关注教学过程，促进知识有序建构

［摘  要］ 新课标引领下的高中数学教学，不再是机械的知识传授过程，而是一种学生在互动中不断自然生成知识的过程. 文章以“二元一次不等式（组）与平面区域”教学为例，从问题导入、揭示课题、自主探究、加强训练这四个方面，具体谈谈在执教过程中该如何关注过程教育，以促进学生对知识的有序建构.

［关键词］ 教学过程；过程教育；有序建构

格式塔理论认为，人的认知活动过程并非对各种经验要素的简单集合，而是对事物的各个部分与相互关系形成整体性的理解. 新课标也明确提出新知的建构离不开过程教育的支撑. 但是，当前仍有不少教师只将眼光放在学生对结论的掌握程度上，而忽视了过程教育的重要性，甚至出现了知识建构杂乱无章的情况.

鉴于此，笔者以“二元一次不等式（组）与平面区域”教学为例，具体谈谈在执教过程中，该如何关注过程教育，以促进学生对知识的有序建构.

教学简录

1. 问题导入

俗话说：“良好的开端是成功的一半.”课堂导入环节在一节课中具有重要意义，它不仅能让学生明确本节课的学习方向，还能有效地激发学生的学习兴趣，以最好的状态进入课堂学习［1］. 本节课所涉及的内容比较抽象，故笔者结合问题情境，利用多媒体，提出“问题串”，在短时间内带领学生进入学习状态.

师：生活中，常会遇到一些有限资源合理分配利用的问题，遇到这种情况，我们要如何做才能达到最优的分配效果呢？

PPT呈現：某单位计划生产甲乙两种产品，生产甲类产品每吨需要用4吨A种原料，12吨B种原料，可获得2万元的利润；生产乙类产品每吨需要用1吨A种原料，9吨B种原料，可获得1万元的利润. 目前仓库有10吨A种原料，60吨B种原料，怎么安排生产能获得最大利润？

引导性“问题串”：

（1）问题中提到的“怎么安排生产”是什么意思？安排生产谁？（变量设定）

（2）本题涉及的利润和甲乙两种产品的数量具有怎样的关系？（目标函数）

（3）所设变量x，y被什么条件制约？（列表，写不等式）

（4）本题信息量大，我们可以借助什么分析数据？（PPT呈现表1）

解：设甲乙两种产品分别生产x，y吨，所产生的利润为P万元，那么实数x，y满足12x+9y≤60，

4x+y≤10，

x≥0，

y≥0①，利润P=2x+y②.

师：观察此问提炼出的模型，这是一类在一定条件的限制下，与x，y相关的代数式最值问题，也是本章节重点研究的内容之一.

设计说明：从系统化的角度展示一个完整的问题情境，让学生从中感知待学知识的必要性与实用性，本节课的教学主题也自然而然地呈现在学生的视野中.

2. 揭示课题

师：观察关于x，y的限制条件，我们将前面两个不等式称为什么？

生1：二元一次不等式.

师：非常好！现在大家观看PPT上呈现的重点内容. （PPT展示二元一次不等式与二元一次不等式组的概念）

师：大家能解出4x+y≤10吗？

（学生解题，教师总结解的结构特征）

PPT呈现：二元一次不等式（组）的各组解都有一个对应的x，y值，而且x，y值还能组成有序数对（x，y），所有类似于此的有序数对（x，y）所构成的集合，我们称为二元一次不等式（组）的解集.

师：我们一起来观察一下，不等式4x+y≤10的解集可以用｛（x，y）

4x+y-10≤0｝来表示，显然，能满足不等式组①的解有无数个. 我们需要将所有解都代入目标等式②进行运算吗？

生2：这是不可能完成的工作.

师：确实，从代数的角度出发，将每个解都代入目标等式进行运算是不现实的，也没有这个必要. 这就要求我们换一个角度来研究该不等式（组）. 众所周知，二元一次不等式（组）的每组解均可构成有序实数对（x，y），从这个角度来分析，我们可以看到它具有怎样的几何意义？

当学生讨论后，教师将总结的内容呈现在PPT上：我们可以将有序实数对理解为直角坐标平面内的一个个坐标，那么二元一次不等式（组）的解集可以理解为直角坐标系内的点所组成的集合.

板书：有序实数对（x，y）?平面直角坐标系内的点.

设计意图：通过引例中出现的二元一次不等式（组）介绍相关概念，既自然又高效. 在教师的引导下，学生通过举例感知代数法在解题中存在的障碍，从而转化思维角度，从几何方向去研究二元一次不等式（组），这种转变自然、流畅，不论从学生的心理角度还是情感角度，都能有效激发学生的探究热情，为接下来教学做铺垫.

