“六环节”高效复习课堂的构建与思考——以八年级上学期的期中几何复习课为例

廖莉丽

南京师范大学盐城实验学校 224700

八年级上学期的期中几何复习课时安排一般为三个课时，“六环节”高效复习课堂的构建旨在引导学生查漏补缺，形成知识结构，在探究解题策略与领悟思想方法的同时，提高解决问题的能力.

复习内容与素材

（一）复习内容

本次复习课的内容包括“全等三角形”“轴对称图形”“勾股定理” 三个章节.其中的知识要点有：全等三角形的性质、全等三角形的判定方法、线段垂直平分线的性质、角平分线性质、尺规作图、等腰三角形的性质与判、等边三角形的性质与判定、勾股定理及其逆定理、勾股定的应用.

（二）复习素材

如图1所示，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E=∠F=90°，BE=CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，且∠EAC=∠FAB.图中有几对全等的直角三角形？为什么？

图1

预设答案因为∠EAC=∠FAB，所以∠EAB=∠FAC，因为∠E=∠F=90°，BE=CF，根据角角边定理，得△AEB≌△AFC，所以AE=AF.因为∠EAC=∠FAB，∠E=∠F=90°.根据角边角公理，得△AEM≌△AFN，所以图中有两对全等直角三角形.

问题改编（1）图中有几对全等三角形？为什么？（2）除上述全等三角形的结论外，还有其他结论吗？（3）若连接BC，AD，那么直线AD与直线BC有何位置关系？（4）当∠CAD＝30°时，△ABC是什么形状的三角形？为什么？（5）当∠CAD＝45°时，线段AG与BC有何数量关系？为什么？（6）已知AC=13，CF＝12，∠C＝∠NAC，如何求ME的长呢？

教学过程

（一）原发式质疑

师：图1中有几对全等三角形呢？为什么？

生：图1中有4对全等三角形，分别是△AEB≌△AFC（已证），△AEM≌△AFN（已 证），△ABM ≌△ACN，△BDN≌△CDM.因为△AEB≌△AFC（已证），△AEM≌△AFN（已证），所以AC=AB，AM=AN，因为∠MAN公用，根据边角边公理，得△ABM≌△ACN，因为△AEB≌△AFC（已证），△AEM ≌△AFN（已证），所以∠C＝∠B，AC=AB，AM=AN，所以MC=BN，因为∠CDM=∠BDN，根据角角边定理，得△BDN≌△CDM.

设计意图笔者把“图1中有几对全等的直角三角形？为什么？”换成“图1中有几对全等的三角形？为什么？”，由此得到了原发性问题，课堂上再由原发性问题出发，通过笔者的启发引导，学生的思考探究与交流，巩固了全等三角形判定方法的知识.

（二）关联性追问

师：观察图1显示的图形，你还能得到什么结论呢？

生：相等的线段包括：AE=AF，AM=AN，AC=AB，MC=BN，BE=FC，EM=FN，DM=DN，BD=CD，BM＝CN，DE=DF；相等的角包括：∠EAM=∠FAN，∠EAN=∠FAM，∠E=∠F，∠EMA=∠FNA ＝∠CMD=∠BND，∠CME=∠BNF=∠DMA=∠DNA，∠CDM=∠BDN，∠CDB=∠MDN，∠C＝∠B.因为DE=DF，AE=AF，所以AD是线段EF的垂直平分线，所以AD平分∠EDF，平分∠MAN，平分∠EAF.

笔者重点引导学生关注为什么AD平分∠EDF，为什么到角两边距离相等的点在角平分线上，要限制在角的内部？学生通过小组讨论发现，如图2所示，在角的外部也存在到角两边相等的点，但这个点不在这个角的平分线上.由此，笔者帮学生梳理了角平分线性质定理及逆定理，明确了这两个定理的内涵与外延.

图2

师：如图3 所示，连接BC，观察图形，直线AD与线段BC有何位置关系？试证明你的猜想，并说明证明依据.

图3

生：直线AD垂直平分线段BC，因为AC=AB，所以△ABC是等腰三角形，因为AD平分∠CAB，根据等腰三角形三线合一，得AD垂直平分线段BC.

生：直线AD垂直平分线段BC，也可以这样证明，因为CD=BD，AC=AB，根据线段垂直平分线定理的逆定理，得点A，D在线段BC的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，得直线AD是线段BC的垂直平分线.

