把握教材内容逻辑 促进算理算法融通——基于三版本教材“分数除法”单元的比较分析

魏 先 玲

(深圳市宝安区海港小学，广东 深圳 518102)

分数除法既是分数乘法的延伸，也是整数除法运算的扩展。在日常教学中，学生对于分数除法的运算法则能够灵活运用，但对于为什么可以这样运用，却说不清、道不明，这就涉及分数除法算理与算法的贯通关系。《义务教育小学数学课程标准(2011年版)解读》指出：“学生不仅会根据法则、公式等正确地进行运算，而且理解运算的算理，能够根据题目条件寻求正确的运算途径。”[1]教育家顾泠沅曾说过：分数以及分数的运算是整个小学阶段乃至初中阶段数学学习的关键内容，学生对分数及其运算的理解困难，会成为以后数学学习道路的阻碍。可见，将分数除法的算理和算法进行融会贯通，对于学生正确运用算法、深入理解算理至关重要。

数学知识主要通过数学教材来承载[2]，分数除法算理和算法的贯通也正是借助教材这一媒介来实现。基于此，笔者查阅了北京师范大学出版社义务教育教科书小学数学教材(以下简称北师大版)、人民教育出版社义务教育教科书小学数学教材(以下简称人教版)和江苏凤凰教育出版社义务教育教科书小学数学教材(以下简称苏教版)三个版本教材中关于“分数除法”这一内容的编排，从宏观和微观两个角度进行比较分析，以期为后续教学路径的设置与实施提出建议。

一、宏观比较，强调教材内容逻辑

教材内部编排具有一定的逻辑性，站在宏观角度审视，才能更有效地理解教材的编排意图。宏观比较是指从大的模块进行比较分析，包括知识衔接和编排结构两个方面。

1.知识衔接，遵循逻辑层次

数学知识前后衔接紧密，环环相扣，具有很强的逻辑性和系统性。各知识点之间的衔接过渡，是保证数学这门学科逻辑完整性的关键。以“分数除法”单元为例，现对三个版本教材从知识衔接的角度进行比较分析，情况如表1。

表1 三个版本教材前后知识衔接

在学习“分数除法”之前，需提前学习分数的基本知识，包括分数的认识及意义，分数的加减法、分数的乘法等等。北师大版教材将“分数除法”这一内容安排在五年级下学期，而人教版和苏教版则将这一单元内容安排得比较晚，放在了六年级上学期。从表1中，我们看到三个版本教材在知识的前后衔接上是一致的，都遵循了从浅到深、步步深入的逻辑。当然，三个版本教材也存在一定的区别，人教版教材将倒数的认识设置在了本单元，苏教版的教材将比的内容设置在了本单元，而北师大版教材则将倒数的认识安排在了分数乘法一单元中，将比的认识安排在了六年级上学期。

2.编排结构，彰显逻辑规律

教材在编排设计的时候，主要遵循“一体化”原则。为使教材一体化，需从实现教学目标的全局出发，依据知识体系的内在联系与学习规律，按不同的层次编排教材。以“分数除法”单元为例，从编排结构来看，三个版本的教材都充分体现了知识体系的连贯性、逻辑性，尊重知识体系编排的螺旋上升规律，体现了单元整体教学理念(详见表2)。

表2 三个版本教材分数除法单元内容设置及课时安排

从表2中，我们发现北师大版教材在解决分数除法时编排了6个课时；人教版教材编排了11个课时，其中“用方程解决实际问题”里又划分为4种类型，划分的层次比较细，步步深入地引领学生去感悟、理解不同情况下用方程解决的分数问题；苏教版编排了13个课时，抛开比的内容不看，只看分数除法部分，划分得更细，将“一个数除以分数”分解成“整数除以分数”和“分数除以分数”两个部分，与北师大版和人教版相比，还多了“分数连除和乘除混合运算”这一模块。

在“一个数除以分数”模块中，北师大版教材只列举了分数除以分数单位这一类型，就总结出“除以一个数相当于乘这个数的倒数”；人教版则是从一个数除以非分数单位的分数入手，通过两个例子总结出“除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数”；苏教版教材编排的相对比较细致，具有一定的层次性，先从整数除以分数单位，再进一步扩展到整数除以非分数单位的分数，从特殊到一般，通过两个例子，总结出“整数除以分数，等于整数乘这个分数的倒数”，最后再过渡到分数除以分数，进而总结出“甲数除以乙数(0除外)，等于甲数乘乙数的倒数”。

二、微观比较，促进算理算法贯通

算理是计算的本质，而算法是抽象概括的。算法探究过程的每一次抽象与创造都是算理的无形内化，需要精心设计，才能促进算理的深层感悟与算法的有效生成，实现算理和算法的相互交融。[3]微观比较是指系统学习“分数除法”时教材内容的比较，包括情境的设置、表征方式的运用、活动经验的积累以及数学思想的渗透四个方面。

