挖掘典型试题的探究功能

戈峰

【摘 要】为适应国家培养创新型人才的需求，高考考试内容改革从“考知识”到“考能力”转向“考素养”，从“解答题目”转向“解决问题”。数学课堂倡导探究性活动，不仅有利于学生积累数学探究活动经验，而且有利于学生提升分析问题、解决问题的能力，更重要的是还可以培养学生的创新意识，发展学生数学核心素养，促进学生科学精神的形成。

【关键词】试题探究；开放课堂；开发教材；核心素养

一、引言

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出，为适应国家培养创新型人才的需求，高考考试内容改革从“考知识”到“考能力”转向“考素养”，从“解答题目”转向“解决问题”。近年来，高考创新了试卷结构，研制了多种新题型，突出数学本质和关键能力的考查，这就要求教师在教学中要重视学习过程，突出数学本质，增强思维能力，提升核心素养。在课堂上，教师要引导学生开展探究活动，激发学生的探究能力。数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程，具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探究、合作研究论证数学结论［1］。本文以一道逆用“阿波罗尼斯圆”性质的试题为例，挖掘典型试题的探究功能，以期为教师教学提供参考。

二、案例分析

在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，1），点B是圆C：x2+y2+2x-3=0上的动点，则[AB]+2[BO]的最小值为     。

1.思路分析

从学生的经验出发，该题有以下常见解题思路。

思路1（从代数运算思考） 设B点坐标，[AB]+2[BO]将会表示为两个根式和的形式。

思路2（从几何转化思考） 形如[AB]+2[BO]的最值问题容易联想起2[BO]中的系数“2”可能与椭圆、双曲线的离心率有关系，从而将2[BO]与圆锥曲线上的点到准线的距离联系起来。

思路3（从轨迹观点思考） 设[OE]=2[OB]，E（x，y），B（x1，y1），则由B点在圆C上运动可以求出E点运动的轨迹方程：x2+y2+4x-12=0，此時[AB]+2[BO]=[AB]+[EO]。

2.解法探究

思路3把[AB]+2[BO]中的2[BO]转化为[EO]，但[AB]+[EO]中点B，E都是动点，因此解题难度还是比较大。如果把2[BO]转化为点B到另一个定点的距离[BD]，那么该题就可理解为圆上一点到两个定点的距离之和的最值。教师可以按照以下探究思路进行教学。

探究1：是否存在定点D，使得[BD]=2[BO]？如果存在，求[AB]+2[BO]的最小值。

生1：假设存在定点D（a，b），使得[BD]=2[BO]，设B（x，y），则（x-a）2+（y-b）2=4x2+4y2，化简整理得3x2+3y2+2ax+2by-a2-b2=0。

又因为点B（x，y）在圆C：x2+y2+2x-3=0上，两式消去x2，y2项，整理得（2a-6）x+2by+9-a2-b2=0，由题意知该式有无数组解，于是有[2a-6=0，2b=0，9-a2-b2=0，]解得[a=3，b=0，]所以D（3，0）。

于是问题转化为[AB]+2[BO]=[AB]+[BD]的最小值，又点A（0，1）在圆C内，点D（3，0）在圆C外，点B在圆C上，故[AB]+2[BO]=[AB]+[BD][≥][AD]=[10]，因此所求的最小值为[10]。

【反思小结】如图1，上述解法实际上是将生成圆C（“阿波罗尼斯圆”）的另外一个点D找到了，其满足[BD]=2[BO]。它与点O共同生成圆C，从而将[AB]+2[BO]的最小值问题转化为[AB]+[BD]的最小值问题，利用两点之间线段最短即可解决。学生在平时的解题中习惯于由动点到两定点距离之比是一个不等于1的正实数求出圆方程。而本题是已知圆方程、其中一个定点坐标和比值2，由此可求出另外一个定点坐标，这可以看作是“阿波罗尼斯圆”的逆应用。教师可以充分利用本题的探究功能对学生进行思维训练，引导学生思考与发现问题。

3.本质探究

生2：点D（a，0）满足[BD]=2[BO]，设B（x，y），则有（x-a）2+y2=4x2+4y2，化简整理得3x2+3y2+2ax-a2=0。又因为点B（x，y）在圆C：x2+y2+2x-3=0上，代入前式消去x2，y2项，整理得（2a-6）x+9-a2=0，该式有无数组解，于是有[2a-6=0，9-a2=0，]解得a=3，所以D（3，0），下同上面生1的解法。

