探寻“接地气”的“高观点”解题方法

浙江省杭州英特外国语学校 孙志东 (邮编：311121)

在一些中考压轴题或初中竞赛题中，常常出现一些具有高中知识背景的问题，这些考题能够有区分度地考查学生的数学基础知识、基本方法及重要的数学思想.学生在处理这些问题的时候，往往有思路，但在书写解题过程时就显得束手无策或半途而废.鉴于这种情况，笔者结合2021年年底对我校分流考的最后一道压轴题的最后一问的批卷情况，陈述学生解的情况，并探求跟初中知识较为密切的解题方法，然后给出一些教学和编题建议.

文中提到的“接地气”是指思路在学生最近思维发展区或稍微提醒就能达到最近思维发展区；“高观点”是指借助于高中的知识和方法来处理初中较难的数学问题的应对策略.

1 考题呈现

已知：如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AD上一点，DE=x，DF⊥CE于F，连接BF.求△BCF、△CDF面积之和的最大值.

图1 图2 图3

2 学生解题思路呈现

分析此题属于入手容易，但真正地把过程正确而完整地写出来，对学生来说有不少的困难.学生用到的方法有：利用判别式法、不等式法、三角函数法、建系法等，从答题情况看，大多数学生都无功而返，究其原因，很可能就是这道题具有明显的高中知识和方法的背景，对初三学生来说困难是真实存在的.下面把考卷上学生的思路归纳如下：

2.1 判别式法

2.2 不等式法

评注这种分式变形后还可以配成差的完全平方求解.

2.3 三角函数法

如图3，过点F作FG⊥BC于G，设∠DCF=α.由∠CFD=90°得DF=2sinα，CF=2cosα.由CD//FG得∠CFG=∠DCF=α，FG=2cosα·cosα=2cos2α.这样S△BCF+S△CDF=2cos2α+2sinαcosα.

说明采用这种方法的学生基本上写到这里就写不下去了，因为剩下的过程需要用到三角函数公式来求解.

另外，利用三角函数的知识，还有如下的思路：

如图4，连结BD，过点F作FH⊥BD于H，∠DCF=α，则由上述三角函数法得DF=2sinα，结合∠BDF=45°-α，得FH=2sinαsin(45°-α)，这样

图4 图5

这里利用高中的积化和差公式得

评注三角函数法是高中的重要方法，在初中阶段仅仅对锐角三角函数的定义和几个简单的性质有理解要求，所以这种方法更多的应用是在高中.

2.4 建系法

说明采用此法的学生，在解方程组时基本上都放弃了，因为运算量大，后面利用点到直线的距离公式的解答过程更是繁杂.

评注建系法是一种用代数的方法来解决几何问题的常见思路，对于形如等边三角形、直角三角形、矩形、菱形或正方形等特殊图形时，有时解起来很方便.但不巧的是此题因为运算量特别大显得不适合.

3 寻找跟初中阶段内容联系紧密的方法

鉴于上述方法，或多或少都要用到高中的知识，那么有没有利用初中的基础知识就能解决的呢？

笔者注意到，这种方法虽然采用换元法，淡化了变形过多的技巧要求，但仍然要使用高中的基本不等式.

图6 图7 图8

采用上述想法，让笔者惊喜不已的是，笔者很快就得到了下面更加接近于学生思维发展区的方法：

评注这种方法的解题过程出乎意料地简单，并且不超越学生的解题经验，是一种很有价值的解题方法.它的精髓在于转化，即在于把原来两个不易求三角形的面积和转化两个易求的三角形面积和，巧妙的是CD的中点O与点F所连的线段OF恰好构成了Rt△CDF斜边上的中线，学生对直角三角形斜边中线的性质是非常熟悉的，另外四边形BODF的两条对角线都变成易求的具体值，这对学生来说得心应手.

4 教学与编题启示

4.1 教学启示

“双减”政策实施以来，对教师的课堂教学能力提出了更多的挑战，如何提高课堂效率，如何培养学生的思维能力，如何引导学生主动地学习、反思，成为教师迫切需要解决的问题.

笔者结合自身的经验，体会到提高学生课堂的思维能力，可以结合多元表征，比如操作表征、符号表征、图形或图象或表格表征、语言表征来激活、增加学生的课堂参与深度、提升学生的思维，打通知识之间的横纵联系，让学生在课堂上不仅身体动起来，而且更重要的是让学生的大脑灵活转动起来，这样的实施方式可以成为课堂上的一种追求.这种追求的目的在于实现知识的理解，而理解的关键是培养学生的知识正迁移力和强迁移力，正而强的迁移力在于帮助学生构建彼此打通的知识网络体系，一题多解就是其中一种很好的训练方式，但不要止步于此，不妨启发学生、引导学生继续分析、领悟多方法、宽角度中的本质解、简洁解及学生易于掌握的好方法，这种对多种方法的重新比较、审视、反思是学生思维能力提高的重要环节.上述采用四边形面积的转化策略，就是学生学习数学中用得最多、最有价值的一种策略，只要教师在课堂上引导得当，并给予学生反思的机会，学生是能够掌握这样的学习策略的.

4.2 编题启发

题目不在多，在于教师精编精选，这个“精”不仅要紧扣课程标准，难度适宜，具有代表性，而且要能引导学生思维能力的发展与提高，能切实地提高学生的数学素养.特别是对中考题的命题者而言，出于区分度的考虑，如果构思体现高中数学背景的问题，不妨多在初高中数学知识与方法的衔接上下功夫，让学生经过积极思考，能够利用初中的核心知识和方法解决问题，体会解题的快乐，更重要的是激起学生后继学习和探索的兴趣.一句话，编题要把握学情，要“接地气”，对学生的思维发展有真正帮助.