指向数学建模素养的教学研究——以“三角函数的应用”为例

江苏省无锡市第一中学 黄 荣 (邮编：214031)

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》强调应用数学解决实际问题，将数学建模作为发展数学素养的重要课题[1]．本文以“三角函数的应用”一课为例，谈谈关于培养数学建模素养的教学思考．

1 内容分析

作为刻画周期变化规律的一种重要模型，三角函数模型具有广泛应用，是培养数学建模素养的优良载体．“三角函数的应用”是三角函数概念、图象和性质等知识的应用和自然延续．本节以物理模型引入，创设真实情境，呈现丰富多样、富有思考性的案例，通过数学建模与探究活动，培养数学应用能力，提升数学建模素养；还可以反过来促进对三角函数相关知识的理解和运用，并为学习回归分析作必要铺垫．

2 目标分析

基于对课标和教材的研读，将本节课目标定位如下：

(1)能将周期变化的实际问题抽象为三角函数模型，并用三角函数知识解决问题；

(2)经历完整的数学建模过程，明晰数学建模解决问题的基本流程，体验三角函数的应用价值，感悟数学与生活的关联性；

(3)经历用y=Asin(ωx+φ)刻画弹簧振子振动的过程，了解振幅、频率、初相、相等概念；

(4)进一步完善对三角函数概念的理解，初步体会回归分析的思想．

3 教学问题诊断与对策分析

诊断学生可能遇到的主要问题，并提出相应的教学对策，具体如下：

(1)面对复杂的实际问题，学生在心理上存在畏难情绪，在数学思维上也存有障碍．教学时要创造民主宽松的课堂氛围，创设贴近学生的真实情境，拉近学生与数学的距离，消弥畏难情绪；其次要深度分析学生的认知障碍，在思维的最近发展区搭建必要的脚手架，以求突破疑难，提升学习信心．

(2)物理背景知识滞后于数学内容，导致学生不易理解简谐运动的相关物理概念．首先，应当尊重教材，简谐运动是三角函数模型的经典案例，不能回避；其次，杜绝照本宣科，应结合三角函数概念将简谐运动背后的数学原理讲清讲透，不妨用圆的投影去思考，既减轻认知负担，又契合本节课的主题．

(3)学生惯于固守“构造直角三角形”的初中方法，不能正确运用三角函数的概念构建数学模型．如果一味灌输“建系，构建三角函数”的解题套路，只是强化记忆模仿，无助于理解三角函数的概念．可结合具体案例(如弹簧振子和摩天轮)，让学生经历暴露思维的过程，从而凸显建系运用定义的优势，完善对三角函数概念的建构．

4 教学流程设计

4.1 创设情境，引入新课

情境通过之前所学，我们知道三角函数是刻画周期现象的一种重要函数模型．生活中很多现象都可以用三角函数模型来刻画．

问题尝试列举一些能用三角函数模型刻画的周期现象．

学生活动举例如心电图，声波，潮汐，摩天轮．

设计意图引导学生思考发现身边的三角函数模型，感悟三角函数的应用价值，激发学习兴趣，明确学习目标．

4.2 物理情境，建构概念

情境物理中物体作简谐运动(如单摆、弹簧振子振动)，是一种来回往复的周期运动．如图1，弹簧振子在竖直方向振动，O为平衡位置，规定向上偏移的位移为正，设到达最高点C时位移最大值为A．

图1 图2

问题如图2，点P作匀速圆周运动，角速度ω rad/s，根据物理知识，弹簧振子的振动可以看做点P在直线l上的投影．设从P0开始记时，尝试求出相对于平衡位置的位移y关于时间t的函数关系．

设计意图教材呈现振幅、频率、初相和相等物理概念较为直接，但鉴于学习本节内容所需的物理知识相对滞后，因此不宜照本宣科．通过画图结合匀速圆周运动的投影进行解释有两个作用．一是数形结合，使得相关概念易于被学生接受；二是温故知新，巩固三角函数的概念，为后面建模作了铺垫．

4.3 已知模型，直接用模

例1无锡作为历史文化名城，风景秀丽，春秋季为旅游黄金季节．某天0-16时气温变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0，ω>0)(函数图象如图3所示)．

图3

(1)求出这段曲线的函数解析式；

(2)求x=12h时的气温；

(3)什么时间段温度不低于30℃．

设计意图本例已知问题符合三角函数模型，“用模”即可，即直接利用三角函数图象求出函数解析式，再解决其他两问，问题相对简单，旨在通过学生的亲自运算，培养数学运算能力，初步感悟三角函数的应用．

