基于大概念的高中数学单元整合教学设计——以复数乘法为例

安徽省涡阳县第四中学 杜志伟 (邮编：233600)

1 问题提出

受高考压力和传统观念的影响，目前高中学生在数学知识的学习上普遍存在“散”“低”“浅”的现象，即学生很少在一个连续的整体中建构知识，知识学习过于零散；教师很少从高层次去理解学科知识；学生对形式化和符号化知识的学习上不够深入，不理解其背后的逻辑依据和思想方法.[1]新课程改革背景下如何改变并落实核心素养，以大概念为统领的单元教学应运而生.

《普通高中数学课程标准》指出落实核心素养，需要更新教学内容，优化知识结构，重视以学科大概念为核心，使课程内容结构化.”因此，基于大概念的教学旨在启发学生用联系的观点看待问题，帮助学生感受数学的整体性，从而促进学生数学核心素养的发展.复数是一类重要的运算对象，有广泛的应用.数系从实数扩充到复数，保持了实数系的运算律，普通高中人教版教材(2019版)在处理这部分内容时，直接给出乘法法则，让学生类比多项式的乘法理解复数的乘法运算，实际教学中，教师也是重计算轻理解，这样导致学生没有理解数系扩充的真正意义，因此，有必要以学科大概念为核心，设计单元教学，帮助学生整体建构知识，掌握扩充数系的“规则”.

2 大概念及其提取

大概念(big idea)又译作大观念.大概念的研究可以追溯到布鲁纳对于教育过程的研究，布鲁纳强调教师无论教授哪类学科，都要使学生理解该学科的基本结构，有助于学生解决课堂内外所遇到的各类问题.数学学科大概念理解为能反应数学学科本质，能将数学关键思想和相关内容联系起来的原理、思想或者方法.数学学科大概念既可以是处于学科中心地位的“核心概念”，如集合，函数的单调性，向量等；也可是“学科思想方法”，如化归思想，极限思想，数形结合思想，坐标法等.

课程标准在课程内容部分不仅说明了学生需要掌握的知识和达到的能力，而且提供了学生掌握这些知识和达到这些能力的途径，即利用的思想和方法.如在函数部分，通过研读课程标准，可以提炼出“数形结合”“函数模型”“类比学习”等大概念.通过深度理解教材，发现连接知识的纽带，如三角函数一章，可以提炼出“从特殊到一般”“周期性”等大概念.如何论证所提取的大概念的合理性，可以围绕大概念设计三个问题：大概念能体现学科核心素养吗？大概念能有效串联教学内容吗？大概念能促进学生的深度理解和终身发展吗？

3 基于大概念的单元整体设计

单元教学设计是以教材为基础，用系统论的方法对教材中“具有某种内在关联”的内容进行分析、重组、整合并形成相对完整的教学单元的教学设计[2].如何整合“具有某种内在关联”的内容，国内外很多专家把目光聚焦在了学科大概念，以大概念为锚点，分析数学知识的结构，研究数学知识的本质.如何围绕学科大概念开展单元教学设计，借鉴刘徽教授的研究成果，本文将基于大概念的单元教学设计分为四个环节：教学要素分析，教学目标确定，核心问题设计，反思与评价.

图1 基于大概念的单元教学设计流程图

图2 基于大概念的单元教学目标

3.1 教学要素分析，提取学科大概念

教学要素分析主要是指对课程标准和教材的研读，对学情的准确分析.《普通高中数学课程标准》指出，本单元的学习，让学生理解引入复数的必要性，了解数系的扩充，掌握复数的表示、运算及其几何意义.具体内容包括：复数的概念、复数的运算、复数的三角表示.本章内容突出几何直观和代数运算之间的融合，重点让学生感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解，从而培养学生数学运算和直观想象素养.

普通高中人教版教材(2019版)在编排时把复数置于三角函数和平面向量之后，旨在强调复数的“关联性”，复数是沟通代数和几何的重要桥梁，特别是复数的乘法将复数、平面向量和三角函数三者紧密相连，复数的三角表示在复数体系中有极为重要的地位.在思想方法上，教材重在引导学生梳理已学的从自然数系逐步扩充到实数系的过程和方法，用类比的方法让学生体会实数系扩充到复数系体现的数系扩充的“规则”：数系扩充后，在复数集中规定的加法和乘法都满足结合律，乘法对加法满足分配律.

学生经历了初中到高中，初步培养了数学抽象和逻辑推理的能力.由于复数的三角表示属于选学内容，教材在编排上，复数乘法没有像加法一样从代数运算到几何解释整体设计，这样势必影响学生整体建构复数的运算体系，同时在一定程度上影响学生体会数系扩充“规则”的合理性.综上考虑，类比复数加法的学习，笔者将复数的乘法运算和几何意义整合成一个小单元，将数系扩充“规则”作为大概念进行单元教学设计.

3.2 大概念引领，确定教学目标

教学目标是教学设计的核心，它是制定教学策略和实施评价的依据.根据威金斯的“逆向”教学设计三步骤，教学设计首先要明确预期结果，我们的课堂应该围绕预期要达到的结果展开，而不是我们所擅长的教法和活动[3].课程标准和学科核心素养已为单元目标的确定提供了纲领，教师需借助大概念的网状结构，进一步细化教学目标，明确为“理解”大概念学生所需的知识和技能，理解即形成并建构完整的概念体系.

