基于主题 建立结构化的数学知识体系——以“方程与不等式”为例

安徽省合肥市第四十六中学南校区 叶 菊 凤 斌 (邮编：230601)

合肥师范学院数学与统计学院 赵玉华 (邮编：230601)

1 课标要求

教育部制定的《义务教育数学课程标准》(2022年版)指出，制订教学目标要“全面分析主题、单元和课时的特征”，先基于主题分析设计单元整体教学的目标，再围绕其进一步细化课时教学目标.要注重将教学的内容结构化，从而帮助学生建立起能“体现数学学科本质”的、“对未来学习有支撑意义”的、“结构化”的数学知识体系.

要促进学生核心素养的发展，就绕不开推进单元整体教学，为了更好地推进单元整体教学，就应该站在主题的高度，从主题分析开始.也就是说单元整体教学的起点不应该局限于“单元”，而应该是“主题”这个更大的结构基石.

2 主题分析

义务教育阶段的数学课程的四个学习领域(数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践)的内容是按照不同学段逐渐展开的，每个学习领域又分为若干小主题，循序渐进、由浅入深、螺旋上升地分散在一些章节进行教学实施，这样做当然更符合不同阶段学生的认知水平和学习能力，但这种安排方式必然会将主题教学人为地割裂开来，不利于整体把握教学内容之间的关联，所以在单元整体教学设计前需要进行主题分析.

按照“主题—单元—课时”的顺序，先明确“主题”的知识内容、核心素养的主要表现，再依据核心素养在不同学段的表现进行“单元”整体教学设计，最后将单元目标细化落实到每个“课时”的教学活动环节.站在“主题”的高度整体设计，再分步实施，可以最大程度地发挥核心素养导向对整个教学活动各环节的指导，可以促进学生对数学知识的整体把握，对数学的深刻理解，促使知识、核心素养同时进阶.

以“数与代数”这个领域为例，在义务教育的第一学段(1-2年级)、第二学段(3-4年级)、第三学段(5-6年级)的主题都是2个，分别为数与运算与数量关系.义务教育的第四学段(7-9年级)，这个领域的主题有3个，分别为数与式、方程与不等式和函数.(如图1所示)

图1

下面以其中的“方程与不等式”这个主题为例，进行主题分析.

2.1 主题分析要“瞻前顾后”

主题分析，要回望小学、展望高中甚至大学，也就是要“瞻前顾后”、纵向分析，“瞻”先行组织者，“顾”后继研究对象.学生小学什么时候接触过方程与不等式？学习到什么程度？将来还会学习哪些方程与不等式相关的知识？在初中阶段学习方程与不等式可以达成学生哪些核心素养的培养？将方程的来龙去脉厘清楚，才能形成结构化的系统.

在小学“方程与不等式”是在“数量关系”这个主题中呈现的，而到了初中“方程与不等式”是个独立的主题.小学五年级(本文小学课本均以苏教版为例)下册，学生首次接触“简易方程”，学习了方程的概念，会借助天平理解等式的性质，会解简易方程，会列方程解简单的应用题.在方程概念的过程中，通过天平，还学习了不等式的表示.在高中研究函数和圆锥曲线性质的时候经常需要借助方程和不等式来解决，必修1第二章是一元二次函数、方程和不等式，学习了一元二次不等式、二元一次不等式(组)、基本不等式的相关内容，以及圆锥曲线与方程.

2.2 主题分析要“左顾右盼”

“左顾右盼”是指要关注横向知识之间的融通，方法的类比和迁移.初中阶段的方程和不等式的教学，应当把握方程和不等式的整体性，要让学生经历对现实问题中数与量的分析、借助未知数去表达数与量之间关系的过程，让学生知道方程和不等式是建立实际问题中的等量关系或不等关系(含未知数)的一种数学表达方式.一元一次方程的研究方式可以迁移到二元一次方程(组)，二元一次方程组的解法可以迁移到三元一次方程组.不等式基本性质可以类比等式基本性质，一元一次不等式与不等式组的解法可以类比一元一次方程的解法.这也是为什么初中把方程与不等式作为一个主题的原因，主要是因为它们的数学本质和研究方式的一致性，所以在教学时这个主题应该把握相等关系和不等关系中的联系与差异.方程模型和不等式模型都是常量学习中的基本模型，对初中阶段“函数”等主题的学习也有很重要的工具作用.

3 设计示例

下面以沪科版七年级上第三章《一次方程与方程组》的第一节《3.1一元一次方程及其解法》第一课时为例，谈谈基于主题分析的新授课教学.这节课是“方程与不等式”这个主题在初中的起始课.

