交换环上的w-弱平坦模与w-弱内射模

宋菲菲，乔 磊，夏伟恒

(四川师范大学 数学科学学院，四川 成都 610066)

0 引言

本文恒设R是有单位元的交换环，且所有模都是酉模.众所周知，平坦模与FP-内射模(也称绝对纯模)是模范畴理论和同调理论中重要的模类,对凝聚环的刻画发挥了重要作用[1].2015年，Gao等[2]利用超有限表现模引入了弱平坦模和弱内射模的概念，并把凝聚环上的一些结论推广到了任意环上.需要指出的是,弱平坦模和弱内射模的概念与Bravo等[3]引入的FP∞-内射模(绝对clean模)和level模的概念是等价的.

1997年，Wang等[4]介绍了整环上相对于w-算子的平坦模，即w-平坦模，这里要求w-平坦模是无挠模.随着Yin等[5]把整环上的w-模理论推广到一般交换环上，w-平坦模的概念也被Kim等[6]推广到了一般交换环上.此后，Wang等[7]利用w-平坦模刻画了VN正则环，Wang等[8]引入了模的w-平坦维数和环的w-弱整体维数.

2018年，Xing等[9]引入了绝对w-纯模，并利用绝对w-纯模刻画了VN正则环.2021年，Wang等[10]引入w-FP-内射模，并研究了模的w-FP-内射维数与环的整体w-FP-内射维数.在凝聚环下，w-FP-内射模与绝对w-纯模是等价的.本文对经典的弱平坦模和弱内射模进行w-模化理论研究.首先引入w-弱平坦模和w-弱内射模的概念，并讨论它们的基本性质；其次，研究模的w-弱平坦维数和w-弱内射维数，给出它们的一些等价刻画；最后，讨论环的w-超有限表现维数.

1 预备知识

设J是R的有限生成理想，若自然同态φ:R→J*=HomR(J,R)是同构，则称J为R的Glaz-Vasconcelos理想，简称GV理想(相关概念与记号参见文献[5])，并记J∈GV(R).

设M为R-模，记torGV(M)={x∈M:存在J∈GV(R)使得Jx=0},则有torGV(M)是M的子模，称torGV(M)为M的完全GV-挠子模.特别地，若torGV(M)=M，则称M为GV-挠模.若torGV(M)=0，则称M为GV-无挠模.

设M是GV-无挠模，令Mw={x∈E(M):存在J∈GV(R)使得Jx⊆M},则Mw称为M的w-包络，其中E(M)是M的内射包.可以看到，GV-无挠模M是w-模当且仅当Mw=M.设f:M→N是R-模同态.若对R的任何极大w-理想T，fT:MT→NT是RT上的单同态(满同态或同构)，则f称为w-单同态(w-满同态或w-同构).设A→B→C是与R-模同态的序列.若对R的任何极大w-理想T,AT→BT→CT是RT上的正合列，则称A→B→C为w-正合列[13].

对w-正合列A→B→C→0及任何R-模M，若诱导序列0→M⊗RA→M⊗RB→M⊗RC→0仍是w-正合列，则称序列0→A→B→C→0为w-纯正合列.特别地，若A是R-模B的子模，且序列0→A→B→B/A→0是w-纯正合列，则称A为B的w-纯子模[14].设A是R-模，如果A是每个R-模中的w-纯子模，其中包含A作为子模，那么A称为绝对w-纯模[9].

设X是R上的未定元，令

Sw:={f∈R[X]：c(f)w=R},

其中c(f)表示多项式f的容度.Sw是R[X]中的乘法集，记R{X}=R[X]Sw，称为R的w-Nagata环.设M是R-模，定义M{X}=M[X]Sw=R{X}⊗RM[1].记M+为M的特征模，即M+=HomZ(M,Q/Z).

