立足基础 回归教材 引导教学——以2022年安徽省中考压轴题为例

安徽省合肥市望湖中学 魏大付 纪振军 (邮编：230051)

《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《课标2022年版》)指出，学业水平考试要“坚持素养立意，凸显育人导向”.2022年安徽省中考数学第23题用“基于建模的二次函数问题”压轴，体现“立足基础，源于教材，联系实际，突出能力，强调应用，着意素养”的命题思路.试题以教材习题素材为蓝本进行综合、创新、改造，引领教师在教学中要注重对教材内容的理解以及在理解的基础上的适度拓展，既提升教材的价值，又拓展学生的思维，培养学生的能力,发展学生数学素养.以该题为例，分析试题立意，进行解法探究，感悟用好教材的方法.

1 真题呈现

如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米.E(0，8)是抛物线的顶点.

图1 图2 图3(方案一) 图3(方案二)

(1)求此抛物线对应的函数表达式；

2 试题的立意解读

2.1 考查基础，学生各有所获

2.2 能力立意，着意数学素养

《课标2022年版》指出，以核心素养为导向的考试命题要适当提高应用性，注重创设真实情境，提出有意义的问题，实现对核心素养导向的义务教育数学学业质量的考查.本题第(2)(Ⅱ)以矩形为背景，融计算、推理于一体，层次分明，是一道新颖，设计巧妙的好题.试题以能力立意，重在考查学生的逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模、应用意识、创新意识等方面的数学核心素养.

2.3 以生为本，凸显人文关怀

义务教育数学课程具有基础性、普及性和发展性.数学教育以生为本，面向全体，不同的学生在数学上得到不同的发展.基于“双减”“疫情”背景下的第23题的基础性、普及性和发展性得到了很好的体现，凸显人文关怀.以学生熟悉的教材练习题呈现第(1)问，起点低、难度小、得分易，有效减轻学生的恐惧和焦躁情绪；结合矩形的周长、面积等相关知识，设计了第(2)问，自然生成，兼顾基础性、普及性和发展性；最后利用前述知识解决问题，着力考查学生的核心素养,侧重于发展性.

3 试题的解法探究

第(1)问的解法

第(2)问解法

解法1

解法2

方案一设P2P1=n，P2P3=k，矩形P1P2P3P4面积为S，根据题意得

方案二设P2P1=n，P2P3=k，矩形P1P2P3P4面积为S，根据题意得

4 教学导向

4.1 教学目标指向核心素养

以发展学生核心素养为目标的数学教学，要注重建立具体内容和核心素养的关联.教学中，以(沪科版)第21章“二次函数与反比例函数”第38页练习第1题素材为母题，引导学生从客观事实出发，构建二次函数模型，通过对实际问题的研究，体会建模的数学思想；经历将实际问题抽象为数学问题，并利用二次函数图象和性质解决问题的过程，体会转化和数形结合思想，培养学生数学应用意识，激发学生学习兴趣，突出数学来源于生活而服务与生活.再引导学生发现问题、提出问题的同时，会用数学的眼光观察现实世界；在分析问题的同时，用数学的思维思考现实世界；在用数学方法解决问题的过程中，会用数学的语言表达现实世界.

4.2 教学内容注意整体关联

为实现核心素养导向的教学目标，既要整体把握教学内容之间的关联，还要把握教学内容主线和相应核心素养发展之间的关联.教学中引领学生通过数学的眼光从现实世界的客观现象(隧道截面)中发现数量关系与变化规律，提出并抽象出刻画两个变量之间关系的函数模型——二次函数，形成二次函数概念、关系与结构，在二次函数单元整体的学习中，逐步养成从数学角度观察现实世界的意识与习惯，发展好奇心、想象力和创新意识.通过数学的思维，理解二次函数概念的发生与发展，理解函数、一次函数、二次函数、正比例函数之间的联系；能够合乎逻辑地解释分析、解决简单的数学问题和实际问题；在探究自然现象或现实情境所蕴含的数量关系与变化规律，经历函数“再发现”的过程；发展质疑问难的批判性思维，形成实事求是的科学态度，初步养成讲道理、有条理的思维品质，逐步形成理性精神.

4.3 教学方式要适切

数学教材为学生的数学学习活动提供了学习主题、知识结构和基本线索，是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源.教材的练习题往往是经过千挑万选的经典问题，具有典型性、示范性，可延展性.本题以教材练习题素材为母题，从结论、图形结构等探究、联想、延伸拓展.既体现考试公平，又考查教学效果，即关注“双减”“疫情”，又关注《义务教育数学课程标准(2022年版)》，具有鲜明的教学导向.启示教师关注教材，创造性地使用教材，充分发挥教材的教育功能作用.教学中，以“二次函数应用”作单元整体教学设计，从抛物线形隧道问题情境出发，引导学生从中抽象出数学问题，并利用二次函数图象和性质解决问题，培养学生数学建模和数学应用意识.引导学生关注生活中的数学，关注身边的数学，促进学生形成学数学、用数学、爱数学的意识，进一步体会数学来自于生活,服务于生活.

4.4 素养提升要关注“四基”“四能”

5 结束语

中考试题常是以教材例题、习题素材为“背景”，经命题专家的巧妙构思编拟而成的，源于原题，又高于原题.启示教师在教学中，充分发挥教师的教学智慧，遴选教材中内涵丰富的典型例、习题，引导学生努力探索问题的生长点，多角度探究与联想，变式与拓展，挖掘内在的教学价值，发挥其辐射功能，激活数学思维，通过解题与联想把蕴含其中的数学思想方法揭示出来，挖掘出隐含问题的本质属性，积累解题经验，掌握解题方法，提高解题能力.