两名学生从两个不同的角度证明了同一个结论，笔者借此复习了等腰三角形三线合一的性质、等边对等角的性质、线段垂直平分线的性定理及逆定理.

设计意图本环节通过解决两个关联性问题，发展了学生的观察联想能力、合情推理能力.在学生说明证明依据的过程中，复习了基本定理，通过一道试题两种证明方法，开阔了学生的思路.在定理的辨析过程中，学生明晰了定理的外延与内涵，经历了问题的分析与解决的过程，感受到解决问题的基本路径是归本溯源.

（三）拓展式延伸

师：（1）当∠CAD＝30°时，△ABC是什么形状的三角形？为什么？（2）当∠CAD＝45°时，线段AG与BC有何数量关系？为什么？

生：……

设计意图本环节的两个问题通过强化条件“∠CAD＝30°”，得到了△ABC是等边三角形，复习回顾等边三角形的性质与判定；通过强化条件 “∠CAD＝45°”，得到了等腰直角三角形，复习回顾直角三角形斜边中线的性质，体现了从一般到特殊的数学思想.

（四）深耕式拓展

师：如图1所示，已知AC=13，CF＝12，∠C＝∠NAC，如何求ME的长呢？

生：在Rt△ACF中，因为AC=13，CF＝12，由勾股定理，得AF＝=5，因为∠C＝∠NAC，由等角对等边，得CN=AN，设NF＝x，则CN=AN=12－x，在Rt△ANF中，由勾股定理，得AN2=NF2+AF2，即（12-x）2＝x2+25，解得：x＝因为△AEM≌△AFN，所以ME=NF＝

设计意图本环节一方面复习了勾股定理，另一方面重点关注解题策略与数学思想.在解题思路方面，求线段的长，常用方法就是利用勾股定理.在数学思想方面，渗透了方程思想与转化的思想.

（五）开放式拓展

师：欲有结论AD平分∠CAB，原题中的∠E=∠F＝90°还可以换成其他条件吗？

学生在充分考虑与小组讨论的基础上，提出以下结论，如：∠E=∠F，或∠C=∠B，或者AC=AB，或者ME=NF等.

（六）结构式归纳

通过本节课的学习，我们复习了哪些知识？结合你的学习体验，请分享其中的思想方法.

学生归纳后，教师板书，这一环节进一步帮助学生完善知识结构，领悟数学思想方法，提炼解题策略.

阶段性几何复习的思考

（一）如何设计复习的问题

设计的原发性问题要具有基础性、典型性、生成性［1］.原发性问题要源于教材，难度小，能在5分钟之内完成.设计的问题要能覆盖复习章节的相关知识，把学生的疑点、易错点都暴露出来.所谓生成性是指以原发性问题为基础，拓展延伸出新的问题.新问题可以是质疑原问题、追问原问题，也可以是变式、延伸与拓展类问题.本节课以一道典型题为题根，复习了全等三角形的判定方法，梳理了角平分线性质定理、线段垂直平分线性质定理、特殊三角形的性质等基础知识，一连串的问题，关联了教材内容，联系了思想方法，把原发性问题添加条件生成新问题，体现了问题设计的基础性、典型性与生成性.

（二）如何选择复习路径

几何的阶段性复习可分为六个环节，分别是原发式质疑、关联性追问、拓展式延伸、深耕式拓展、开放式拓展、结构式归纳［2］.环节一是复习的源头，通过原发式问题的解决，学生弄清了问题的解决方法、解决问题的依据以及用到的知识.环节二侧重于知识的重构，进一步明确知识间的联系，引导学生提出自己的疑问，解决关联性问题.环节三与环节四通过强化题根或弱化题根，解决深层性问题，让学生在一题多解与一题多变中体验证法的多样性.环节五以强化学习为重点，突破难点，提升学生的思维品质.环节六是复习课的点睛之笔，学生回顾本节的知识、方法与策略，将这三个方面的收获结构化，从而培养自身的归纳概括能力.

（三）如何让复习课堂有生成

要想让复习课堂有生成需要从四个变化着手：一是问题的设置从追问到质疑，从教师提出问题到学生质疑，引发学生讨论，解决学生的疑惑；二是思维从封闭到开放，所谓开放包含三个方面：条件开放、结论开放和方法开放；三是方式从单向到双向；四是学习路径从固化到灵活.