基米德三角形在高考试题中的命题方式与解题策略，剖析变化的试题背后不变的知识载体和问题本质.

2.3 阿基米德三角形性质的拓展与应用

2011年以后，相关研究聚焦阿基米德三角形性质的拓展与应用.蔡祖才在探究不同类型抛物线阿基米德三角形顶点的轨迹方程的基础上总结了泛阿基米德三角形面积公式的一般形式和证明方法.邹生书等人将抛物线中的阿基米德三角形性质拓展至椭圆和双曲线，探究不同圆锥曲线中阿基米德三角形面积的最小值，得出阿基米德三角形的一个统一性质：通径长与焦准线距离乘积的一半恰好是阿基米德三角形面积的最小值.高用运用从特殊到一般的推理方法，探究阿基米德三角形顶点的轨迹方程与三角形底边所在直线的定点坐标之间的数量关系.甘大旺从一道竞赛试题的解析出发探究一类泛阿基米德三角形面积的最小值问题，首次描述了泛阿基米德三角形的概念，给出不同圆锥曲线中泛阿基米德三角形面积的表达式，并给出面积取最小值时的特殊情况.方亚斌总结了阿基米德三角形基本性质在历年高考试题中的5种考查方式(线段长度问题、动点轨迹问题、定点与定值问题、面积的最值问题、开放性探究问题).运用几何画板等信息技术工具辅助开展问题探究是这一时期的明显特征，一定意义上丰富了研究方法和研究内涵.

2.4 指向深度学习的微专题教学研究

无论是对阿基米德三角形性质的探究与证明，还是高考试题的命题研究和解题研究，抑或是性质的一般化推广与应用，最终的落脚点都是改进课堂教学，实现从研究端向教学端的转化，从而服务学生发展；关键问题在于如何根据教学任务整合教学素材，设计教学活动，组织课堂教学以实现教学目标.引导学生系统学习并探究阿基米德三角形的性质、掌握相关性质在高考试题中的应用逻辑符合学生学习解析几何课程的认知发展规律；以专题的形式开展教学活动具有一定的实践基础，再结合阿基米德三角形及其性质本身所具有的探究学习价值，设计若干个微专题对阿基米德三角形的性质与应用开展教学具有一定的现实意义.邱波运用几何画板带领学生对阿基米德三角形进行动态探究，提供了一条基于信息技术探究阿基米德三角形基本性质的基本路径，对拓宽学生的研究视野、丰富研究方法奠定了基础.张志勇借助GeoGebra软件再现数学家阿基米德探究弓形面积与阿基米德三角形面积之间的数量关系的过程，指出信息技术在引导学生探究阿基米德三角形相关性质的过程中所体现出的化复杂为简单、变抽象为具体、突出几何直观等应用价值[10].朱振华结合一堂题为“阿基米德三角形”的微专题教学设计从4个维度思考什么是真正意义上的深度教学，结合课例论述深度教学如何发生、如何走深，对一线教师开展微专题教学具有一定的参考价值[11].

3 研究意义

在高中圆锥曲线专题的教学与考试中恰当地引入阿基米德三角形，既是适应课程改革的合理选择，也是发展学生关键能力的现实需要.阿基米德三角形的本质是直线与圆锥曲线的特殊位置关系所围成的一种特殊的平面几何图形，作为高中解析几何课程中研究点与线、线与线位置关系的重要载体具有一定的现实意义，可以帮助学生在开展探究性学习的过程中感悟并掌握探究直线与圆锥曲线位置关系的基本思想和一般方法，发展学生的数学运算、逻辑推理、数学抽象与数学建模核心素养.加之阿基米德三角形本身特有的数学文化内涵，可以进一步丰富课堂教学元素，改进课堂教学生态.

3.1 服务并适应于课程改革

自1962年秋季学期以后，中国数学教育正式在高中学段增设解析几何专题知识，这是新中国成立以来中国数学课程发展道路探索与建设过程中的重大突破.随着1963年教育部《全日制中学数学教学大纲(草案)》的正式颁布，正确而且迅速的计算能力、逻辑思维能力和空间想象能力作为学生学习数学需要具备的“三大能力”正式写入数学教学大纲.大纲注重基础知识与基本技能的训练，对数学学习水平要求相对以前较高，催生了对高考解析几何专题知识的重视，具体体现在日常教学与各类测评考试过程中不乏解析几何综合试题的身影.