2 主要结论

显然，弱平坦模、GV-挠模和w-平坦模都是w-弱平坦模.弱内射模、绝对w-纯模都是w-弱内射模.若R是凝聚环，则超有限表现模与有限表现模是等价的，即w-弱内射模与w-FP-内射模(绝对w-纯模)是等价的，且w-弱平坦模与w-平坦模是等价的.

引理1设T是R的极大w-理想,M是超有限表现R-模，N是R-模，则

证明考虑R-模正合列

0→A→F→M→0,

其中F为有限生成投射模.由M是超有限表现模及文献[18]引理2.3可知，A是超有限表现模.对任何T∈w-Max(R)，考虑以下两行为正合列

由文献[1]定理2.6.16(1)可知θ1,θ2是同构.因此，θ是同构. 】

命题1GV-挠模是w-弱内射模.

设A是环，E是A-模.在A×E中定义：

其中r1,r2∈A,x1,x2∈E，则A×E是环，称为A通过模E的平凡扩张，记为A∝E[19].

下面例1说明w-弱平坦模(w-弱内射模)不一定是w-平坦模(绝对w-纯模).

例1设K是域且E是无限秩的K-向量空间，设R=K∝E是K关于E的平凡扩张.由文献[19]定理3.4可知，每个超有限表现R-模是投射的，因此每个R-模是弱平坦(弱内射)的，也是w-弱平坦(w-弱内射)的.由于R不是VN正则环，所以存在一个R-模不是w-平坦模(绝对w-纯模).

弱平坦模(弱内射模)是w-弱平坦模(w-弱内射模)，反之不一定成立.下面的例2和例3分别说明了这两个事实.

例2设(R,T)是2维Noether正则局部环(一定是整环)，则T是由长度为2的正则序列x,y生成，于是T=(x,y)是GV-理想.故M:=R/T是GV-挠模，从而是w-弱平坦模，但M不是弱平坦模，否则M是GV-无挠模，导致M=0矛盾.

例3设(R,T)是2维Noether正则局部环(一定是整环)，则T是由长度为2的正则序列x,y生成，于是T=(x,y)是GV-理想.故M:=R/T是GV-挠模，从而是w-弱内射模.注意到，R-模N是可除模当且仅当对R的任何非零因子s有N=sN.假设M:=R/T是可除模，取0≠a∈J(R)，则M=aM.但M是有限生成模，故由中山引理知M=R/T=0，即R=T.这与T是真理想矛盾，故M不是可除模，从而不是内射模.由于在Noether环下内射模与弱内射模是等价的，因此M不是弱内射模.

命题2(1)设{Mi}i∈I是一簇R-模，则⊕Mi是w-弱平坦模当且仅当每个Mi是w-弱平坦模.

(2)设{Ni}i∈I是一簇R-模，则⊕Ni是w-弱内射模当且仅当每个Ni是w-弱内射模.

(2)类似于(1)的证明，由同构关系

即得(参见文献[1]定理3.9.2(1)). 】

弱平坦模关于直积是封闭的,但对于w-弱平坦模并不成立.文献[20]例2.1说明在Noether环条件下，w-平坦模的直积并不总是w-平坦模,因此w-弱平坦模的直积并不总是w-弱平坦模.

命题3(1)设M是R{x}-模,若M作为R-模是w-弱平坦模，则M作为R-模是弱平坦的.

(2)设T∈w-Max(R)，M是RT-模.M作为R-模是w-弱平坦模，则M作为R-模是弱平坦模.

命题4(1)设N是R{x}-模.若N作为R-模是w-弱内射模，则N作为R-模是弱内射的.

(2)设T∈w-Max(R)，N是RT-模.若N作为R-模是w-弱内射模，则N作为R-模是弱内射模.

证明证明类似于命题3. 】

命题5(1)若对任何极大w-理想T，有MT是弱平坦RT-模，则M是w-弱平坦模.

(2)若对任何极大w-理想T，有NT是弱内射RT-模，则N是w-弱内射模.

