勾股定理新授课不能上成专家讲座课——从一节“精致”的勾股定理新授课说起

赵红琴

(江苏省南通市紫琅湖实验学校，江苏南通，226000)

1 从一节“精致”的勾股定理新授课说起

最近参加某校公开课教学观摩活动，开设了一节勾股定理新授课，执教老师教龄超过20年，是地级市骨干教师，从教学内容、课件制作等能看出为了准备这节勾股定理的新授课，他们付出了大量的前期备课、磨课的精力．课后有些评课老师大为赞赏，并认为这是一节“精致”的示范课.然而，这样一节“精致”的勾股定理教学更像是一场专家讲座，并没有能达到“带领学生探索未知领域”[1]的勾股定理教学．本文结合一些具体的“精致”教学片断，并给出尝试解读．

“精致”教学片断1：(开课情境)

教师选用的是人教版教材上那则“美丽的传说”，毕达哥拉斯到朋友家作客，发现朋友家地砖图案中反映了直角三角形的三边关系，教师以旁边讲故事的方式，使用PPT渐次出示图1、图2、图3．

图1

图2

图3

通过课堂观察发现，学生听得也很认真和专注，教师“讲故事”的表演能力也很强，让学生有“情境代入感”.适时与学生互动图2、图3中的几个正方形的面积关系，学生积极参与互动、计算，并确认它们之间的数量关系，教师在黑板上列表梳理了三个正方形的面积，对应着的直角三角形三边的平方关系．进而“顺利”发现了直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．

简评：教师通过讲故事的方式切入，看似引发学生兴趣，而且很“顺利”地就引出了勾股定理，然而这种“入迷和兴趣”并不是勾股定理的真正数学味道，而是学生对传说和故事的兴趣，与勾股定理的本质关系不大.看似“顺利”地引出勾股定理，实质是过强的“教学干预”，学生虽然有参与计算面积、发现面积之间的数量关系，但是相对于勾股定理是如何发现的，这些计算或发现数量关系只是思维层次很低的课堂参与．即使学生感觉是自己参与发现了勾股定理，但是这种发现的兴趣和成就感并不大，因为这是教师设置好的精致路径，对于中等及以上学生并没有形成“很大的挑战”．

“精致”教学片断2：(勾股定理的证明)

教师在提出“一般化”思考：是否所有直角三角形的两条直角边的平方和都等于斜边平方呢？还没有等学生思考，就急切的给出PPT上“赵爽弦图”，并继续讲解我国古代“数学史话”，讲授赵爽弦图的智慧与原理，期间偶尔与学生有对话、互动，也只是停留在学生低层次的运算和验证面积关系上.然后证明勾股定理之后，再讲解“为什么在中国叫勾股定理”的数学史话，学生也听得很有民族自豪感．随后，教师连续给出4种不同的勾股定理拼图证明，并让学生参与这些拼图证法的解读，最后链接出“美国总统加菲尔德证法”，还鼓励学生连美国总统都对数学有兴趣，同学们可要好好学习数学之类的即兴评语．

简评：勾股定理的证明关键在于拼图的智慧，在于如何想到这些不同的拼图方式，而拼图之后的计算和验证的思维层次要低很多，人们常常说的“无字的证明”也是这样的道理.即当拼图成功之后，不需给出具体的计算或验证，实质上也就完成了证明．笔者以为，勾股定理的拼图证明(或者说这些辅助线的添加)是难点，也许学情所限，如果不加干预、全部放手学生探究，一节课可能毫无进展，但是并不能认为证明思路太难想到，就全盘托出，只让学生像听学术报告、观看数学史话的纪录片那样，也是不太合适的．

2 对勾股定理新授课的教学思考

2.1 引出勾股定理的教学情境值得再研究

目前人教版、苏科版教材关于勾股定理的引入情境，都采取了“网格背景”，人教版以一段2500年前的传说引出地砖图案(本质上是网格背景)，苏科版直截了当给出的是网格中研究面积关系，从而帮助学生发现直角三角形三边的平方关系．这样做当然有一定的合理性，因为有了网格背景，学生口算、心算面积更快，减少了拼图发现与证明的难度．但是当去除网格背景之后，学生就难想到如何拼图证明，之间“断开距离”还是很大，使得教师又不得不再次给出赵爽弦图，让学生直接读图理解证明．

笔者也曾开展过教学实践，学生拼图得出等腰直角三角形三边之比用时不超过5分钟，但是拼图研究含30°角的直角三角形三边之比，至少要10分钟才能有优秀学生获得成功．这时还要安排这些率先拼图成功的学生上台讲解、展示，这个教学环节至少需要15分钟．一旦这个教学难点得到成功突破，教师再组织后续勾股定理的发现、证明就有了很好的铺垫．比如，将直角三角形的两条直角边特殊化为3，4，如何用拼图方式求出斜边等于5，就可很快完成，并链接着讲解“赵爽弦图”的数学史话，随后直接将三边换成a，b，c，利用面积法得出它们之间的平方关系，从而得出勾股定理．

2.2 讲解勾股定理的数学史话要注意适度

不少数学教师在勾股定理新授课教学时，为了让学生理解勾股定理的博大精深，都会结合PPT选讲一些数学史话、故事传说．勾股定理的教学确实是适合将数学史融入新授教学的，但是要注意适度推介数学史话，且最好选取一些来源可靠的数学史料进行讲解，不要太多的“网传”“传说”来增加勾股定理“神秘”的色彩．特别是，为了弘扬和传播我国传统文化以及古代中国在勾股定理上的贡献，新授课期间可以适当介绍中国古代数学家们利用拼图证明勾股定理的实践与原理，至于西方如毕达哥拉斯学派对勾股定理的探究与贡献，也可以课堂小结阶段进行提及，至于所谓“总统证法”，并不值得大说特说，因为加菲尔德的拼图实际上只是毕达哥拉斯拼图“截去一半”的图形．更多与勾股定理有关的数学史话可以推荐学生课后拓展阅读．

2.3 勾股定理新授课重点不在习题及变式

由于勾股定理的引入、证明都需要较多的教学用时，所以在勾股定理的新授第1课时往往没有太多时间用来开展例题、习题的教学．我们见到的有些勾股定理新授课只用了一半时间就完成新知教学，然后还有一半的时间进行大量勾股定理应用的练习，多是压缩了新知探究、发现、证明的教学用时，是不太合适的．勾股定理的习题很多，变式也很丰富[2]，生活实际问题也不少，这些都可以安排后续2个习题课进行讲评，而不是在第1课时就“匆忙”解题运用．顺便指出，勾股定理的习题繁多，习题讲评训练时宜归类呈现，而不宜杂乱无章．以边长为“3，4，5”的直角三角形为例，训练这个基本图形时，要尽可能多的练习“相关设问”，比如该直角三角形斜边上高将斜边分成的两条线段的长，该直角三角形三条中线、三条角平分线的长等都可以安排学生求解．

要看一个数学教师的基本功，就让他教勾股定理．[3]想来，确实很有道理，勾股定理关联很多数学分支，又富有数学史话，证明方法也很多，教学时如果缺乏明确的主线意识，常常容易“教偏主题”，容易成为过度“精致”的专家讲座课．