3. 自主探究

师：我们依然来观察4x+y≤10这个不等式，很显然，该不等式与“4x+y<10或4x+y=10”是等价的. 对于4x+y=10的几何意义大家比较清楚，谁来说一说？

生3：4x+y=10即y=-4x+10，该一次函数的图像为一条直线.

师：很好！4x+y=10的解集为｛（x，y）

4x+y-10=0｝?直线y=-4x+10上的点组成的集合.

预设：若学生没有想到从一次函数的角度来分析这个问题，可让学生先将满足该方程的若干组解写出来，要求学生在平面直角坐标系中画出这些解的坐标点，然后通过观察引发猜想. 教师引导学生从一次函数的角度来解读该现象，既可提高教学效率，又能促进学生思维的有效生长（描点的过程可借助几何画板操作）.

此处即本节课的教学难点，可分为以下几个阶段进行研究.

【阶段1】  师生协作，初步感知.

问题1：思考不等式4x+y<10的解集与哪些点组成的集合相对应.

要求学生分组讨论，而后各组将结论展示交流.

预设：（1）不等式4x+y<10的解集与直线y=-4x+10左下方的点组成的集合相对应.

（2）不知道.

当学生表示“不知道”时，教师可结合学生认知提出问题，以辅助学生思考，如能否写出该不等式的一些解？这些解的坐标点位于平面直角坐标系的什么位置，存在怎样的分布特征？

随着这些启发性问题的引导，学生经历书写解、描点、猜想等过程（描点可借助几何画板操作）. 低起点、小步子的引导过程，让学生的思维由浅入深逐步向前，对问题产生直观认识与理解. 这种教学效果，是教师直接呈现结论无法比拟的.

问题2：不等式4x+y<10的解集与直线y=-4x+10左下方的点组成的集合相对应的理由是什么？

取任意满足不等式4x+y<10的点P（x，y），均有y<-4x+10，从单因子变量控制法出发，取直线y=-4x+10上横坐标亦是x的点P′（x，y′），因为y′=-4x+10，所以y

问题3：是不是直线y=-4x+10的左下方所有点的坐标，均满足不等式4x+y<10？存在不满足的点吗？

探索步骤1：师生一起，借助几何画板在直线y=-4x+10的左下方任意取点，同时观察代数式的符号情况，讓学生从直观上形成一定的感知，然后实施论证，这种一般性的论证过程，无须过分追求严谨.

探究步骤2：在直线y=-4x+10的左下方任意取点P（x，y），直线y=-4x+10上一直有一个横坐标相同的对应点（x，-4x+10），由于点P的位置在直线y=-4x+10的左下方，所以y<-4x+10，即4x+y<10. 由此可确定直线y=-4x+10的左下方的任意点P的坐标（x，y）一定满足不等式4x+y<10.

此时，教师再次将不等式4x+y<10的解集板书于黑板上，并着重强调不等式解集与相应的平面区域的等价关系存在哪两层意义，以加深学生的印象，让学生更加深刻地理解这部分内容.

【阶段2】  深化理解，完整建构.

问题4：4x+y-10>0是指哪些点所组成的区域？

预设：（1）从问题本身的角度进行判断.

（2）从补集的角度进行分析，4x+y-10>0是由直线y=-4x+10右上方的点构成的区域.

教师通过几何画板演示，拖动平面内的点，让学生在直观图像的变化中，感知4x+y-10的符号（大于0，小于0，等于0）会发生怎样的变化.

从补集的角度分析并板书如下：

U=｛（x，y）

x∈R，y∈R｝?坐标平面；A=｛（x，y）

4x+y-10=0｝?直线4x+y-10=0；B=｛（x，y）

4x+y-10<0｝?直线4x+y-10=0的左下方区域；C（A∪B）=｛（x，y）

4x+y-10>0｝?直线4x+y-10=0的右上方区域.

小结：（1）4x+y-10>0与4x+y-10<0表示的是直线4x+y-10=0不含边界线的一侧区域；

（2）换表达方式，即直线4x+y-10=0不含边界的某一侧区域内的所有点的坐标，必然满足4x+y-10>0或4x+y-10<0（必满足其一）. 因此，把直线4x+y-10=0一侧（不含边界线）的所有点的坐标都代入4x+y-10，获得的结果要么均大于0，要么均小于0，也就是符号必定相同；而把不同侧的点的坐标代入式子，获得的结果的符号必定是相异的.

板书：在一个平面直角坐标系中画出直线4x+y-10=0的不同区域（左下或右上），可体现出直线、方程、不等式、平面区域的对应关系. （借助几何画板展示图像）

【阶段3】  实际应用，深化理解.

问题5：在草稿纸上画出x+y≥0所表示的平面区域.

设计意图：巩固以上探究活动的成果，引导学生在自主操作中寻找探究规律与方法，为提炼从特殊到一般的数学思想做铺垫.

（学生自主探究）

师：从以上探究过程来看，大家基本得到了以下结论.

