巧妙换元 解决难题——换元法在高中数学解题中的应用

李志明

(甘肃省庆阳市正宁县第四中学 745307)

换元法作为高中数学解题教学中应用较为广泛的一种解题思想，其主要特点是化繁为简，是在较为复杂的数学式子当中，通过新变元对原先式子中的复杂部分进行替换或者改造，简化原式子，进而帮助学生解决问题.换元思想的本质就是转化，换元能够将原先问题由高次转变为低次，将无理式转变成有理式，超越式转变成代数式，经过换元能够促使数学问题从难变易，从繁变简.将换元法应用于高中数学的解题中，学生就能根据知识之间的内在联系，对相关数学题当中存有的数量关系进行转化，把未知问题转变为已知问题，通过问题及解题过程的简化，使学生实现高效解题，促使学生的思维力得到明显提高.

1 换元法概述

1.1 换元法的内涵

换元法主要就是指将数学题目当中的部分复杂内容通过另外的变量实施等效替换，形成原式的简化形式，或是缩减原题目变量，使得问题简单易解.一般来说，换元方式中比较常见的形式有三种，即(1)整体换元.比如把x的表达式f(x)从整体上替换为t，经过t表示为与x相关的新表达式；(2)通过有关的关系，通常指把具有较高相似度的表达式实施换元，经过已知的三角知识以及代数式之间存在的关联实施换元，即在具体解题时，使用同样的参数，表示不同的变量，以此减少变量，实现问题的简单化；(3)均值换元.在能够明确地求出变量和时，就可以应用均值换元.

1.2 换元法的应用技巧

第一，熟练掌握常规化换元法.面对不同的换元方法，一般都有对应的形式，尤其是数学中的三角换元.基于此，就难度相对较低的数学题来说，学生只有有效理解与掌握一般换元规律，才能做出及时且迅速的反应，更好更快地完成数学题的解答.

第二，注重引导学生观察数学题的形式.对于具有较高难度的数学题来说，题目中一般会包含一些隐含条件，此时，教师需引导学生对数学题目的相关条件进行分析与梳理，以此为基础，找出换元的突破点.需特别注意的是，数学题具备的难度一般不会影响到换元时的条件.基于此，对数学题的条件进行分步骤计算，不仅能够开阔学生自身的解题思路，而且还能提高学生解题的准确率，实现高效解题.

第三，注重等效条件.换元法在应用前后的等效性一般是确保正确解题的关键，但这也是数学解题中极易容易被忽视的部分，不论是什么题型，有着什么难度，这都需学生牢固遵循换元条件的等效性.

2 换元法在高中数学解题中的应用策略

2.1 换元法在方程问题中的应用

高中数学的教学内容中，方程属于基础性知识，与方程有关的题目通常贯穿整个高中数学阶段.但是，数学方程通常有许多种类，涉及到的知识点也有很多，特别是结构相对复杂的方程，这就会造成解题难度的提高.基于此，在方程解题时，数学教师需引导学生运用换元法，把相关方程类题目进行简化，这不仅能实现解题难度的降低，而且还能使解题效率得到显著提高.

例1设[(x4+2x2+1)/x2]+[(x2+1)/x]-2=0，求x的值.

解析在对该题进行解决时，通过换元法的应用，对方程进行转化，将其转变成[(x2+1)2/x2]+[(x2+1)/x]-2=0，令t=(x2+1)/x，构造新的方程t2+t-2=0，通过计算可求得：t1=-2，t2=1.然后，开展分类讨论，t1=-2时，其方程则为x2+2x+1=0，此时x1=x2=-1.通过检验可得，该方程的解为-1.若t2=1时，其方程则为x2-x+1=0，其方程是不能求解的，由此可知，方程的解为-1.

评析通过上述例题可知，换元法的运用，将原先较为复杂且高次幂方程转化为低次幂的方程，原先的一元四次方程则被转变成一元二次的方程，该数学题的整体难度就会相应降低，省去了较多非必要的解题步骤.

2.2 换元法在不等式问题中的应用

在高中数学解题中，不等式的证明问题通常是学生解题中的难点.大部分学生在解决不等式问题的时候，都感到极其苦恼，不能够找出合理切入点，解题条件不足.而通过换元法的运用，可提供给学生全新切入点，这不仅能够使学生的解题思路更加清晰，而且还能使解题方式更加简单.

例2已知[(x-1)2/9]+[(y+1)2/16]=1，设x+y-k>0成立，求k的取值范围.

解析经过换元法的运用，对方程实施转化，可设(x-1)/3=cosα，(y+1)/4=sinα，由此可知，x=1+3cosα，y=-1+4sinα.把x与y代入至x+y-k>0当中，就能计算出3cosα+4sinα>k.因为3cosα+4sinα=5sin(α+φ)>k，从而计算得出k<-5时，不等式恒成立.

评析通过上述例题分析，将新元代入题目条件当中，就能使不等式当中的原先变量条件不断展现，将其作为基础，展示全新表达式，有效运用到不等式证明当中，以实现数学题解题思路全面简化.通过换元法的运用，不仅能准确地找出解题切入点，促进解题准确率的提高，而且还对题目证明的后续讨论实施引导，以促使学生实现高效化解题.

2.3 换元法在函数值问题中的应用

在高中数学解题教学中，求函数最值问题通常是比较常见的，对该类型的题目进行有效学习，对于培养学生的解题能力有着显著作用.一般来说，函数最值问题主要就是考察学生对于函数定义域、值域等相关知识的掌握，在对具体问题进行解答时，最重要的就是明确函数的取值范围，然后对函数及变量的关系有效把握，以此实现数学问题的有效解答.

评析本题的解答是以新元代换的形式，促使原先看似较为复杂化的变量关系转变为更加清晰的简单变量关系，并对原先式子的取值范围实施相应的简化，以促使数学题的解题难度有效降低.通过换元法的运用，对函数值的问题进行求解时，核心就是找出新元的具体切入点，以完成相应的代换工作.

2.4 换元法在辅助函数换元构造中的应用

辅助函数的换元构造是相对重要的解题法，函数属于高中阶段数学教学当中极其核心的知识点，该部分知识通常有着明显的工具性以及导向性，在大多数的数学问题解答中，都需要将函数作为辅助，以此更好地实现复杂且难以解决数学问题的转化，促进教学思维的程序化.

解析若m=1，a<0的时候，f(x)=x-aInx-1，x∈(0,+∞)

由于f’(x)=x-a/x>0位于[3,4]上恒成立，那么，f(x)位于区间[3,4]上呈现增函数.

经过辅助函数的构造方法对上述例题进行解答，可明显使原先的数学问题与辅助函数二者的联系更加明确，经过相应的推理，进行辅助函数的构造，从而实现数学问题的高效化解决，并促使学生的解题效率得到显著提高.

综上所述，在高中数学的解题教学中，换元法属于比较常见且实用的一种解题方式，其通常能够使相对复杂的数学题得到有效处理与解答.因此，数学教师在教学时，需注重引导学生分析与探究换元法，对数学题目的相关条件进行合理分析，以实现换元法的灵活运用，促使学生的解题效率得到明显提高.