4.4 未知模型，探究建模

例2“太湖之星”水上摩天巨轮耸立于无锡市蠡湖北岸，“太湖之星”半径为50 m，点O距水面的高度为65 m，摩天轮逆时针做匀速转动，每18 min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处P0．

(1)将点P距离水面的高度z(单位：m)表示为时间t(单位：min)的函数；

(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离水面高度超过90 m？

图4

设计意图本例需要学生“建模”，通过解决真实问题，让学生经历完整的数学建模过程，体悟三角函数模型解决问题的有效性．解决此类问题学生常犯两个错误：一是惯性思维，习惯于不建坐标系，依赖图形利用几何关系求出高度，但是这样做需要分类讨论，不适宜；二是先入为主，默认z和t满足z=Asin(ωt+φ)+b.在教学中，教师要应引导学生认识到不建系的弊端，通过分析、比较，引导学生打破惯性思维，回归三角函数的定义，并对z和t满足z=Asin(ωt+φ)+b的理由予以分析说明，培养思维的严密性．

例3货船一般在涨潮靠近码头卸货，在落潮时返航．下面为某港口时刻与水深的关系表．

时刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深/m5.07.55.02.55.07.55.02.55.0

(1)选用适宜的三角函数近似描述水深与时间的函数关系；

(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4 m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙(船底与水底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能待多久？

探索你还能提出什么有意义的问题吗？

师生活动学生自主建构函数模型计算求解，教师巡视点拨．

设计意图本例源于教材“应用与建模”，属于提高性要求，以表格形式呈现数据，开放性增强，需要学生通过观察、画散点图等方法自主选择适宜的三角函数模型，进而拟合建模解决问题，不仅进一步体验了完整的建模过程，也为今后学习回归分析作了铺垫．

4.5 课堂小结，提炼升华

(1)一个基本核心：构建三角函数模型解决实际问题．

(2)两种建模方法：运用三角函数定义，运用数据拟合．

(3)三大数学思想：数形结合，回归定义，函数方程．

(4)引申拓展：查阅资料，进一步了解三角函数的应用(提供课外读本)．

设计意图提炼学习重点，形成知识方法的脉络体系，鼓励学生用发现的眼光，探寻三角的应用，感悟数学的美妙．

5 指向数学建模素养的教学思考

5.1 创设真实情境，培育建模意识

数学建模是针对现实问题，基于数学视角发现问题、分析问题和解决问题的过程．因此对于数学建模的教学，要注重精心创设贴合学情的真实情境，逐步培育建模意识．比如本节课的“太湖之星”摩天轮情境，既可激发学习兴趣，又有思维挑战，让学生切实感悟到数学源于生活又用于生活．此外，对问题情境的设计还要具有一定的层次性，如本节课的三个案例，气温问题、摩天轮问题、港口水深问题，从“直接用模”，到“定向性建模”，再到“开放性建模”，逐层深入，各有侧重，通过让学生解决不同类型、不同层次的问题，在思维碰撞中培育建模意识，形成建模素养．

5.2 化解认知疑难，提升建模能力

数学建模的教学要基于对学情的诊断分析，着力化解认知疑难，让学生将更多时间集中于建模本身，从而提升建模能力．高中三角函数的概念与初中有着本质不同，打破固有思维并非易事，所以建构和完善三角函数的概念应该贯穿于整个单元．本节课通过弹簧振子和摩天轮两个案例自然地渗透了三角函数的概念，从而化解了认知疑难，培养了建模能力．

5.3 融入信息技术，增强建模实效

融入信息技术，增强数学建模的实效性，是信息化时代数学建模教学的必由之路．其一，利用信息技术可以创设丰富多彩的生活情境，有助于激发学习热情，如本节课利用PPT展示“太湖之星”摩天轮，抓住学生眼球引入问题；其二，利用信息技术可以构建形象的直观情境，有助于揭示问题本质，如本节课利用几何画板展示弹簧振子的振动，让陌生抽象的简谐振动变得直观可感、易于理解；其三，利用信息技术可以绘制图形、处理数据，有助于节省时间，让学生从事更有价值的观察、思考和探究活动[2]，如本节课利用GGB拟合港口水深关于时间的曲线．

5.4 加强知识整合，探索项目建模

真实问题具有现实性、综合性、复杂性等特征，会涉及跨单元的知识内容，如本节课中，牵涉数据处理、函数拟合等知识，可根据学情作必要铺垫．更进一步，数学建模还会牵涉跨学科知识，如简谐运动具有明显的物理背景，气温、港口水深问题则涉及地理学科，势必就要打破学科壁垒，加强知识整合[3]，实施跨学科的项目化建模教学，如此才能让数学建模走向更深处，这将是今后数学建模教学需要积极探索的方向．