生3：求出圆C与x轴正半轴交点B0（1，0），再由[B0D]=2[B0O]，得D（3，0）。

【反思小结】在考试过程中，学生在求解填空题时常会用到一些简便方法，体现了数学直觉意识和方法特殊化。值得注意的是，无论上述哪个解法都默认了点D在x轴上，当笔者询问学生点D为什么在x轴上时，他们的回答基本都是：受教材上的一道题目启发猜测而来。

苏教版高中数学必修2“圆的方程”课后有一道这样的习题：已知点M（x，y）与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为[12]，那么点M的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M所构成的曲线［2］。设M（x，y）是所求曲线上任意一点，则把[MOMA]=[12]代入[x2+y2x-32+y2]=[12]，化简整理得x2+y2+2x-3=0，而本案例中的圆恰好就是该圆。因此，如果学生对教材这道题目比较熟悉，他马上就会意识到该式[MA]=2[MO]中的点A（3，0）就是要找的点D，问题也就迎刃而解了。如果学生只是知道教材上有一道这样的题目，就会有上述的猜测，这隐含了生成“阿波罗尼斯圆”的两定点和圆心三点共线的直觉和想法。

探究2：已知A，B是两个定点，点P满足[PA]=λ[PB]（λ>0，λ≠1），则點P的轨迹是一个圆，试探究点P所在圆的圆心M与A，B三点是否共线？

生4：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由[PA]=λ[PB]（λ>0，λ≠1），得（x-x1）2+（y-y1）2=λ2[（x-x2）2+（y-y2）2]，整理得（1-λ2）x2-2（x1-λ2x2）x+（1-λ2）y2-2（y1-λ2y2）y=λ2（x22+y22）-（x12+y12），化为圆的标准方程为[x-x1-λ2x21-λ22]+[y-y1-λ2y21-λ22]=[λ2（x22+y22）-（x12+y12）1-λ2]+[x1-λ2x21-λ22]+[y1-λ2y21-λ22]，进一步整理可得[x-x1-λ2x21-λ22]+[y-y1-λ2y21-λ22]=[λ1-λ22][（x1-x2）2+（y1-y2）2]，…………………①

故圆心M[x1-λ2x21-λ2，y1-λ2y21-λ2]，半径r=[λ1-λ2][（x1-x2）2+（y1-y2）2=][λ1-λ2][AB]，又由A（x1，y1），B（x2，y2），M[x1-λ2x21-λ2，y1-λ2y21-λ2]，知[MA]=[λ21-λ2]（x2-x1，y2-y1），[MB]=[11-λ2]（x2-x1，y2-y1），易知[MA]//[MB]，又因为点M是公共点，所以A，B，M三点共线。

探究3：既然证明了M，A，B三点共线，能否进一步找到三点位置的数量关系？

生5：显然[MA]=λ2[MB]，因为λ>0，λ≠1，所以当λ>1时，[MA]>[MB]，点M在线段AB的延长线上；当λ∈（0，1）时，[MA]<[MB]，点M在线段BA的延长线上。由[MA]=λ2[MB]得[AM]=-λ2[MB]，可知点M分线段AB成定比-λ2。

【反思小结】如图2，原题中，学生想到了利用特殊化的方法求出D点，事实上，除了圆C与x轴正半轴的交点B0（1，0），圆C与y轴正半轴的交点B1（0，[3]）也是一个特殊点，满足[B1D]=2[B1O]，易得D（3，0）。

探究4：在[△B1CD]中，[OC]=1，[B1O]=[3]，[OD]=3，不难发现∠CB1D=[90°]，即直线B1D恰好是圆C的切线，这是巧合还是有必然的内在联系？

生6：如图3，不妨设点B（x2，y2）在圆M外，若BP，BQ为圆M的两条切线，P、Q为切点，因为M[x1-λ2x21-λ2，y1-λ2y21-λ2]，所以以BM为直径的圆的方程为（x-x2）[x-x1-λ2x21-λ2]+（y-y2）[y-y1-λ2y21-λ2]=0。………………………………………②