证明(1)设F是超有限表现R-模,则FT是超有限表现RT-模.由文献[1]定理3.4.12有

(2)设F是超有限表现R-模，则FT是超有限表现RT-模.由引理1有

引理2[21]设N是R-模.对于正整数n≥1，以下结论等价：

(1)N是n-表示的.

(2)对于正向指标集J上的正向系(Mj)j∈J及每个i

是双射.

命题6(1)w-弱平坦模类关于正向极限封闭.

(2)w-弱内射模类关于正向极限封闭.

(2)设{Ni}i∈I是w-弱内射模的正向系统.由引理2，对任何超有限表现模F，有

证明(1)M是w-弱平坦模，则对每个超有限表现模F，存在正合列

0→G→Fn-2→…→F0→F→0,

(2)与(1)的证明类似. 】

命题8(1)设0→A→B→C→0是R-模正合列，其中C是w-弱平坦模，则A是w-弱平坦模当且仅当B是w-弱平坦模.

(2)设0→A→B→C→0是R-模正合列，其中A是w-弱内射模，则B是w-弱内射模当且仅当C是w-弱内射模.

推论1设M是GV-无挠R-模，则M是w-弱平坦模当且仅当Mw是w-弱平坦模.

证明由文献[1]命题6.2.5(2)有Mw/M是GV-挠模，自然也是w-弱平坦模.由短正合列

0→M→Mw→Mw/M→0

及命题8(1)即可得证. 】

定理1设0→A→B→C→0是R-模w-正合列，其中B是w-弱平坦模.若0→A→B→C→0是w-纯正合列，则C是w-弱平坦模.

弱平坦模的每个纯子模是弱平坦模，弱内射模的每个纯子模是弱内射模[2].w-弱平坦模与w-弱内射模的w-纯子模也有类似的结果.

命题9w-弱平坦模的每个w-纯子模是w-弱平坦的.

证明设A是w-弱平坦模B的w-纯子模，令C=B/A，则0→A→B→C→0是w-纯正合列.由定理1有C是w-弱平坦模，由文献[6]定理3.2有w-正合列

命题10w-弱内射模的每个w-纯子模是w-弱内射的.

HomR(F,B)→HomR(F,C)→0

定义2设M是R-模，记M+=HomR(M,E0)，其中E0=∏{E(R/T):T∈w-Max(R)}是GV-无挠内射模，称之为M的广义特征模.

引理3[23]设P是素理想，M是R-模，则MP=0当且仅当HomR(M,E(R/P))=0.

命题11(1)M是GV-挠模当且仅当M+=0.

(2)M是GV-无挠模当且仅当M可嵌入到E0的一些直积.

证明(1)若M+=0,则

即HomR(M,E(R/T))=0.于是对任意T∈w-Max(R),由引理3有MT=0，即M是GV-挠模.反之，由文献[1]习题6.22可得.

则θ是一个单同态,因此M可嵌入E0的一些直积. 】

由N，F0是超有限表现的及文献[24]引理3.60可知θ1，θ2是同构，因此θ是同构. 】

证明证明类似于引理4，需要用到相伴同构定理. 】

命题12设M是R-模，则以下结论等价：

(1)M是w-弱平坦模.

(2)M+是弱内射模.

(3)M+是w-弱内射模.

(2)⟹(3).由弱内射模是w-弱内射模可得.

命题13设M是R-模，则以下结论等价：

(1)M是w-弱内射模.

(2)M+是弱平坦模.

(3)M+是w-弱平坦模.

(2)⟹(3).由弱平坦模是w-弱平坦射模可得.

推论2在凝聚环R上，以下结论成立：

(1)M是w-平坦模当且仅当M+是FP-内射模，当且仅当M+是w-FP-内射模.

(2)M是绝对w-纯模当且仅当M+是平坦模，当且仅当M+是w-平坦模.

命题14设M是R-模，则以下结论等价：

(1)w-wfdR(M)≤n.

