浅淡大学物理实验课的授课方式——以玻尔共振实验为例

王伟 谷庆江 闫向宏 赵嵩卿

1.中国石油大学(北京)克拉玛依校区 新疆克拉玛依 834000；2.中国石油大学(华东) 山东青岛 266580；3.中国石油集团渤海钻探工程有限公司工程技术研究院 天津 300457

一、概述

对于极少有机会接触到实验设备的大多数低年级本科生，在实验思想、实验方法、实验技术、实践技能乃至探究精神及创新思维的培养方面，普通大学物理实验课无疑起着极为重要的作用。除了要求学生在实验前认真进行实验预习外，指导教师在课堂上要结合具体的实验仪器、器材，尽可能地对实验原理及所涉及的相关知识内容进行具体化、直观化讲解。对于初次接触系统性实验者更是如此，只有充分理解各实验步骤的操作意义，他们才会心里有底，才有可能对所要进行的实验项目感兴趣，才会对自己所测取的实验数据有信心，才能深刻体会到这些经典物理实验设计的精妙，进而逐渐养成独立分析问题、积极探索新知识的良好习惯。基于此，本文以玻尔共振实验为例，结合多年的物理实验教学工作，就面向低年级本科生的物理实验课的授课方式进行了一些探讨。

二、实验原理及一些常见疑惑解答

(一)实验仪器及实验原理

本次探讨所涉及的实验仪器为玻尔共振仪，如图1所示。

图1 玻尔共振仪实物图

图1中：1为铜质摆轮A，2为短凹槽D，3为长凹槽C，4为光电门H，5为弹簧夹持螺钉L，6为蜗卷弹簧B，7为摇杆M，8为支承架，9为摇杆调节螺丝，10为阻尼线圈K(位于支承架后侧)，11为光电门I，12为角度盘G，13为有机玻璃转盘F上的标记刻线，14为有机玻璃转盘F，15为闪光灯。

该玻尔共振仪的主要结构特点如下，铜质摆轮A，外围分布一圈均匀等分的短凹槽D，通过光电门H来测取短凹槽D的偏转个数(相对于长凹槽C，即平衡位置)而实现对振动幅角的测量(于控制箱液晶显示器上同步显示出当前的测量值，精度为2°)，及通过凹槽切割阻尼线圈K所产生的磁感线为振动系统提供电磁阻尼力矩；比其他凹槽长出许多的长凹槽C，用于振动周期的测量，同时也是振动系统平衡位置的标记凹槽；蜗卷弹簧B，用于为振动系统提供回复力，其质量远小于铜质摆轮A的质量；光电门H，如图2所示，其包含上下两个光电门，其中上光电门用于振动幅角的测量，下光电门用于振动周期的测量；摇杆M，通过电机偏心轮的带动作用而实现对振动系统施加按简谐振动规律变化的强迫外力矩；有机玻璃转盘F，与电机转轴固结为一体，其角频率与强迫外力矩(摇杆M)的角频率时刻相同；闪光灯，在通电的情况下(按下光电门开关时)，长凹槽C每通过光电门H的下光电门瞬间，闪光一次；光电门I用于测取电机的角频率，亦即强迫外力矩(摇杆M)的角频率；有机玻璃转盘F上的标记刻线，通过电机转轴的中心且与电机同步转动，用于测取受迫振动过程振动系统与强迫外力矩之间的相位差。

图2 用于测量振动系统周期及幅角的光电门H的结构

图2中：1为光电门H的上光电门，2为光电门H的下光电门。

若将铜质摆轮偏转一个角度θ后松开，则在蜗卷弹簧弹性回复力矩的作用下，振动系统进入振动状态。如果相对于电磁阻尼力矩，振动系统受到的空气阻尼力矩及铜质摆轮与固定转轴间的摩擦阻力矩等足够小，那么可以认为此时振动系统处于自由振动状态，则有：

(1)

式(1)中：J为振动系统相对于固定转轴的转动惯量，因相对于铜质摆轮，蜗卷弹簧足够轻，J可视为常量，k为蜗卷弹簧弹性回复力矩系数。

给阻尼线圈K接通稳定的直流电流后，在电磁阻尼力矩的作用下，振动系统做阻尼振动，则有：

(2)

