林自强,蒋晓云
(1. 来宾市教育科学研究所,广西来宾,546117 2. 桂林师范高等专科学校,广西桂林,5411199)
《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》指出:数学教材为“教”与“学”活动提供学习主题、基本线索和具体内容,是实现数学课程目标、发展学生数学学科核心素养重要的教学资源.[1]教材应有利于全面落实立德树人的基本要求,有利于教师创造性教学,有利于学生自主性学习.
习题是教材的重要组成部分,要提高习题的有效性,科学、准确地把握习题的容量、难度,防止“题海战术”,应开发一些具有应用性、开放性、探究性的问题,解决这样的问题有助于学生的数学学科核心素养提升.[1]因此,在使用教材时,教师应格外关注怎样使用教材以及使用的效果如何,而不是照本宣科,这就要求教师深度解读教材,整体设计习题、例题等课程资源,有意识渗透高等数学的思想方法,助力学生将问题化难为易.
德国数学家菲利克斯·克莱因倡导“高观点下的初等数学”意识,主张在现代数学观点的指导下研究“高数”与“中数”之间的关系.高等数学的思想方法与中学数学相通,甚至有一些已迁移到中学数学中,例如新人教A版教材必修第一册第256页第26题介绍了泰勒公式.
“26.英国数学家泰勒发现了如下公式:
其中n!=1×2×3×4×…×n.
定理1若函数f(x)在点x0存在直至n阶导数,则有f(x)=Tn(x)+ο((x-x0)n),即
ο((x-x0)n).[3]
(1)
用得较多的是泰勒公式(1)在x0=0时的特殊形式[3]:
(2)
把(2)式称为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.在实际的教学中,我们要充分利用教材的资源,可以对该内容作适当拓展.例如,教师可以将泰勒公式在x0=0时的特殊形式交给学生.
当x0=0时,函数f(x)在x0=0有以下麦克劳林公式[3]:
以新人教A版选择性必修第二册教材P89~P99中出现的四个不等式证明为例.
2.证明不等式:x-1≥lnx,x∈(0,+∞).[4]
3.证明不等式:ex>1+x,x≠0.[4]
4.证明不等式:lnx
教学提示:由x-1≥lnx,x∈(0,+∞)⟹x>lnx,ex>1+x⟹ex>x,所以lnx
引入高观点指导的教与学,使相对繁杂的证明过程变得更直观明了,有利于学生娴熟运用于实际解题与变形放缩,发展学生的数学运算、数学建模的素养.在教学中,教师还可以由上述的四个不等式推出与其具有“血缘关系”的七个不等式:
② ln(1+x) 注意到①~④的x取值范围均是在(0,1),事实上,①可以推广为: ⑤ 1+x≤ex(x∈R); 在实际教学中,教师可以通过泰勒公式以及上述推导过程给学生作方向指引,引导学生将其整理、归纳形成结论: (1) 放缩成一次函数:ex≥x+1,ex>x,ex≥ex. 教师在教学中可作提示,但凡含有指数函数“ex”或自然对数“lnx”的不等式,大多数都与教材上不等式(1)~(4)有着密不可分的关联.纵观近年的各地高考中的一些压轴题,频频出现含有“ex、lnx”这两个特殊符号的不等式,令许多考生望而却步.其实,这些压轴题中的不等式,很多都可由⑤~⑦式“繁殖”出来的“蘑菇群”,在日常的教与学中研究透教材不等式1~4及推论①~⑦式,往往会成为破解这类高难度压轴题的突破口. 基于问题情境,快速联系到相关的高观点思想方法,在熟练的基础上便可以快速找到解题的突破点,问题将迎刃而解,给考生带来事半功倍之效.比如,例1~例4为范式,为教师的教提供“模型”,启发教学渗透,起到抛砖引玉之用;为学生的训练大道至简,培养高阶思维,解题思路水到渠成,达成一览纵山小之感. A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b 显而易见c>b>a,故选A. 