特殊拟算术平均的单参数调和与几何平均确界

杨 月 英

(湖州职业技术学院 机电与汽车工程学院， 浙江 湖州 313099))

一、研究基础

设q∈[0,1],r∈和a,b>0且a≠b,则单参数对称二元平均M(a,b;q),r阶幂平均Mr(a,b),调和平均H(a,b),几何平均G(a,b)和算术平均A(a,b)分别定义为：

M(a,b;q)=M[qa+(1-q)b,qb+(1-q)a].

(1)

(2)

我们熟知,对固定的a,b>0且a≠b幂平均Mr(a,b)关于r∈是连续且严格单调增加的,则会有不等式链

H(a,b)=M-1(a,b)

对所有的a,b>0且a≠b成立，其中L(a,b)=(a-b)/(lna-lnb)是对数平均.

1998年,Toader介绍了一个关于两个正数a和b的经典拟算术平均[1]358-368：

其中，rn(θ)=(ancos2θ+bnsin2θ)1/n(n≠0)，r0(θ)=acos2θbsin2θ,p是一个严格单调增加函数.许多特殊积分平均都是Mp,n(a,b)的特殊情形,例如：

.

分别是Toader-Qi平均TQ(a,b),算术-几何平均AG(a,b),Toader平均T(a,b),E(a,b)则是一个特殊的积分平均[2]1-10.

且可以写为:

(3)

关于完全椭圆积分在物理学,工程学,几何函数理论,平均值理论,数论和其他相关领域有许多重要应用.在特殊情形下,若干含有完全椭圆积分的二元平均与其它二元平均的比较得到了许多数学工作者的深入研究[4]77-79 [5]637-642 [6]719-728 [7]1-12 [8]821-841.例如,杨月英证明了双向不等式

和

H(a,b)

(4)

对所有a,b>0且a≠b[3]42-46.

对p∈[0,1/2],我们不难证明单参数平均H(a,b;p)和G(a,b;p)对固定的a,b>0且a≠b，其参数p是连续且严格单调递增的.从等式(1)～(3)和不等式(4)可得:

H(a,b;0)=H(a,b)

(5)

G(a,b;0)=G(a,b)

(6)

对所有a,b>0且a≠b成立.

受不等式(5)和(6)的启发,本文发现和证明了双向不等式

H(a,b;λ1)

G(a,b;λ2)

二、引 理

为证明本文的主要结果，需要以下相关基础知识与引理.

分别是第一类和第二类完全椭圆积分且满足下列等式[9]474-475:

κ(0+)=ε(0+)=π/2,κ(1-)=+∞,ε(1-)=1,

引理1设-∞

也在(a,b)上单调增加(减少).如果f′(x)/g′(x)的单调性是严格的，则F(x)和G(x)的单调性也都会是严格的[9]10.

引理2(1) 函数r[ε(r)-(1-r2)κ(r)]/r2在(0,1)上单调增加且值域为(π/4,1)[9]53；

(2) 函数r[κ(r)-ε(r)]/r2在(0,1)上单调增加且值域为(π/4,+∞)[9]70；

(3) 函数rε2(r)-(1-r2)κ2(r)在(0,1)上单调增加且值域为(0,1)[9]71；

(4) 函数r[(2-r2)κ(r)-2ε(r)]/r4在(0,1)上单调增加且值域为(π/16,+∞)[9]71.

引理3函数

在区间(0,1)内是严格单调递增的且值域为(3/2,2).

证明:设f1(r)=(1+r2)κ2(r)-π2/4,f2(r)=r2κ2(r).简单计算可得:

(7)

f1(0+)=f2(0)=0,

(8)

(9)

从等式(9)和引理2(1)可知f1′(r)/f2′(r)在(0,1)内是单调递增的.注意到:

(10)

所以,引理3容易从引理1和等式(7)(8)(10)协同函数f1′(r)/f2′(r)的单调性得到.

引理4函数

在区间(0,1)内是严格单调递增的且值域为(3,4).

证明:设g1(r)=(1+r2)2κ4(r)-π4/16,g2(r)=r2κ4(r).简单计算可得：

(11)

g1(0+)=g2(0)=0,

(12)

(13)

其中,

简单计算可得：

(14)

(15)

其中,

g4(r)=(r4+2r2-3)κ2(r)-2(r4-r2-4)ε(r)κ(r)-5(r2+1)ε2(r)=

(16)

由引理2的(1)～(4)和等式(16)可得：

g4(r)>0

(17)

对所有r∈(0,1)成立.

从等式(13)～(17)可以得g1′(r)/g2′(r)在(0,1)内单调递增.注意到：

(18)

所以,引理4容易从引理1和等式(11)(12)(18)协同函数g1′(r)/g2′(r)的单调性得到.

三、主要结果

定理1设λ1,μ1∈[0,1/2],则双向不等式

H(a,b;λ1)

证明:根据H(a,b),B(a,b)和A(a,b)是关于a和b对称且一阶齐次的.不失一般性，假设a>b>0.设a=1,b=[(1-r)/(1+r)]2,r∈(0,1)和p∈[0,1/2].由等式(1)～(3)得：

(19)

(20)

由等式(19)和(20)容易得：

(21)

其中，函数f(r)定义在引理3.

所以,由等式(21)和引理3协同函数r(1+r2)在(0,1)内单调递增且值域为(1,2)，不难得到(1+r2)f(r)在(0,1)内单调递增.注意到：

(22)

(23)

所以，定理1容易从等式(21)(22)和(23)得到.

定理2设λ2,μ2∈[0,1/2],则双向不等式

G(a,b;λ2)

证明:根据G(a,b),B(a,b)和A(a,b)是关于a和b对称且一阶齐次的，不失一般性，假设a>b>0.设b=[(1-r)/(1+r)]2,r∈(0,1)和q∈[0,1/2].由等式(1)～(3)得：

(24)

由等式(19)和(24)容易得:

(25)

其中,函数g(r)定义在引理4.

所以,定理2容易从等式(25)和引理4得到.

作为定理1和定理2的应用，可以得到推论1.

推论1双向不等式

对所有r∈(0,1)成立.

综上，近年来,完全椭圆积分与二元平均值的比较得到广泛研究.本文建立了一个特殊拟算术平均关于单参数调和平均和单参数几何平均的最优不等式,得到了一个第一类完全椭圆积分的确界,所得结果改进了已有的相关不等式.该研究方法对从事二元平均值研究的爱好者具有一定的借鉴作用.