改革开放后，经历了1978年2月由教育部颁布的《全日制十年制学校中学数学教学大纲(试行草案)》以及据此编写的第7套中学数学教材和1982年颁布的《全日制六年制重点中学数学教学大纲(征求意见稿)》以及据此编写的第8套通用中学数学教材的改革与发展，解析几何已经作为高中数学课程中的一本重要教科书供高中学生使用，足以看出对解析几何知识的重视，同时也奠定了解析几何在我国高中数学教育教学中的地位和作用.

随着社会的发展对提高人才培养质量的现实需要，课程改革持续推进.国家教委相继在1987年颁布了《全日制中学数学教学大纲》，在1996年颁布了《全日制普通高级中学数学教学大纲(供实验用)》，在2000年3月颁布了《全日制普通高级中学数学教学大纲(试验修订版)》，2003年3月教育部正式颁布了《普通高中数学课程标准(实验)》，2018年颁布了《普通高中数学课程标准(2017年版)》.高中数学课程对解析几何专题的教学要求虽然经历了难度的变化，由独立课程变为综合课程，但始终占据着重要地位不动摇，这也是高中数学教育中重视阿基米德三角形的重要原因.

无论是强调“双基”“三大能力”“三维目标”，还是“四基与四能”，抑或是当下的“数学核心素养”，高中解析几何课程的要素始终包含直线、圆、圆锥曲线的定义和基本性质及其它们的位置关系；随着信息技术的发展和应用，探究圆锥曲线的相关性质在一定程度上增强了几何直观，但是课程内容与目标要求也随之强调了知识体系的逻辑严密性和系统完备性.在《中国高考评价体系》的指引下，以阿基米德三角形为背景的高考试题也在不断地创新和发展着，始终承载着培育学生数学运算、逻辑推理和数学建模核心素养的初心与使命.

3.2 丰富解析几何教学素材

解析几何强调用代数的方法研究几何性质，是对欧氏几何的补充与拓展，点与线、线与线的位置关系是解析几何研究的重要内容.将阿基米德三角形融入高中数学教育教学与高考试题命制各环节，既是对阿基米德三角形发现历史的回顾，也是作为引导学生体验并感悟知识发生与发展历程的重要举措.鉴于学生认知发展水平所存在的客观差异，课堂教学必然需要结合学生的实际学情整合教学资源，恰当选取教学素材，拟定教学方案，组织教学活动以实现教学目标.教学素材往往不是现成的，是教师基于自身数学知识储备结合教学实际需要进行挖掘或创造性加工形成的能承载教学内容的具体知识或数学模型，作为连接学生已有知识经验与新知识的桥梁.阿基米德三角形及其基本性质之所以备受关注，与其自身承载的直线与圆锥曲线的特殊位置关系密切相关.研究并挖掘阿基米德三角形的教育内涵，在证明并运用阿基米德三角形基本性质解决实际问题的过程中帮助学生掌握解析几何的基本知识和一般方法具有重要意义.

3.3 彰显数学文化的教育价值

数学史与数学文化是数学发展的历史足迹与价值沉淀，是指引数学学科发展的精神力量，同时也是培养学生热爱数学、追求理性、探索真知的内生动力.“知史，明理”本身就是认知发展的必然逻辑，坚持学习数学知识与数学文化相结合符合数学教育教学的基本规律.阿基米德作为古希腊数学家的杰出代表，同时也是世界数学史上的璀璨明星，还原他学习和研究解析几何的过程可以帮助学生更好地掌握知识的发生与发展过程，帮助学生在了解新知识生成过程的基础上学会基于已有认知经验去探索未知世界的基本意识和能力.研究阿基米德三角形不仅仅是为了研究历史，也不是为了单纯了解阿基米德的数学贡献及其现实意义，更重要的是借助这一重要数学史料创设合理的数学文化情景，激发学生的学习热情，调动学生的学习积极性；将其作为引导学生探索新知的素材和载体，是育人工作的切实需要.

4 研究展望

自1984年朱志嘉在《数学教学》发表首篇探讨阿基米德三角形基本性质的文章之后，阿基米德三角形开始走进一线数学教育工作者的视野.仅在1997—1999年两年的时间里，《数学通讯》就发表了研究阿基米德三角形基本性质的文献8篇，这些文章大多出自孔繁秋、陶兴模等人.前期重点探究抛物线中阿基米德三角形的简单基本性质并给出严格证明过程，随后将阿基米德三角形从抛物线迁移至椭圆和双曲线，在揭示各类圆锥曲线本质联系的基础上探究圆锥曲线中阿基米德三角形的统一性质.中期主要探究以阿基米德三角形为背景的高考试题的命题方式与解题策略.近几年主要探讨数学文化融入数学试题的考查方式以及如何将数学文化渗透到数学教学活动中.整体来看，研究视角和研究内容基本涵盖了数学教育教学的各个维度，重点是对阿基米德三角形性质的探讨和以阿基米德三角形为背景的试题研究.相比之下，阿基米德三角形的数学史料研究、课例研究以及对应的一线教师学科教学知识研究却相对薄弱，需要进一步加强.

