三维Laplace方程Cauchy问题的拟逆正则化方法及误差估计

熊向团，宋菲菲

(西北师范大学 数学与统计学院，甘肃 兰州 730070)

0 引言

Laplace方程Cauchy问题是一类严重不适定问题，它的解不连续依赖于初始数据，当数据有非常小的扰动时，都将使它的解被无限放大.早在20世纪20年代，Hadamard[1]就对此类问题的不适定性进行研究，因此,必须采用正则化方法获得稳定的近似解，从而解决 Laplace方程Cauchy问题.经典的Tikhonov正则化方法[2-3]、中心差分方法[4]、小波正则化方法[5]、二元Dirichlet核软化法[6]、Fourier正则化方法[7]，以及变分正则化方法[8]等，已经有效解决了 Laplace方程Cauchy问题的不适定性.目前,三维Laplace方程Cauchy问题的研究比较少,2021年，何尚琴等[6]采用Dirichlet核软化法求解三维 Laplace方程Cauchy问题，同时，Khasanov等[9]也对此问题有所研究.

本文在带型区域上考虑问题

(1)

其中u(x,y,z)和φ(y,z)是定义在L2(R)上的函数，要从x=0处的初始数据φ(y,z)来确定u(x,y,z)在x∈(0,1)上的值.

记

(2)

(3)

对问题(1)关于变量y,z作Fourier变换可得

(4)

易得问题(4)的解为

(5)

所以问题(1)的解为

(6)

特别地，由(5)式可得

(7)

1 不适定性分析及拟逆正则化方法

拟逆正则化方法主要对原不适定问题加上一个小的扰动，使得扰动后的问题变为通常意义下的适定问题，从而用扰动后问题的解来构造原不适定问题的近似解，扰动参数即为正则化参数.

本节考虑新问题

其中φδ(y,z)表示扰动数据，α(0<α<1)为正则化参数，δ表示噪音水平.

对问题(8)关于变量y,z作Fourier变换可得

(9)

易得问题(9)对应的正则解为

(10)

由(10)式可得

(11)

则问题(8)的解为

2 先验参数选取下的误差估计

本节讨论三维Laplace方程Cauchy问题在先验参数选取下的误差估计.为了讨论精确解与正则解之间的误差估计，假设精确数据φ(·，·)与扰动数据φδ(·，·)满足

‖φ(·，·)-φδ(·，·)‖≤δ,

(13)

其中‖·‖表示L2(R)空间中的范数，δ表示噪音水平，并且假设存在先验界

‖u(1,·，·)‖≤E,

(14)

其中E是一个固定的正常数.

引理1[10]当0

(15)

证明由Parseval等式和三角不等式可得

(17)

首先估计J1.由(5),(7),(11)式及引理1可知

当取α=δ/E时，有

(18)

其次估计J2.由(10),(11)式及引理1可知

当取α=δ/E时，有

(19)

将(18),(19)式代入(17)式可得

下面讨论x=1时的误差估计，由(5)，(10)，(11)式可知

假设存在一个新的先验界

(23)

(24)

证明由Parseval等式和三角不等式可得

(25)

首先估计J3.由(20),(22)式可知

令

易得

(26)

其次估计J4.由(21),(22)式可知

J4≤2δ1/2,

(27)

将(26),(27)式代入(25)式可得

3 结论

本文采用拟逆正则化方法对原不适定问题施加一个小的扰动，使其变为适定问题，求解得到三维Laplace方程Cauchy问题的正则解，并在先验正则化参数的选取规则下，得到精确解和正则解之间的误差估计.本文只考虑了先验参数选取规则下的误差估计，尤其是给出了x=1处的误差估计，这是本文的创新点,未来可以进一步研究后验参数选取下的误差估计.