站在“方程与不等式”这个主题上来思考一次方程这个小单元的教学，会发现“方程与不等式”揭示的是数学中最基本的数量关系(相等和不相等)，是在数学中和实际生活中广泛应用的工具.方程和方程组相关的学习内容本身很重要，其蕴含的模型观念、方程的研究方法更为重要.从实际问题中建立模型、解决模型、验证解的正确性，形成模型观念；关注代数推理中的逻辑性，学会有理有据地表达，学会思考的有序性；在较为复杂的过程中提高学生发现问题、提出问题和分析问题、解决问题的能力，都是这个主题中要切实落实的核心素养.

3.1 主题分析导图

七年级我们已经学习了第一章有理数、第二章整式，学习了它们的哪些内容？

这些其实是初中数学“数与代数”领域的第一个主题“数与式”中的内容，当然，后面我们还会继续学习其他的内容，第二个主题“方程与不等式”，第三个主题“函数”.

今天，我们开始学习方程.

意图上课伊始，回顾前两章的内容，归入“数与代数”的“数与式”这个主题，体会同一主题中数与式研究方法的一致性，并引出新的主题“方程与不等式”.让学生明晰所研究的内容所属的领域和主题.

3.2 问题情境

问题1一位同学的年龄是12岁，老师的年龄减去24就是该同学的年龄，请问老师的年龄是多少？

问题2一位同学今年12岁，老师今年36岁，问再过几年，老师的年龄是这位同学年龄的2倍？

问题3今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？(《孙子算经》)

过程依次解决以上3个问题.问题1，用算式和方程解决难易程度差不多，两种方法会都有同学选择.问题2，用方程明显优于用算式，多数同学会选择列方程解决.问题3，小学是假设都是鸡或都是兔子，用算式解决，这种方法无论是理解上还是列式计算上，都是有一定难度的.现在再解决这个问题，学生会首选列方程.有可能设一个未知数，也有可能设两个未知数，列出的方程可能是整式方程，也可能是分式方程.

预设此环节可列式：

意图从问题1到问题2、问题3的解决过程，逐步让学生感受方程在解决某些实际问题中比算式更优越，体会学习方程的必要性.问题2设一个未知数，可以列整式方程或分式方程.问题3，可以设一个未知数(方法不唯一)，列一元方程，也可以设两个未知数，列二元方程.这一环节为寻找方程的共同点，从而归纳一元一次方程的概念提供了素材，同时此处预设出现的分式方程、二元方程，为“方程”这个主题的教学提供了素材.此环节让学生从整体上对不同类型的方程有初步的感受.

3.3 新知建构

问题(把上个环节中的一元一次方程圈出来)圈出的这几个方程有什么共同特点？

过程通过生生互动、师生互动，共同归纳出“一元一次方程”的概念.教师解读“元”“次”的含义.

辨析判断下列式子是否是一元一次方程，并说明理由.

过程师生共同依次辨析.(1)是一元一次方程；(2)不是，有2个未知数，是以后要学习的二元一次方程；(3)不是，是以后要学习的一元二次方程；(4)不是，不是整式方程，是分式方程；(5)不是，不是方程，是整式.

意图通过学生找圈出方程的共同点，并用碎片化的文字描述，后师生共同逐步规范，最终得到一元一次方程的概念，让学生经历概念形成的过程，并在此过程中学会对方程分类的方法.归纳概念后进行辨析，加深对概念理解的过程中，借助一元一次方程命名的方式对其他的方程初步命名，对“方程”的类型有了更广阔的了解.

数学史的介绍：

天元术，是利用未知数列方程的一般方法，与现代代数学中列方程的方法基本一致，但写法不同.

1248年，金代数学家李治在其著作《测圆海镜》中系统地介绍了天元术.而欧洲，十六世纪才开始做到这一点.

我国把解方程称为“开方术”，除了天元术，还有四元术，即解四元高次方程，这一点，欧洲直到十八世纪才完成，比中国晚了四百多年.

意图本环节展现了数学发展史中我国数学家的贡献，展现了我国在人类文明发展中举足轻重的作用，培养了爱国情操，增强了民族自豪感.同时，也向学生介绍了高次方程，拓展了视野，更加完善了“方程”的类型.

活动解一元一次方程2x-1=19.

过程学生用小学学过的方法，完全可以独立完成此题.学生口述，教师将解方程的过程在黑板上板书.

2x=19+1

2x=20

x=10

检验把x=10代入方程，左边=2×10-1=19，右边=19，左边=右边，所以x=10是原方程的解.