①-②得直线PQ的方程为[x2-x1-λ2x21-λ2][x-x1-λ2x21-λ2]+[y2-y1-λ2y21-λ2y-y1-λ2y21-λ2]=[λ1-λ22][（x1-x2）2+（y1-y2）2]，将A（x1，y1）代入上式，左边=[x2-λ2x2-x1+λ2x21-λ2][x1-λ2x1-x1+λ2x21-λ2]+[y2-λ2y2-y1+λ2y21-λ2y1-λ2y1-y1+λ2y21-λ2]=[x2-x11-λ2][λ2（x2-x1）1-λ2]+[y2-y11-λ2][λ2（y2-y1）1-λ2]=[λ1-λ22][（x1-x2）2+（y1-y2）2]=右边，这就证明了点A在直线PQ上，由圆的性质有PA⊥AB。反之，若PA⊥AB，因[MA]+[AB]=[MB]，又[MA]=[λ2][MB]，所以[MA]+[AB]=[1λ2][MA]，解得[MA]=[λ21-λ2][AB]，故[MB]=[11-λ2][AB]。在Rt[△MAP]中，由[MP2]=r2=[λ1-λ22][AB2]，[MA]=[λ21-λ2][AB]，所以[PA2]=[MP2]-[MA2]=[λ21-λ2][AB2]。在Rt[△]BAP中，[PB2]=[PA2]+[AB2]=[11-λ2][AB2]，于是有[PB2]+[MP2]=[11-λ2][AB2]+[λ1-λ22][AB2]=[11-λ22][AB2]=[MB2]，所以MP⊥PB，故点P为切点，同理可得点Q也为切点。

生7：如图4，不妨设点B在圆M外，若过点B的直线BP、BQ与圆M相切于P、Q两点，直线AB与圆M交于P1，P2两点，设P1在线段AB上，P2在线段AB外，则[PA]=λ[PB]，因为BP与圆M相切于点P，由弦切角定理得∠BPP1=∠AP2P，又[PA]=λ[PB]，[P1A]=λ[P1B]，在[△]   PAB中，由平面几何知识有∠   BPP1=∠      APP1，故∠      AP2P=∠       APP1，因为PP1⊥PP2，所以∠ APP1+∠ APP2=[90°]，故有 ∠      AP2P+∠    APP2=[90°]，所以PA⊥AB。反之，设点B在圆M外，过A作AB的垂线交圆M于P，Q两点，由相交弦定理得[PA]·[AQ]=[P1A]·[P2A]，又由PA⊥AB，所以[PA]=[AQ]，[PA2]=[P1A]·[P2A]，又[P1A]=λ[P1B]，[P2A]=λ[P2B]，于是有[PA2]=λ2[P1B]·[P2B]，又[PA]=λ[PB]，所以[PB2]=[P1B]·[P2B]，[P1B]=[MB]-[MP1]=[MB]-[MP]，[P2B]=[MB]+[MP2]=[MB]+[MP]，所以[PB2]=[MB2]-[MP2]，也就是[PB2]+[MP2]=[MB2]，所以MP⊥[PB]，即PB为圆M的切线，同理BQ也为圆M的切线。

4.总结迁移

师：我们在寻找生成“阿波罗尼斯圆”的另外一个点的过程中，發现了一些结论：设A（x1，y1），B（x2，y2）为不同的两点，动点P（x，y）满足[PA]=λ[PB]（λ>0，λ≠1），则动点P的轨迹是一个圆，记为圆M（圆心为M），不妨设λ∈（0，1），点B在圆M外，点A在圆M内，则有如下结论：

（1）M，A，B三点共线，且点M分线段AB成定比-λ2，即[AM]=-λ2[MB]。

（2）圆M的半径r=[λ1-λ2][（x1-x2）2+（y1-y2）2=][λ1-λ2][AB]（λ>0，λ≠1）。

（3）当点B在圆M外时，过点B作圆M的两条切线与圆M切于P、Q两点，则直线PQ过A点；反之，若过点A作直径的垂线交圆M于P、Q两点，则P、Q为过点B所作圆M两切线的切点。

【反思小结】我们在解决原问题时，求另一个定点（D）的方法可以用“阿波罗尼斯圆”的定义，也就是用代数的方法转化为一个方程有无数组解来求解；也可以利用结论（1）（2）（3）中的任何一个来进行求解。