式(2)中：b为电磁阻尼力矩系数(理论上，改变通过阻尼线圈的直流电流即可获取无限多电磁阻尼力矩，不过该实验仪器目前只提供3种稳定直流电流)。

启动电机后，固定于电机转轴上的偏心轮通过连杆带动摇杆M做周期性往返运动。由于摇杆的上端通过夹持螺钉与蜗卷弹簧B的末端连接在一起，故而摇杆对振动系统施加按简谐振动规律变化的周期性驱动外力矩，从而使振动系统做受迫振动。若记该驱动外力矩为M0cosωt，则有：

(3)

式(3)中：M0为驱动外力矩的幅值，ω为驱动外力矩的角频率。如图1所示，通过对共振仪构造的分析，可知实验过程中驱动外力矩的幅值M0是恒定的，而角频率ω随电机转速的改变而改变，且二者的大小始终相同，这是该实验仪能够用于研究受迫振动的幅频特性及相频特性的基本前提。这也正是利用控制变量的方法，将多个变量的问题变成单个变量(或多个单变量)的问题，进而实现深入探究各个变量对事物影响情况的通常做法，是科学探究实验过程的一种重要思想方法。

(4)

求解式(4)得：

θ=θ1e-βtcos(ωft+α)+θ2cos(ωt+φ0)

(5)

由式(5)可知，系统的受迫振动可分成两个部分，其中：θ1e-βtcos(ωft+α)表示阻尼振动部分，经过一定时间后，该振动部分衰减至可以忽略不计；θ2cos(ωt+φ0)部分表示在按简谐振动规律变化的强迫外力矩作用下，振动系统稳定后的振动状态。可见达到稳定状态后，受迫振动系统的角频率与周期性的外强迫力矩的角频率相同，且对应的振幅θ2及相位差φ0的大小不变，其中：

(6)

(7)

式(7)中：T0为振动系统的固有周期；T为驱动外力矩的周期。

由式(6)及式(7)可得，达到稳定状态后，振动系统的受迫振动振幅θ2及相位差φ0的大小取决于驱动外力矩的幅值、驱动外力矩的角频率、振动系统的固有角频率及阻尼系数等四个因素，而与振动的初始状态无关[1-2]。

(8)

对应的受迫振动振幅为：

(9)

由式(8)及式(9)可知，阻尼系数β越小，驱动外力矩达到共振时的角频率就越接近于振动系统的固有角频率，系统的共振振幅就越大[3]，而对应的相位差约为90°。

(二)实验过程常见疑惑解答

1.自由振动实验项目

自由振动实验过程，为什么要确保有机玻璃转盘F上的标记刻线与角度盘G上的0°～180°刻线严格对齐，且实验前铜质摆轮A上的长凹槽C也要与光电门H严格对齐？

这是因为转盘F上的标记刻线与角度盘G上的0°～180°刻线严格对齐时，摇杆M的夹持端(即弹簧夹持螺钉L)位于其周期性往复运动的最低点(即驱动外力矩正处于其平衡位置处)，此时处于静止状态的铜质摆轮A上的长凹槽C的位置即为振动系统的平衡位置。而振动系统的周期是通过测取铜质摆轮长凹槽C通过该平衡位置的时间间隔来获取，且振动系统的振幅是以长凹槽C通过平衡位置时刻为起始点，通过光电门H的上光电门测取短凹槽D的偏转个数来获取。另外，受迫振动实验过程中，频闪方法测取振动系统与驱动外力矩之间相位差的实现方式是，在通电情况下(即按下闪光灯按钮)，长凹槽C每通过光电门H的下光电门瞬间，其会接收到一个光信号，从而触发闪光灯闪光；当光电门H位于振动系统的平衡位置时，闪光灯闪光瞬间表示振动系统通过其平衡位置瞬间，此时读取有机玻璃转盘F上的标记刻线(通过漫反射作用而形成一条亮直线)在角度盘G上的角度值，即可获取二者之间的相位差。所以在实验之前，务必保证有机玻璃转盘F上的标记刻线与角度盘G上的0°～180°刻线严格对齐，铜质摆轮A上的长凹槽C也要与光电门H严格对齐。