(4)若序列0→Fn→Fn-1→…→F0→M→0是正合列，其中F0,F1,…,Fn-1是w-弱平坦模，则Fn也是w-弱平坦模.

(5)若序列0→Fn→Fn-1→…→F0→M→0是正合列，其中F0,F1,…,Fn-1是弱平坦模，则Fn也是w-弱平坦模.

证明(1)⟹(2).由定义3(i)可得.

(4)⟹(5).由弱平坦模是w-弱平坦模可得.

命题15设R是环，N是R-模，则以下结论等价：

(1)w-widR(N)≤n.

(4)若序列0→N→E0→…→En-1→En→0是正合列，其中E0,E1,…,En-1是w-弱内射模，则En也是w-弱内射模.

(5)若序列0→N→E0→…→En-1→En→0是正合列，其中E0,E1,…,En-1是弱内射模，则En也是w-弱内射模.

证明与命题14的证明类似. 】

命题16设0→A→B→C→0是R-模正合列，若w-wfdR(B)

命题17设0→A→B→C→0是R-模正合列，若w-widR(B)

证明与命题16的证明类似. 】

引理6[17]设M是有限表现R-模，则以下结论等价：

(1)M是w-分裂模.

(2)M是w-投射模.

(3)M是w-平坦模.

(4)对于R的任何极大w-理想T，有MT是自由RT-模.

命题18对于任何n≥0，以下结论等价：

(1)对于所有超有限表现R-模F，有w-sdR(F)≤n.

(2)对于所有超有限表现R-模F，有w-fdR(F)≤n.

证明(1)⟺(2).由引理6及超有限表现模是有限表现模知，当F是超有限表现模时，F是w-分裂模当且仅当F是w-平坦模.

(1)⟺(3).由文献[17]命题3.3可得.

(2)⟺(4).由文献[8]命题2.3可得. 】

设R是任何环，sp.gldim(R)=sup{pdRM:M是超有限表现R-模}称为R的超有限表现维数.

定义4设R是任何环，w-sp.gldim(R)=sup{w-sdR(M):M是超有限表现R-模}称为R的w-超有限表现维数.

引理7[17]设R是环，则以下结论等价：

(1)对任何R-模M，pdR(M)=w-sdR(M).

(2)对任何R-模M，fdR(M)=w-fdR(M).

(3)R是DW环.

定理2若R是DW环，则

w-sp.gldim(R)=sp.gldim(R).

证明由引理7可证. 】

定理3设R是任何环，则

(1)w-sp.gldim(R)≤w-w.gl.dim(R);当R是凝聚环时，w-sp.gldim(R)=w-w.gl.dim(R).

(2)w-sp.gldim(R)=sup{w-widR(M):M是R-模}=sup{w-wfdR(M):M是R-模}.

证明(1)假设w-w.gl.wid(R)=n<∞.设M是超有限表现模，则存在一个正合列

0→Pn→Pn-1→…→P0→M→0,

其中P0,P1,…,Pn-1是有限生成投射模，Pn是w-平坦模.由文献[18]引理2.3知Pn是超有限表现模，自然是有限表现模.由引理6知Pn是w-分裂模，因此w-sdR(M)≤n,即w-sp.gldim(R)≤n.

由于R是凝聚环，所以超有限表现模与有限表现模是等价的.由引理7有w-分裂模与w-平坦模是等价的.此时，w-分裂维数与w-平坦维数也是等价的.结合文献[8]命题3.3即可得证.

(2)由命题18可得. 】

推论3对任何R-模，以下结论等价：

(1)w-sp.gldim(R)=0.

(2)每个R-模是w-弱内射模.

(3)每个R-模是w-弱平坦模.

(4)每个超有限表现模是w-分裂模.

推论3表明，如果R是凝聚环，则可以在w-sp.gldim(R)=0的条件下给出VN正则环的一个刻画.