1.创设情境，来源生活高于生活

小学生的学习是基于情境的。教材根据不同地区学生发展的需要，设计了多样化的情境，不但能够提高学生的学习兴趣、精准解决问题，而且有利于学生体会数学与生活的密切联系，同时也有利于学生认识数学的产生与发展的过程。三版本教材在使用情境种类及次数情况如表3。

表3 各版本教材使用的情境及次数

从表格中，我们可以看到，三个版本的教材在本单元设置时，能够结合学生的生活，设计贴合学生实际情况的情境，做到“数学来源于生活并高于生活”。但同时，我们也发现，没有一个版本的教材做到从始至终有一个完整的情境，做的相对比较好的是苏教版的教材，“分果汁”的情境在本单元教学中使用了4次，频率相对比较高。

2.运用表征，达成算理算法融通

华罗庚说过：“数形本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直观，形少数时难入微”。多元表征的有效利用，有利于学生从多角度深入理解数学知识的本质，使抽象问题具象化、复杂问题简单化、学生的思维可视化。经过比较分析，梳理出三版本教材所使用的表征方式的类型及概述如表4。

表4 表征方式的类型

三个版本的教材都运用了图形表征、符号表征、算式表征和文字表征。其中，北师大版教材用图形表征贯穿分数除法始终，借助图形表征，将分数除法的算理直观形象、清晰明了地呈现出来，适切地将算理和算法融会贯通，在帮助学生理解算理方面起到了很有效的作用；人教版教材在“分数除以整数”这一模块时，只运用了图形表征，而在“一个数除以分数”这一模块时，则只运用了符号表征；苏教版教材的几个课时，既运用了图形表征又运用了符号表征。三个版本的教材都注重运用多元表征的方式引领学生理解分数除法的含义。

3.积累经验，强调主体参与感受

设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生发展过程，是学生积累数学活动经验的重要途径。[4]三版本的教材都注重学生活动经验的积累，通过分一分、画一画、涂一涂、写一写、算一算等一系列操作活动，引领学生在亲身体验和感受的过程中，感悟分数除法的含义，打通分数除法算理和算法的内在联系。

4.渗透思想，促进核心素养形成

数学知识是数学思想方法的载体，数学思想方法是对数学知识的进一步提炼概括。[5]三版本的教材在解决问题模块都适切地渗透了方程思想；在分数除法含义的理解上都是将分数除法转化为分数乘法，渗透了转化思想。另外，人教版教材还借助速度模型思想帮助学生理解“一个数除以分数”的含义。三版本的教材将数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括[4]，有利于促进学生核心素养的形成。

三、教学建议

通过对三个版本教材在宏观和微观两个方面的比较研究，结合笔者所在学校使用的北师大版教材，依据学生思维水平和认知结构的特点，对本单元整体教学提出以下建议：

1.立足“四大”，贯通知识内部联系

本单元教学以“分数除法的含义”这一“大概念”为核心，将本单元的内容重新整合，从单元整体教学的“大格局”出发，创设贴近学生生活、能够融入整个单元的“折纸活动”为“大情境”，以“为什么一个数除以分数等于乘这个数的倒数”这一“大问题”为任务驱动，打通知识间的内在联系，构建知识网络体系。

2.遵循逻辑，重新设置课程模块

以三版本教材的编排情况为出发点，以学生思维发展水平为起点，以儿童学习规律为依据，以教学内容逻辑层次为原则，本单元教学重新设置课时结构，共分为“分数除以整数”、“整数除以分数”、“分数除以分数”以及“用方程解决有关分数的问题”4个模块开展教学，有利于帮助学生系统地建立知识体系，实现知识螺旋上升。

3.基于学情，重构整数除以分数

实际课堂教学中发现，学生对“整数除以分数”这一内容困难重重，基于此，将这一课进一步细分为整数除以分数单位和整数除以非分数单位的分数两个课时开展教学，更有利于学生对分数除法算理的理解和算法的运用。

4.多元表征，促进算理算法融通

三版本教材中都有用到图形表征、符号表征、算式表征、文字表征等表征方式。图形表征的直观性强，贴近学生思维发展水平，有利于引领学生感知算理；抽象的文字表征和简洁的算式表征与直观的符号表征结合在一起，更有利于打通算法之间的内在联系，进一步帮助学生理解算理，实现算理与算法的融会贯通。

综上所述，分数除法单元遵循教材内容逻辑，从学情出发，以大概念为核心，立足大格局，创设大情境，围绕大问题，运用多元表征融通算理与算法之间的内在联系，重新整合教学内容，构建清晰的单元学习路径。