数学课程与教学中的跨学科与综合实践活动

张维忠 赵千惠

【摘 要】《义务教育数学课程标准（2022年版）》首次提倡在综合与实践领域落实跨学科主题活动及项目学习的教与学新范式，呈现出“从无到有”“自泛化细”“由表及里”三个方面的主要变化。为了有效贯彻新课标理念，文章建议教师应均匀分配各年级课时，合理扩充跨学科主题范畴；深入理解内容板块的价值内涵，以学习任务单的形式具体呈现；正确把握教师角色的变化，关注跨学科活动过程，聚焦不同的评价侧重点。

【关键词】跨学科；综合与实践；数学课程；数学教学；义务教育数学课程标准（2022年版）

一、问题提出

为了积极回应数学课程改革发展的迫切诉求，助推新时代全面育人教育理念的落地扎根，有效落实立德树人的根本任务，《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《义务课标2022年版》）［1］应运而生。“以核心素养为导向”是此次义务教育课程改革的主旋律，其既保留了《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《义务课标2011年版》）［2］的合理内核，又延续了《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》倡导的数学核心素养主张，实现了基础教育阶段核心素养的一致性和阶段性表达［3］。更进一步来看，面对现有义务教育阶段综合与实践领域教学整体偏离既定设置初衷的情形，在对四大领域的主题进行结构化调整的过程中，综合与实践领域注重加强学科实践和跨学科主题活动或项目学习，运用跨学科的思维培育学生整体认知世界的能力，是本次数学课程标准修订的重点。跨学科学习不仅是对分科课程的解蔽和补充，更是对未来社会所要实践的创新活动的模拟预演与雏形实验，弥补了传统学科课程教学远离真实社会生活的缺陷［4］。其学习过程和结果的不确定性恰到好处地对现实和未来的不确定性做出了回应，形成一种学生、学科和社会之间相互交融、相辅相成的和谐关系。

诚然，这种在承认并保障分科课程设计合理性的前提下，能够在具体实施过程中释放综合化和实践化价值的积极稳妥的课程设计，对一线数学教师而言是极具挑战性的。教师究竟该如何真正理解并落实具有前瞻性的跨学科与综合实践活动领域的教学改革理念，这是一个值得关注、探讨并亟待获得解决思路的热点话题。

二、《义务课标2022年版》中跨学科与综合实践活动的主要变化

（一）从无到有：丰富了课程内容、教学方式，明晰了知识范围、学段要求

《义务课标2022年版》最为显著的特征是在“课程内容”部分大幅度扩容，明确界定了综合与实践的内涵，首次加入“跨学科”这一概念并将其作为此领域的重要议题。自“综合与实践领域”被囊括至数学课程改革的范畴以来，其设置初衷大抵是在于如何为学生提供适宜研究与应用的课程内容，提高学生对数学的本质理解与实践能力，发展学生应用与创新意识。但是，纵观两轮义务教育数学课程改革，《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《义务课标（实验稿）》）和《义务课标2011年版》更多强调的是学科内部的知识综合和知识实践，并不是主动跨界以真正达到解决现实问题的目的。聚焦最新一轮的课程改革，“以培养学生综合运用所学知识和方法解决实际问题的能力为目标”替换了《义务课标2011年版》中“学生将综合运用‘数与代数‘图形与几何‘统计与概率等知识和方法解决问题”的表述。可见，新课程改革不仅局限于数学学科内部知识的有效综合，还传达了基于主体学科的跨界思维的重要性。跨学科主题学习的增加，丰富了综合与实践领域的课程内容，畅通了学科间的协同增效之路，弥补了分科课程所带来的不足。

《义务课标2022年版》旨在以跨学科主题学习为主，推出了主题式学习和项目式学习，并根据学段目标的不同要求，建议前三个学段主要采用主题式学习，第四学段可采用项目式学习，充分考虑学生知识储备的累积和能力发展的过程，任务难度由浅入深，循序渐进。此外，《义务教育课程方案（2022年版）》明确指出，各门课程用不少于10%的课时设计跨学科主题学习［5］，相对于《义务课标2011年版》中要求“综合与实践”教学活动应当保证每学期至少一次，新课程改革的要求更具灵活性，也使得在将“综合与实践”与“数与代数”等领域并称为课程内容的一部分时显得不突兀而被普遍接受。同时，尤其是在第一、第二学段，部分数学知识的学习被纳入综合与实践中，譬如量、方向与位置等，这也从另一角度防止了综合与实践领域被边缘化的情况。