3.3 设计基本问题，理解大概念

大概念的理解不是一蹴而就的.首先要绘制概念图，逐层分解大概念，形成概念群，以确定概念间的层次与关系.围绕数系扩充“规则”的子概念有复数的加法及几何意义、多项式的乘法、复数的代数表示、三角函数、复数的三角表示、变换.其次要设计基本问题，基本问题是学科知识的核心，是学习核心内容必须解决的问题，它能激发学生对更多问题的深度思考，并对已有经验进行反思，让学生主动与先前知识产生有意义的联系进而为知识的迁移创造机会.基本问题具有明确的指向性和驱动性，指向大概念的理解和掌握，驱使学生锻炼理解大概念所需要掌握的知识和能力，最终发展其数学核心素养.

问题1回顾复数的加法及其几何意义.

追问1实数有乘法运算，猜想复数有没有乘法运算？

追问2猜想复数乘法的运算法则和几何意义？

设计意图实数系扩充到复数后，必定会有加、减、乘、除运算，由于减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算，所以复数的加法和乘法运算是重点要研究的内容.首先，师生需要思考的是能否类比复数加法的学习方式来学习乘法运算，答案是肯定的，但是又有不同；其次是教师要引导学生产生认知困惑，即复数的乘法不能用向量来解释，激起学生的求知欲.

问题2你是如何理解教材中对复数乘法法则的规定的？

追问1你在什么地方也遇到过这样的“规定”？

追问2这些数学“规定”在某种程度上有没有共性？

设计意图从小学到高中学生经历了多次“数学规定”，如0乘任何数都等于0，a0=1，空集是任何集合的子集，如何将这些数学“规定”联系起来，帮助学生发现这些数学“规定”的共性和合理性，是本节课的教学难点.学生畅所欲言后，教师可作适当归纳总结.数学课程中的“规定”具有一定的思想性：(1)确定性，如函数定义中的“确定性”是为了让函数模型符合实际，质数不包含1是为了让任何一个合数分解成质数的形式是唯一的；(2)辩证统一：在数系扩充的过程中，要让新的运算符合相应的规律或者规则，不能仅仅凭自觉判断，如无理数的有理数指数幂运算遵循整数指数幂运算法则，规定20=1而不是0，是因为20=22÷22.

问题3请探究复数乘法是否满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律？

追问1实数的乘法是否满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律？

追问2你将如何证明复数乘法的运算律的？

追问3结合实数和复数乘法运算律，感受课本上的数学“规定”有什么好处？

设计意图探究复数乘法满足的运算律是研究一类新运算的必经之路，课本通过探究题的方式，引导学生发现并证明复数乘法的运算律.学生通过探究，不仅可以感受复数乘法的运算，同时感受复数乘法和实数乘法具有一定的一致性，从代数形式上就可以将实数的乘法纳入到复数的乘法当中.在探究这个问题的过程中，教师要做好引导.以乘法的交换律证明为例，首先引导学生要做什么，即证明对任意的z1，z2，z3∈C，等式z1·z2=z2·z1是否成立？其次，教师应就其中某一等式为例，引导学生尝试证明，并予以示范.学生在证明过程中，将体会到复数的乘法要依托实数的乘法，同时这种严密思维的训练将为大学线性代数的学习打下基础.

问题4复数乘法的几何意义是什么？

追问1复数的乘法与向量有没有关系？请说明原因.

追问2对于数列1,x,-1，你能否找到一种运算，将1转变为x，再将x转变为-1？

追问3你觉得复数的乘法与什么有关？

问题5你能不能引进新的量来表示复数和复数的乘法？

追问1设复数z满足|z|=r，∠xoz=θ，求复数z.(将复数z写成a+bi的形式)

追问2已知z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)，求出z1·z2.

追问3用图形来表示追问2中的z1·z2

追问4复数的乘法的几何意义是什么？

追问5设复数z满足(1+i)z=2i，求|z|.

3.4 评价与反思，落实大概念

目前，课堂教学改革在逐渐重点关注“教学评”一体化设计，大概念为中心的单元教学评价以形成性评价为主，根据教师设计的表现性任务，重点关注学生思考过程、行为表现和情感态度，即什么证据能表明学生或协作小组已经深入思考了这些问题，并表现出积极修订、积累经验的倾向[4].在单元教学设施之后，教师要根据评价的结果对单元教学设计进行修改，如大概念及小概念的确定，教学目标的确定，基本问题的设计，课时的规划等，同时借助团队的力量进行交流和相互借鉴.

4 小结

史宁中教授说：“培养学生的数学核心素养，一是要改变教学设计思路，二是教学的设计与实施，要特别重视情境与问题.[5]”以大概念为核心的单元教学设计的主要特征是关联性和整体性，数学知识之间具有严密的逻辑关系，而且这种关系是一种具有层次的网状结构，以教材为主的单元(章节)和以发展学生核心素养为目的重组的“大单元”，在一定程度上能帮助学生探究数学知识间的关系，从而建构知识体系.何以组织单元教学，需要能以学科大概念为锚点，不仅能在横向上精选知识，完善知识结构，而且在纵向上能促进小初高的衔接.在复数乘法的单元教学设计中，以扩充数系的“规则”作为大概念，将从有理数到实数的扩充过程中的思想方法应用到本单元中，同时复数的乘法又将复数的几何意义、复数的加法和三角表示串联起来，促进学生整体上建构数学知识体系.