为何不取多次测量周期的平均值作为自由振动的周期，而要测取自由振动的一系列周期及其对应的幅角(振幅)？

本实验项目的自由振动是相对于阻尼线圈K所提供的电磁阻尼力矩而言的，不是严格意义上的自由振动。因为在振动过程中，振动系统的摆轮A会与转轴之间存在一定的滑动摩擦阻力，也会受到与转动速度成一定比率关系的空气阻力的作用，同时蜗卷弹簧的弹性形变也会消耗一定的能量(如形变热消耗)等。然而，该部分的能量消耗并非定值，其与振动系统的具体运动状态存在密切关系，所以很难对其进行直接测量。但是，相对于电磁阻尼力矩，如果振动系统该部分的能量消耗足够小，即转轴足够光滑、摆轮A的转动速度比较小(空气阻尼力比较小)、相对于摆轮A蜗卷弹簧足够轻且刚度足够好，对此，一种简单的判断方法是，在无电磁阻尼作用的条件下，将摆轮A自平衡位置偏转约160°后松手，若在振幅降至50°的过程中，系统的振动周期达35次以上，则可以认为该振动系统满足上述实验条件，从而可进行实验，否则应先对实验仪器进行必要调整直至满足实验要求。此时，可以将振动系统的无电磁阻尼非受迫振动近似看成自由振动，同时为了提高实验的准确度，应该以相同(或近似相同)的自由振动状态作为参考基准来研究系统的受迫振动，即在相同的影响因素条件下进行实验测量，从而达到尽可能减少实验测量误差的目的。显然，这种做法要优于以自由振动周期的平均值作为参考基准。而振幅是表达振动系统各振动状态最为直观的物理参量，故而实验时先把自由振动的各个振幅及其周期记录下来，然后再根据各稳定受迫振动状态的振幅来选定振幅相同(或近似相同)的自由振动的周期作为参考基准。

为何只测取幅角为50°～160°之间的自由振动的周期？

该实验仪是通过光电门H的上光电门测取短凹槽D相对于平衡位置的偏转个数而实现对幅角的测量，但铜质摆轮A外圈所均匀分布的短凹槽的个数是有限的，即幅角(振幅)的测量精度是有限的(此幅角的测量精度为2°)，因此为减小相对误差，幅角越大越好。然而，幅角越大蜗卷弹簧B的形变也就越大，其回复力偏离线性也就越强，而且空气阻尼力也越大，可见为使蜗卷弹簧弹性回复力矩系数k保持不变，幅角越小越好。故而，在满足实验研究的条件下，振动系统的幅角不宜过大也不宜过小。

2.受迫振动实验项目

幅频及相频特性实验过程中，受迫振动明明已经达到稳定状态，为何闪光亮直线出现的位置会有所偏差？

当受迫振动达到稳定状态后，振动系统与按简谐振动规律变化的周期性驱动外力矩之间的相位差理论上是恒定的，但实验过程中发现两次相邻闪光亮直线的位置并非严格重合。这与频闪法测量相位差的设计特点有关，即在按下光电门开关的情况下，铜质摆轮的长凹槽C每通过光电门H的下光电门瞬间，闪光灯闪光一次，此时通过有机玻璃转盘F上的标记刻线的漫反射作用，在角度盘G的前侧形成一条亮直线。在一个振动周期内，长凹槽C两次通过光电门，但由于长凹槽本身具有一定的宽度，故其对闪光灯的触发作用是存在偏差的。以摆轮作左右摆动为例，由左往右摆动通过光电门时，凹槽C的右边界通过光电门瞬间，光电门接收端接收到光信号，闪光灯导通；而由右往左摆动通过光电门时，凹槽C的左边界通过光电门瞬间，光电门接收端接收到光信号，闪光灯导通。由此可见，两次相邻闪光亮直线所在位置的偏差与长凹槽C的宽度有关。另外，闪光灯导通瞬间也会对实验仪内的电路造成一定的影响，从而对电磁阻尼造成微小影响，这也正是每次受迫振动达到稳定状态后，要求先测量幅角(振幅)和周期，然后再利用闪光灯测取相位差的主要原因。上述原因造成闪光亮直线出现的位置不同，可以通过分别读取两闪光亮直线的角位置，然后取平均值作为相应振动状态的相位差。需要注意的是，此时两闪光亮直线的角度差一般不会大于振动系统幅角的测量精度2°，如果闪光亮直线的角度差大于2°，那么取二者的平均值作为相位差的做法不再适用，此时应重新确定摇杆M的夹持端(即弹簧夹持螺钉L)位于其周期性往复运动的最低点(即有机玻璃转盘F上的标记刻线与角度盘G上的0°刻度线严格对齐)时，光电门H是否与长凹槽C的中心位置严格对齐，而且应对实验设备进行重新调节，直至满足实验要求，方可重新实验。

结语

期待同学们在较为深入理解实验原理及实际实验时如何展开实验研究的基础上，形成较为明确的实验思路，进而激发起对大学物理实验研究的兴趣，逐渐提高自身理论与实践相结合的拓展应用能力的同时，逐渐养成独立分析问题、积极探索新知识的良好习惯。