算术-几何平均的对数平均与正弦平均不等式

余 燕 翔

(浙江广播电视大学 平阳分校, 浙江 平阳 325400))

一、研究基础

设a,b>0且a≠b,则几何平均G(a,b),算术平均A(a,b),对数平均L(a,b),正弦平均Msin(a,b)和双曲正切平均Mtanh(a,b),以及高斯算术-几何平均AGM(a,b)的定义分别为：[1]1071-1092 [2]821-841

(1)

(2)

近年来,算术-几何平均,正弦平均和双曲正切平均,与其他经典平均及其组合的比较研究成果显著,国内外数学工作者发现了许多重要不等式.例如:

Vamanamurthy和Vuorinen证明了不等式

(3)

对所有a,b>0且a≠b成立,其中I(a,b)=(bb/aa)1/(b-a)/e是指数平均[3]155-166.

Alzer和裘松良证明了λ=3/4和μ=2/π,是使得下列双向不等式

对所有a,b>0且a≠b成立的最佳参数[4]289-312.

2015年,Witkowski证明了双向不等式

A(a,b)

(4)

对所有a,b>0且a≠b成立[1]1 071-1 092.

组合不等式(3)和(4)可得下列不等式链：

L(a,b)

(5)

对所有a,b>0且a≠b成立.

根据不等式链(5),我们发现并证明了最佳参数α1,α2,β1,β2∈，使得双向不等式

对所有a,b>0且a≠b成立.

二、引 理

为证明本文的主要结果,我们首先需要以下基础知识和引理.

设r∈(0,1),第一类完全椭圆积分κ(r)和第二类完全椭圆积分ε(r)的定义为[5]43:

显然,函数rκ(r)在区间(0,1)内是严格单调递增的且值域为(π/2,+∞);函数rε(r)在区间(0,1)内是严格单调递减的且值域为(1,π/2),它们满足下列微分公式[6]474-475:

和Landen恒等式

引理1假设-∞

也是单调递增(递减)的.如果f′(x)/g′(x)是严格单调的,则上述结论的单调性也是严格的[6]10.

引理2函数

在区间(0,1)内是严格单调递增的且值域为(π/4,+∞)[6]70.

引理3函数

在区间(0,1)内是严格单调递减的且值域为(2cos(1),3).

证明:微分φ(r)可得：

(6)

其中,

φ1(r)=-rr′2+(1+3r2)tan(r).

简单计算可得:

φ1(0)=0,

(7)

(8)

由等式(6)(7)和不等式(8)，使得

φ′(r)<0

(9)

对r∈(0,1)成立.注意到:

φ(0+)=3,φ(1-)=2cos(1).

(10)

所以,引理3容易从不等式(9)和等式(10)得到.

引理4函数

在区间(0,1)内是严格单调递减的且值域为(sech2(1),2).

证明:由微分γ(r)可得:

(11)

其中,

γ1(r)=-rr′2+2rr′2sinh2(r)+(1+3r2)sinh(r)cosh(r).

简单计算可得:

γ1(0)=0,

(12)

(13)

由等式(11)(12)和不等式(13)可得：

γ′(r)<0

(14)

对r∈(0,1)成立.注意到:

γ(0+)=2,γ(1-)=sech2(1).

(15)

所以,引理4容易从不等式(14)和等式(15)得到.

三、主要结果

定理1双向不等式

对所有a,b>0且a≠b成立,当且仅当α1≤2/π和β1≥5/6.

证明:根据二元平均L(a,b),Msin(a,b)和AGM(a,b)是对称且一阶齐次的.不失一般性,假设a=1>b.设b=(1-r)/(1+r),r∈(0,1).则由等式(1)和(2)可得:

(16)

(17)

其中,

设f1(r)=tanh-1(r)-2rκ(r)/π,g1(r)=tanh-1(r)-sin(r),f2(r)=1-2ε(r)/π和g2(r)=1-r′2cos(r).简单计算，使得:

f1(0+)=g1(0)=0,f(r)=f1(r)/g1(r),

(18)

(19)

(20)

其中,φ(r)和φ(r)定义在引理2和引理3.

(21)

定理2双向不等式

对所有a,b>0且a≠b成立,当且仅当α2≤2/π和β2≥7/8.

证明:不失一般性,假设a=1>b.设b=(1-r)/(1+r),r∈(0,1).则从等式(16)和Mtanh(a,b)=A(a,b)r/tanh(r)可得:

(22)

其中,

设f1(r)=tanh-1(r)-2rκ(r)/π,h1(r)=tanh-1(r)-tanh(r),f2(r)=1-2ε(r)/π，h2(r)=r2+(1-r2)tanh2(r).则简单计算，使得:

f1(0+)=h1(0)=0,g(r)=f1(r)/h1(r),

(23)

(24)

(25)

其中,φ(r)和γ(r)定义在引理2和引理4.

(26)

根据定理1和定理2可得推论1.

推论1双向不等式

对所有r∈(0,1)成立.

四、结 语

第一类完全椭圆积分κ(r)、第二类完全椭圆积分ε(r)，以及算术-几何平均AGM(a,b)在数学、物理、力学和工程方面有很多应用.本文通过算术-几何平均与对数平均、正弦平均(或双曲正切平均)、调和组合的比较,给出了第一类完全椭圆积分κ(r)的反双曲正切与正弦(或双曲正切)函数的两个精确不等式.