追问每一步是怎样得到的？理由是什么？

过程学生口述每一步做了怎样的变形，教师补充板书，在2x=19+1上一行补充：方程两边同时加上1，在x=10上一行补充：方程两边同时除以2.学生口述每一步的理由，教师补充板书，在2x=19+1后面补充：(等式基本性质1)，在x=10后面补充(等式基本性质2).

追问小学学过的等式基本性质1、2的内容是什么？

过程师生共同回顾等式基本性质1、2的文字内容，让学生发现初中等式的基本性质1与小学不一样的地方，增加了“或整式”，说明原因，并说明这里的“数”也随着我们学习的数的范围的扩大而扩大.让学生口述为什么等式基本性质2中“除数不能为0”.

追问你能用符号语言描述这两个性质吗？

追问等式还有其他性质吗？

过程师生共同总结出等式基本性质1、2、3、4的文字描述及符号语言描述.

意图这里对教材上的内容做了调整，先让学生解方程，再思考每一步做了怎样的变形，理由是什么？因为学生在小学就学过简单方程的解法，完全有能力独立完成这个方程的解答，而且小学时就学习过等式基本性质1和基本性质2的内容，基本性质3和4虽然小学时没有总结，但是在解题过程中他们都遇到过，所以这里没有必要在4个基本性质的得出过程耗费过多的时间.需要把更多的精力让他们发现随着所学知识的增加，性质的表述做了微调，让学生感受到因为所学内容受限，我们所学知识都有可能随着知识的增加而做略微的调整，体会我们目前所见只是整个数学大厦的一角而已.还要让学生学会用符号语言描述性质，发展学生的符号意识.

3.4 巩固应用

练习利用等式的基本性质解下列方程，并检验：

过程学生独立解这两个方程.教师巡视，并挑选典型的解答借助希沃视频展台展示.

意图解第(1)题第一步是方程两边同时减去2x，这题的设计是为了让学生深入理解等式基本性质1中新增的“整式”这种情况.第(2)题解法多样，体现了等式基本性质的灵活应用，也为后面解有分母的一元一次方程打下基础.

3.5 课堂小结

(1)本节课我们经历了怎样的学习历程？

(2)本节课我们学习了哪些数学知识和方法？

(3)本节课的学习应用了哪些思维方式或体现哪些数学思想或核心素养？

(4)本章知识框图.一元一次方程的研究流程是先学习相关概念，再到解法.经过本节课的学习，课堂开始列的这些方程，你会解哪些方程？下节课会继续学习较为复杂的一元一次方程的解法.解方程的目的最终还是为了解决实际问题，所以本章3.2节会学习方程的应用.x+y=35，2x+4y=94，这种二元一次方程需要两个在一起才能解出，这就是本章3.3节要学习的二元一次方程组，也是按照“概念—解法—应用”的流程研究的，后面是“三元一次方程组及其解法”，这些都是一次方程.3.6综合与实践一次方程组与CT技术，在科技领域经常用到求多元一次方程组(也叫线性方程组)的问题.方程的分类特别多，主要有初等代数方程和初等超载方程等等.

意图引导学生回顾本节课的学习历程，体会一般的研究流程：

总结从本节学习的知识点“一元一次方程的定义及相关概念”、“等式的基本性质”、“利用等式的基本性质解方程”；提炼学生“抽象能力和运算能力”等核心素养.最后先是用本章知识框图将本章的数学知识体系展现出来，再从中提炼研究方程的一般流程：

3.6 课后作业

3.6.1 基础性作业

1.根据等式基本性质解下列方程，并检验：

(1)x+9=4，(2)6x=4x+4，(3)-2x=6，(4)0.5x+1=3.

意图考查利用等式基本性质解方程的方法的掌握情况，在利用等式基本性质1时涵括了两边同时加(或减)同一个数或者整式两种情况，在利用等式基本性质2时两边同时除以的这个数，有正数、负数，整数、小数等不同形式.

3.6.2 发展性作业

你能写出一个没有解的一元一次方程吗？你能写出一个有无数多个解的一元一次方程吗？一元一次方程解的个数可能有哪些情况，为什么？请你以此为话题，写一篇小论文.

意图让学生发现并深层次理解一元一次方程的形式与其解的情况之间的关系，以及分类讨论思想.给学生独立探究的时间和空间，将学生的学习从课堂引入课堂之外.进一步完善方程的结构化知识体系.

总之，站在“主题”的高度，可以更方便地了解知识的来龙去脉，更大范围地了解知识的结构、关联，及价值和意义，了解教材内容安排的良苦用心，加强对知识本质的理解，对知识间联系的理解，更有利于帮助学生建立起有意义的、结构化的数学知识体系.通过主题分析，可以促使学生整体的、联系的、发展的看待问题，形成理性思维，培养科学精神，发展核心素养.