分类讨论思想视域下高中数学解题研究

崔 坚

(山东省德州市临邑第一中学 251500)

高中数学解题中运用分类讨论的思想，不仅能够使数学题目得以轻松解决，而且还能使学生形成相应的发散思维.高中阶段的数学与其他时期不同，通常具有较强的抽象性，不易被学生所理解.而分类讨论作为数学解题中的一种重要思想，其在高中数学的许多题目解决中都得到广泛运用，如概率、函数、数列等，其不仅可以使学生在解题时，具有清晰的思路，而且还能将抽象思维转变为形象思维，以确保相关数学题更好的完成.因此，想要使高中数学的解题有效性得到显著提高，就需深化分类讨论的探究，以促使复杂、抽象的数学题解答更加简单，并使学生形成良好思维习惯的同时，实现数学成绩的提高.

1 分类讨论思想及其应用价值与原则

1.1 分类讨论思想概述

基于高中阶段数学学科具备的特点，学生在对数学知识进行学习时，通常会遇到各种难题，且学生在解答数学题的时候，其中还包含着无限的可能，这就造成学生无法通过常规的形式进行数学试题解答.面对该数学问题，学生需注重具体问题具体分析，依据数学题所限定的范围，对其实施正确划分，将其分为一个个的小区域开展分析与运算，以促使学生的解题能力得到有效提高，该过程中运用到的数学思想以及解题技巧就是分类讨论的解题思想.

在具体解题中，通过分类讨论进行划分的时候，需以划分对象自身的相同或不同处作为依据，并根据其相同点以及不同点，将其分成不同种类，这不仅有助于学生进行更好的比较，而且还能准确找出其差异，并将有相同点的问题划分到一个组别，这通常能够使学生更有效的掌握相关数学问题间的联系.

1.2 分类讨论在数学解题中的应用价值

在高中数学的解题中，分类讨论的思想运用通常有着重要价值.首先，有助于学生自身解题能力的提高，通过分类讨论引导学生厘清数学题当中存在的数学关系，以此对数学题目进行准确解答，并在该过程中，促使学生对数学试题当中存有的数学思想深入理解；其次，有助于高中数学的课堂教学水平提高，并使学生在课堂上的学习难度得到有效降低.在高中数学的解题中，通常对学生自身的思维能力具有较高的要求，在实际解题中，通过分类思想的运用，不仅能够有效解决学生在解题过程中遇到的难题与困难，而且还能使学生在具体操作中，形成自身独特的分类思维，从而使学生的解题能力得到显著提高.同时，将分类讨论运用于数学解题中，可通过“化整为零、积零为整”的教学形式，不仅可以使学生构建自己对相关数学问题进行有效解决的机制，而且还能使学生对相关数学知识的逻辑性以及敏锐性得到有效提高，从而确保学生能够灵活的学习相关数学知识，解决相关数学问题.

1.3 分类讨论在数学解题中的应用原则

首先，统一性原则.高中数学的课堂解题中，数学教师需注重分类讨论，并注重以统一分类的解题标准开展，避免同时运用多样分类方法.比如，对三角形实施分类的时候，若将其分为锐角、直角、等腰、钝角、不等边三角形，由于该分类当中出现了两种不同的分类标准，这种状况下的分类结果就是错误的.

其次，互斥性原则.高中数学的解题中运用分类讨论的方法，数学教师需充分明确在分类后每个子项的关系是互相排斥的关系，并保证分类之后的子项之间是无法相容的.

最后，层次性原则.高中数学与的解题中运用分类讨论的解题思想，通常包含一次分类讨论以及多次分类讨论.对于一次分类讨论而言，其通常指讨论的数学问题只要开展一次分类即可；而对于多次分类讨论而言，其主要指讨论的数学问题需实施多次分析，直至符合相关要求.

2 分类讨论思想下高中数学解题应用策略

2.1 基于分类讨论的函数问题解答

分类讨论不仅是一种数学解题方法，而且还是较为常用的一种数学思想，对数学方法进行科学合理的运用，通常能够使数学题的解答更清晰灵活.分类讨论的解题思想运用于数学问题解答中，有着重要地位，因此，在函数问题解答中，分类讨论的运用，首先需对函数问题实施处理与观察，若该问题不能通过统一的方法实施研究与解答，则需对该研究对象实施划分，将整体分为几个部分实施解答，即分类讨论.运用分类思想时，需确保研究对象的准确划分，避免条件疏漏或缺失，保证问题解答的准确性与完整性.函数作为高中数学解题中占比较大的部分，在对函数进行学习时，需对函数组成的部分实施分析，对于不同自变量，其通常对应着不同函数，通过函数运算，又会产生不同的结果.