4.1 加强阿基米德三角形的史料研究

阿基米德是谁，来自哪里，有何历史成就，对学生的发展有何影响？这是需要解决的第一个问题，也是进一步了解和掌握阿基米德三角形的前提.阿基米德是基于何种需要来研究直线与圆锥曲线的位置关系，是如何发现这些性质的，他用这些性质来解决什么问题？回答该问题有助于理清楚阿基米德三角形的生成背景，帮助师生了解并掌握新知识的产生过程，理解新知识的产生逻辑与应用价值.继阿基米德之后，哪些学者对他的研究发现进行过批判性论证或是进一步拓展，取得哪些成果？这是梳理数学史料的必备环节，知识之所以能够成为知识并得到广泛认可，一定经历了从问题提出、问题解决、知识生成、论证检验、推广应用等多个步骤，掌握这些史料不仅可以加深对知识本质的理解，还可以进一步挖掘教育素材.对数学史料的研究不能局限于历史事件的梳理，需要对史料内容进行系统分析，在掌握知识发生与发展脉络的基础上把握知识生成的内在逻辑；同时还要能够用教育的眼光去审视众多史料的教育价值，结合教学实际需要选取恰当的部分融入教学具体环节以丰富课堂教学内容，增强课堂教学设计的内涵与质量.赋予数学史料以教育价值，并能够被不同教师在开展不同教学活动的过程中灵活选用是研究数学史料的最终归宿.

4.2 丰富阿基米德三角形的课例研究

无论是史料研究、性质探究、命题研究还是解题研究，最终都应该服务于课堂教学.课例研究是开展课堂教学研究的重要组成部分，如何寻找阿基米德三角形的性质与解析几何课程教学的结合点，合理设计并组织开展教学活动是未来研究的重点之一.针对每一种课型，阿基米德三角形均有其可以被开发使用的素材和内容.在新课教学中，会求解过抛物线上一点的切线方程是需要掌握的基础知识与基本技能，在此基础上适当拓展为求过抛物线焦点弦两端点的切线的斜率之积，这便是对阿基米德三角形性质的教学应用.在复习课教学中，将阿基米德三角形的某个或某几个基本性质作为问题创设情境，设计基于问题串解决的复习课教学，引导学生在开展探究的过程中复习基础知识与基本技能，发展学生运用已有知识经验思考并解决问题的能力，培育学生的数学核心素养.在教学活动中，教师给予适当点拨帮助学生用自己的方法完成问题解答，再介绍问题背后的数学文化，揭示问题本质.这样的课例不仅符合学生的认知发展规律，也在一定程度上体现了课堂教学设计的思想性和文化内涵，让课堂教学不再枯燥乏味.当然，其他课型的教学中仍然可以设计以阿基米德三角形为载体的教学活动.丰富课例研究不仅可以为一线教师开展数学教学活动提供参考，也能够在一定程度上提高数学教育的教学质量.

4.3 强化教师数学学科教学知识研究

教育质量的提升，教师是关键.课堂教学的有效性很大程度上取决于教师的学科教学知识储备.以阿基米德三角形的教学应用为例，教师是否掌握阿基米德三角形的本质，是否掌握与之相关的数学史料，是否能够独立梳理并证明阿基米德三角形的相关性质，是否能够在不同课型中有机渗透数学文化、将阿基米德三角形的性质合理融入课堂教学具体环节，都是需要进一步思考并开展研究的问题.即使加强史料研究和课例研究在一定程度上可以帮助教师掌握学科教学知识，但是教师习得学科教学知识的动机和过程、运用学科教学知识设计满足不同认知发展水平学生需要的教学活动的技能都需要进一步开展专题研究.借鉴已有的关于教师学科教学知识研究的成果和经验，聚焦教师掌握阿基米德三角形的数学学科教学知识的研究，不仅可以为广大一线数学教师提供继续学习的参考素材，也能够为一线数学教师开展自主学习提供方法参考和方向指引，具有一定的现实意义.