（1）Ax+By+C>0（<0）代表直线Ax+By+C=0的某一侧区域；

（2）具体判断该区域位于哪一侧，可结合以上两个问题（问题4、问题5）的结论进行判断：①代点检验，这种方法的检验依据是“同侧同号、异侧异号”；②将问题转化成y>ax+b或y

设计意图：逐层深入的三个探究阶段的应用，能让学生明晰探究过程与思路. 从直线与一次函数相对应的关系着手分析，学生更容易接受，这为顺利展开探究互动奠定了基础. 遇到教学难点时，教师并没有应用“注入式”教学方法，而是结合学生的认知水平与教学内容的特点，顺学而导. 主要表现在平面区域分割关系和集合互补关系对应处，有效地增强了学生对知识的理解.

关于不等式所表示的区域位于平面内直线的哪个位置的问题，教师并没有直接将其抛给学生，而是鼓励学生自主探究实践后得以感知、体会并感悟，这种教学设计不仅遵循了新课标所倡导的“以生为本”“学生是教学的主体”等理念，还与学生的认知发展规律相吻合，更利于学生接纳与吸收.

4. 加强训练

练习：（1）尝试画出以下不等式（组）所对应的平面区域.

①2x-y+3<0；

②x≥0；

③3x+y≤10，

12x+8y≤60，

x≥0，

y≥0；

④（3x+y）x≥0.

（2）写出图1、图2所示的平面区域（阴影部分，包含边界）对应的不等式（组）.

（3）已知点（1，2），（3，-1）均位于直线x+y-m=0的同一侧，求实数m的取值范围.

（4）经过本节课的探索，获得不等式组12x+9y≤60，

4x+y≤10，

x≥0，

y≥0的解集与相应的平面区域内的点为对应关系，当我们获得相应的平面区域后，该如何求出最大的利润呢？

设计意图：从问题的正反两面进行分析，不仅紧扣主题，还揭示了本节课所涉及的数形结合思想. 一个个问题的突破，不仅巩固了学生的认知结构，还让学生的思维随着问题的深入而发展，为后继教学奠定了良好的基础.

完成以上教学环节后，教师带领学生回顾、梳理、总结知识内容，并结合学生的实际认知水平设计分层作业，让每个水平层次的学生都能在相应的作业中提升能力（具体过程略）.

教学分析

1. 新知引入，自然流畅

课堂导入从知识的系统性出发，站在章节的角度应用一个画图方便、内容真实的问题吸引学生的注意力，成功将生活与知识衔接起来，让学生从心理与情感上自然而然地对本节课教学产生亲近感. 这种导入方式有效激发了学生的认知冲突，将学生的学习积极性充分调动了起来.

2. 过程推进，清晰明朗

想要让学生接纳新知，仅让学生知道问题的结论是远远不够的. 学生只有做到知其然且知其所以然，才能从真正意义上内化并建构新知. 带领学生体会知识的形成与发展过程，一环接一环的问题设置等，是促进知识自然生成的必经之路［2］.

本节课，教师以数形结合思想为主，逐步推进学生建立二元一次不等式（组）与平面区域的对应关系，整个过程目标明确、层次分明、思路清晰，学生的思维由浅入深地发展. 在解决问题的引导上，教师从学情出发，预设多种方案，从真正意义上实现了因势利导的教学模式. 贴近学生最近发展区的一个个问题，让整个课堂如行云流水般自然、流畅，有效地提高了课堂教学效率.

3. 关注难点，过程体验

针对教学难点，本节课并没有应用传统的说教、重复、灌输等方式，而是将教学难点分解成三个具有一定梯度的层次进行教学，让学生在每个阶段中体验知识的发生与发展过程，同时在实践操作中自发感悟知识的内在规律，深刻理解操作规则与方法.

4. 达成目标，深化应用

一般数学原理、规则等的应用，遵循正向、逆向、变式等原则. 本节课中，教师基本完成教学任务后，也是从这几点原则进行应用设计的. 这种设计模式不仅让全体学生都获得了不同程度的发展，还阐明了看待问题的视角，有效培养了学生的问题意识.

总之，教无定法. 对于每个教师来说，不论面对怎样的学生群体，授课内容是什么，都应从“为什么学”“怎么学”“怎么用”的角度出发，积极思索，让每个学生都能在学习过程中建构新知，获得各项能力的提升.

参考文献：

［1］  史宁中. 试论数学推理过程的逻辑性——兼论什么是有邏辑的推理［J］.数学教育学报，2016，25（04）：1-16+46.

［2］  弗赖登塔尔. 数学教育再探——在中国的讲学［M］. 刘意竹，杨刚，译. 上海：上海教育出版社，1999.

作者简介：杨世刚（1983—），本科学历，中小学一级教师，从事高中数学教学工作.