数列中探索性问题的类型与破解策略

⦿江苏省大丰高级中学

姜兴荣

1 引言

数列中的探索性问题是近年新课标高考中比较常见的一类创新性问题，根据数列中的定义、通项公式、求和公式以及相关性质等加以变形与应用，通过观察、分析、试验、归纳、运算、类比、猜想、论证来剖析与转化，创新成分非常高.

2 数列中的条件探索性问题

此类问题的基本特征是：结合确定的结论，探寻未知条件，或确定条件的增删情况，或判定条件的正误等.解决此类数列问题的基本策略是执果索因，首先确定结论成立的必要条件，再检验或认证结论成立的充分条件.注意“执果索因”中推理过程是否可逆.

例1已知函数f(x)=logkx(k为常数，k>0且k≠1).

(1)在下列三个条件中选择一个，使{an}是等比数列，并说明理由：

①{f(an)}是首项为2，公比为2的等比数列；

②{f(an)}是首项为4，公差为2的等差数列；

③{f(an)}是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列.

分析：对第(1)问根据等比数列的定义，结合不同条件建立对应的f(an)的关系式，通过数学运算与变形来分析；对第(2)问，结合(1)的结论与对应的条件，确定数列{bn}的通项公式，利用通项公式的裂项相消进行数列求和.

解析：(1)条件①③不能使数列{an}成等比数列，条件②可以.

所以

Tn=b1+b2+……+bn

点评：涉及数列中的条件探索性问题，根据不同条件加以合理推理与转化，通过数列中定义、公式、性质等的应用来分析与运算.此类条件探索类问题，可以通过数列中的不同条件来分析对应的结论，也可以通过数列中的确定结论来反推满足题意的条件等.

3 数列中的结论探索性问题

此类数列问题的基本特征是：给出确定的条件，自行确定对应的结论或判定结论的正误等.解决此类数列问题的基本策略是先探索结论而后去论证结论.注意从特殊情况入手加以观察，再合理分析，并归纳与猜想，最后论证.

例2已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=4，an+1=3Sn+4(n∈N*).

(1)求数列{an}的通项公式；

分析：(1)由数列的递推关系式，合理变形，结合等比数列的定义确定数列类型，进而确定对应的通项公式；(2)通过第(1)问的结论以及条件中关系式确定bn的表达式，利用错位相减法进行数列求和，借助不等式的放缩法来确定大小关系.

①

②

①式-②式,得

点评：涉及数列中的结论探索性问题，一定要先确定一个相应的结论，再进行合理推理论证.对比较大小的问题，经常可以通过构建函数，利用函数的基本性质来分析，也可利用放缩法加以变形转化等.

4 数列中的存在探索性问题

此类数列问题的基本特征是根据确定的条件，判断数列对象是否存在或相应结论是否成立.解决此类数列问题的基本策略是：先假定存在性，再在此条件下加以合理推理，推理正确则肯定结论，推理矛盾则否定假设.注意反证法的应用.

已知{an}是公差为2的等差数列，其前n项和为Sn，______.

(1)求数列{an}的通项公式.

分析：(1)根据选择的条件，从不同角度，结合不同数列类型加以变形与转化，进而确定数列{an}的通项公式；(2)结合第(1)问的结论与对应的条件来确定bn的表达式，利用作差比较法进行合理变形，通过项数n的取值情况确定数列{bn}中的最大项，进而确定数列的存在性问题.

若选③数列{a2n}的前5项和为65，则a2(n+1)-a2n=[2(n+1)-2n]×2=4，因为a2=a1+2，所以{a2n}是首项为a1+2，公差为4的等差数列.

点评：遇到含多个变量的数列存在探索性问题，在假设存在的情况下，确定满足条件的关系再进一步寻找相关的条件，而根据条件推出矛盾则说明不存在.破解此类问题一般可以利用数列的函数性质、重要不等式、函数的值域或取值范围等的判断来确定对应的存在性问题.

5 结束语

处理数列中的探索性问题，应充分利用已知条件或对应的结论，合理根据数列前几项的特点透彻分析、发现规律、猜想条件或结论的存在性等，综合不等式的性质(包括放缩法等)、函数的性质等加以合理运算与推理，从而得以解决探索性问题，提升数学应用与创新能力.综合数学知识、数学思想方法和数学能力的应用，养成良好的数学品质，培养数学核心素养.