反思:若学生不用上述解题方法,很难解答此题,尤其是选择题,在高考时间有限的情形下,学生用上面的做法解答能又准又快.而对于水平不一的学生,我们平时的教学到底应该教什么?教到什么程度?如何引导高中阶段的数学学习,才能更好促进学生高阶思维的培养?回观课标,以上问题都得到很好的回答,在内容上设置了必修、选择性必修,还设置选修,让我们深刻理解了“因材施教”的教学原则,但在这个过程中也需要教师们有意识的渗透高观点的教学. 例2(2013全国Ⅱ卷,理21)已知函数f(x)=ex-ln(x+m). (Ⅰ) 设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性. (Ⅱ) 求证:当m≤2时,f(x)>0. 思路:第一问是常规问题,按照“求定义域→求导函数→求导函数零点→列表→结合表格得出单调区间”基本步骤实施;第二问中,首先观察已知条件f(x)=ex-ln(x+m)的形式,使用泰勒公式在x0=0处的特殊形式,其次进行变形、代换、放缩进而证明. 解析:(Ⅰ) 略 (Ⅱ) 由于x-1≥lnx,x∈(0,+∞),用x+2替换x-1≥lnx中的x得x+1≥ln(x+2), 又m≤2,故ln(x+m)≤ln(x+2), 又ex>1+x,x+1≥ln(x+2), 所以ex>1+x≥ln(x+2)≥ln(x+m),即ex>ln(x+m), 进而有ex-ln(x+m)>0,因f(x)=ex-ln(x+m), 故当m≤2时,f(x)>0. 反思:高考试题贯来重视知识覆盖面,但还是有重、难点.总复习中,如果把重、难点内容放在靠后的位置复习,由于消化与体会时间短,那么学生很难深入领会其中的数学思想和数学方法,所以在考试时就不容易做到融会贯通.建议在日常的教学中适当引进高观点的教学,必定达到事半功倍的效果. 例3 (2017全国Ⅲ卷,理21)已知函数f(x)=x-1-alnx. (Ⅰ) 若f(x)≥0,求a的值; 思路:第一问中,因为f(x)=x-1-alnx(x>0),又f(x)≥0,即x-1-alnx≥0,从形式上看是含有“lnx”的不等式,变形为x-1≥alnx(x>0)恒成立.对比“模型”x-1≥lnx,x∈(0,+∞),初步获悉a=1,考生就可锁定目标a只能为一个定值,在具体的求解过程中,对参数a的取值范围进行分类讨论、验算,这具有一定的特殊性,因此要注意特殊点的函数值.第二问充分利用泰勒公式的特殊情形以及其结论进行求解即可. (Ⅱ) 由泰勒公式得x-1≥lnx,x∈(0,+∞), 所以lnx 反思:思维得到训练,将会形成较好的解题素养,能很好地发展学生的逻辑推理,对构建解题思路也是比较敏捷的,学生平时做好相关高观点的定理、公式的记忆,在遇到难题时,就能快速地知道本题的结果,然后利用逆向思维结合高中知识进行求解,考生在解题时就胸有成竹了. 教学要基于学生的“最近发展区”,使得所有学生都有所发展,尽量用好、用活课本或课堂中出现的优质素材资源,教师根据教学目的采取横向或纵向的变式、深度挖掘、多设台阶、小坡度推进,渗透高观点的知识,以期在探究的过程中把学生思维逐步引向深入,达到“螺旋上升”的效果.至于最终落点高度,应该以追求最大化的效益为原则,即以学生能够切实达到的课标要求内的最高落点为佳. 高观点的指导教学,要真正做到和学生的思维无缝对接,通过教师引导,师生共同探究,最终目的是使学生探究感悟数学的精髓,培养学生分析问题和解决问题的能力,提升学生的数学学科核心素养,进而培养学生高阶思维.学生的数学思维得以提升了,考生娴熟解答高考数学压轴题必将是顺理成章,那么对于拔尖学生的培养也就会功到自然成.2.3 真题解题实践——示范泰勒公式指导具体解题
3 结束语