例1(对函数问题中的变量x进行分类讨论)求函数y=|x+1|+|x+2|-2的值域.

2.2 基于分类讨论的数列问题解答

在高中数学数列问题教学中，数列周期性和等比数列求和等相关问题都和分类讨论相关，学生通过分类讨论的解题思想运用对数列问题的解答思路进行整理，并清楚地认识到题目当中是概念划分、条件划分、集合划分，以此将问题清楚地分为不同状况实施解答，因为部分数学知识在进行定义的时候，会依据分类概念实施，因此，学生在对有关数学问题进行解答的时候，需注重分类讨论.通过分类讨论的解题思想，不仅能够使学生形成谨慎的逻辑以及严密的思维，而且还能使学生通过大量的习题练习，充分理解与掌握该解题思想的运用方式与本质，并对分类的规律进行总结，从而使学生更好的解决相关数学与问题.

例2假设首项是正数的等比数列{an}公比是q，前n项和为Sn>0(n=1，2，3，…)，那么q的取值范围是____.

2.3 基于分类讨论的概率问题解答

分类讨论的解题思想，是高考中对学生的学习能力进行考查的重点，学生需善于分析与思考，通过分类讨论对复杂的概率问题进行解答，并使条件不清晰的相关数学问题更加清晰明了.将分类讨论的解题思想运用于概率问题解题中，通常能够使概率事件的分类更清晰.在对概率问题进行学习时，其主要的内容就是引导学生充分了解、掌握相关概率事件的集合与某件事在全部事件中的具体发生概率，不论是分母，还是分子，通过分类讨论的正确运用，对概率计算的正确性有着重要影响.在对概率相关问题进行解答时，学生需注重对事件的分析不遗漏且不重复，对分类对象进行清晰掌握，并通过统一化的分类标准，确保分类讨论解题思想的准确应用.

例3某地的奥运会火炬传递活动中，共有编号是1,2,3,4，…，18的共18名火炬，从中只能选择出3名担任火炬手，选择的火炬手编号通常能形成公差是3的等差数列的概率是( ).

A.151 B.168 C.1306 D.1408

解析该试题中，其不仅涉及到概率问题，而且还涉及到数列知识，学生在具体解题中，通过分类讨论梳理好相应的解题思路，首先，对问题的概型实施整理，该问题是古典概型的问题，求取基本事件，就是总情况是17×16×3.然后，根据相关规律选出相应的火炬手，即a=1的时候，火炬手的选择方式有几种；b=2的时候，火炬手的选择方式有几种；c=3的时候，火炬手的选择方式有几种.经过分类讨论的状况相加，得出概率是168，故选B.

2.4 基于分类讨论的不等式问题解答

高中数学的具体教学中，其难点通常是不等式求解，该类型数学题通常对高中生而言具有相应的难度.在这种状况下，数学教师在实际教学时，就需注重分类讨论解题思想的运用，以促使学生在对不等式问题实施解答时，能够应用分类讨论，这不仅可以使学生自身的解题思路更加清晰，而且还能使学生的解题能力以及解题效率得以显著提高.

例4已知函数f(x)=|x+a-1|+|x-2a|，当f(1)<3时，求实数a的取值范围.

解析首先，根据f(1)<3可得，|a|+|1-2a|<3，并对a实施分类讨论，第一，当a≤0的时候，可得：-a+(1-2a)<3，对其使求解，得出：a>-2/3，以此得出结果：-2/3-2，因此，以此得到的结果是：0

综上所述，在高中数学的解题教学中，分类讨论的思想运用通常是有效且普遍的解题方法，这不仅可以使学生有效解决相关数学问题，而且还能确保学生准确解决问题的同时，实现解题效率的提高.因此，学生只有充分掌握分类讨论的思想标准，才能促进其自身数学能力的增强.将分类讨论的思想运用于高中数学的解题教学中，教师可积极引导学生理解与运用该思想，以促使学生在分类讨论过程中，形成良好的逻辑思维，并实现学生全面发展.