三、教学反思

1.开放课堂，激发探究热情

传统的课堂是以传授知识为主的课堂，教学理念比较滞后，课堂设计比较封闭，教学形式比较单一。在传统的课堂，学生的学习积极性、思维活跃度、探究学习的热情就会大打折扣。随着社会的发展，新时代需要的是创新型的人才。因此，我们需要开放的教学理念，释放学生的思维；需要开放的教学设计，营造宽松的课堂氛围；开放的组织形式，构建新型的师生关系。开放课堂，使学生在宽松的氛围下进行平等、愉快地探索学习，调动学习的积极性和主动性，激发探究问题的热情；开放课堂，使学生在课堂上敢想、敢说、敢问、敢做，自主表达自己的所想、所思、所疑、所创，学生真正成为课堂的主体。在本教学过程中，笔者营造了宽松的学习氛围，学生从已获得的基本活动经验出发，体会了3种解题思路在解决问题中的局限性。在接下来寻找“阿波罗尼斯圆”的另一个定点时，学生的主动性被充分调动起来，展开了积极的讨论和探究，通过一般情形和特殊情形两种情况，代数计算和几何推理两种方法，找到了另一个定点，最终解决了问题。笔者不是把教学内容简单地告诉学生，而是把独立思维的空间和合作探究的时间留给学生，鼓励学生大胆猜想、自主探究、合作讨论、敢于质疑、勇于表达，把课堂打造为培养学生自主学习的能力和创造性思维的开放式课堂。

2.开发教材，挖掘探究潜能

高中数学教材内容的趣味性和启发性，对学生的自主探究具有积极的作用。在日常教学中，教师大部分的教学活动都是围绕教材展开的。教材是教师进行教学的依据，因此，教师在教学前必须对教材内容进行深度挖掘，对教材内容不断创新。教师对教材挖掘的深度与准确度，对提高学生学习效果有着重要的作用。2019年人教版高中数学教材中安排了“探究与发现”和“数学探究”栏目，但在实际的教学过程中，很多教师未认真组织学生对这些栏目内容进行深入探索和思考。事实上，这些内容为探究型课堂教学提供了丰富的探索素材，为培养学生的创新意识与探究能力提供了广阔的天地。如果学生一直以被动接受的方式来获取知识，那么学生的创新意识和探究能力必然会成为无源之水、无本之木。“探究和发现”和“数学探究”内容为学生提供一个重新发现知识的平台。学生通过亲身经历知识发现、结论证明、新知识应用过程，促使学生对数学充满兴趣，从而培养学生创新意识和探究能力。教材上的例题和习题不仅是教师教学和学生学习的主要资料，还是高考命题的重要参考依据，所以教材上的例题和习题的探究价值也不容忽视。“阿波罗尼斯圆”在高中教材中没有直接给出，只是在苏教版高中数学必修2“圆的方程”课后习题中出现，但一直是高考命题的热点。对于教材上的例题和习题，教师应该注重挖掘其背景和应用，体会其中所蕴含的数学思想和方法，适时对有关联的各类例题和习题进行整合、重组、演变，使学生能通过这些变化与联系，从不同侧面和多角度把握问题本质，触类旁通。本案例的背景是“阿波罗尼斯圆”，难点是从已知的圆方程、一个定点坐标和比值，求出“阿波罗尼斯圆”另外一个定点坐标，是对“阿波罗尼斯圆”的逆应用，也是对知识的延伸和方法的拓展。

3.开展探究，提升核心素养

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出，教师在课堂教学过程中“理解数学知识产生与发展过程中所蕴含的数学思想”“关注数学学习过程中思维品质的形成，关注学生会学数学的能力……”［1］。学生在课堂上不仅学到大量的科学知识，更重要的是在学习过程中学到了研究问题和解决问题的方法、思想、能力，这就要求教师积极开展探究性教学，注重培养学生的探究能力，提升学生的核心素养。数学教育家弗赖登塔尔曾说，学习数学唯一正确的方法是让学生进行“再创造”，即数学知识应由学生自己去发现或创造，教师的任务不是把现成的知识灌输给学生，而是帮助和引导学生进行“再创造”工作。这与新课程所倡导的探究活动的理念是一致的。本案例的主要任务是对一道试题的解法进行探究，师生共同经历了“思路分析—解法探究—本质探究—总结迁移”的探究过程。学生从中不仅学会了该题的解法，加深了对“阿波罗尼斯圆”的认识，而且积累了数学探究活动经验，提升了分析问题和解决问题的能力，更重要的是培养了创新意识，发展了数学核心素养。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］徐稼红.普通高中课程标准试验教科书数学2（必修）［M］.南京：江苏凤凰教育出版社，2012.

（责任编辑：陆顺演）