（二）自泛化细：提供了精细化教学案例，凸显了针对教学实践过程的指导意义

《义务课标2011年版》在课程设计思路、课程内容等部分中均对综合与实践领域的设计与实施进行了阐述。从“了解要解决的问题和解决问题的办法”到“经历设计解决具体问题的方案，进一步获得数学活动经验”，虽然每个不同学段都在逐级强化对于学生的要求，但是细究来看，均归属于原则性说明。由于缺乏精细化的解构和引导，给人以较为抽象、难以具体操作之感。《义务课标2022年版》历经十年积淀，结合一线教师在落实综合与实践领域的实际教学困境，广泛吸纳优秀经验，凸显了更为务实、更具有操作性的指导意义，即每个领域的课程内容按“内容要求”“学业要求”“教学提示”三个方面呈现，形成一个立体的动态化结构。其中，“内容要求”回答了“学什么”的问题，以防止知识内容被虚化，以及跨学科主题活动流于形式；“学业要求”即“学到什么水平”，体现了素养导向的整体质量观；“教学提示”则强调“怎么学”，引导学生经历基本的典型活动完整过程，从主题活动的设计、实施、评价及活动实施的設备、资源保障等进一步展开说明。

更细化来看，课程内容中的教学提示及附录部分提及的、佐以开展教学的跨学科综合与实践案例也发生了较大幅度的革新。不仅有大量的新增案例（例61 体育中的数学、例62 营养午餐等），也包括对原有案例的调整，即部分案例保持原有主题不变，完成了修正和扩容［例58 制订旅游计划（原例43）、例60 校园平面图（原例42）等］，也有部分案例经改编后被挪至前面三个领域中，更针对部分案例给出了详细的课时安排建议（例15 曹冲称象的故事、例48 欢乐购物街等）。精彩纷呈的跨学科主题活动及项目学习案例，赋予了综合与实践领域的活力，总体呈现出以下主要特征：强调中国元素和世界元素的平衡，除普世文化之外，还关注了中华民族传统文化的渲染（例55 土圭之法的故事、例57 度量衡的故事等）；加强学段衔接，尤其是幼小衔接，注重活动化、游戏化、生活化的学习设计（例47 数学游戏分享等），还在小学和初中阶段设置了同一主题但不同层级要求的案例，体现学习目标的进阶性（例61 体育中的数学和例89 体育运动与心率）；提升问题情境的真实性，让学生融入社会生活并触及实际问题，牢固树立社会责任意识。

（三）由表及里：揭示了核心素养导向的本质蕴含，强调了“教—学—评”一致化的愿景

《义务课标2011年版》将《义务课标（实验稿）》中的“实践与综合应用”更名为“综合与实践”并沿用至今，名称的顺序调换表明了数学知识习得、内化与外显过程中的层次感，即学生应在知识关联、综合化的基础上再进行高要求的实践和应用。辨析综合与实践在实体层面和意识层面的意义，不仅可广泛地以课程内容的形态出现并承担相应的具体化课程任务，亦可将其视为一种课程理念，以此指导数学教学高效地培育学生核心素养的发展。作为课程理念，综合与实践在课程性质、课程理念、课程目标等部分一以贯之，这与《义务课标2011年版》一脉相承。《义务课标2022年版》更加明确地指明了跨学科综合与实践领域以核心素养为目标导向的本质蕴含，涵盖了数学眼光有高度、数学思维有深度与数学语言有力度三个方面。跨学科主题活动或项目学习具体的实施过程如下。首先，以现实的、跨学科的情境引入并引导学生通过小组合作或独立思考，经历发现问题和提出问题的过程，思考如何从数学的角度审视问题，即会用数学的眼光观察现实世界；其次，发现问题的本质与规律，用数学的概念、定理或公式予以表达，建立适切的数学模型，即会用数学的思维思考现实世界；最后，视模型结论的合理程度发起调整，以是否有悖于现实生活为准则进行考量，用简洁与精确的表达解释数学结论的现实意义，即会用数学的语言表达现实世界。可见，跨学科与综合实践活动的全过程与“三会”一一呼应，有力印证了“素养本位”的教育观念。

此外，《义务课标2022年版》观点鲜明地表达了“教—学—评”一致化的愿景，尤其加强了对评价的重视。在“课程实施”章节的“教学建议”部分，把《义务课标2011年版》中对“合理把握‘综合与实践的实施”的表述调整为“进一步加强综合与实践”，并根据明确教学目标、设计教学活动、关注教学评价的主线展开，更具逻辑性，裨补了前者缺乏对评价部分建议的阙漏。一直以来，综合与实践领域的教学没有受到重视。细究来看，主要原因之一就是中考不考，没有纸笔考试的评价压力。教育部办公厅颁布的《关于做好2022年中考命题工作的通知》指出：2022年将迎来“双减”政策实施后第一次中考，做好2022年中考命题工作，对于引导深化义务教育教学改革、促进减负提质、巩固“双减”成果具有重要意义，要根据不同学科特点，合理设置试卷试题结构，减少记忆性试题，增加探究性、开放性、综合性试题，坚决防止偏题怪题，促进有效考查学生综合素质［6］。其后，《义务课标2022年版》在学业水平考试的命题规划中又提出：主观题要探索命制问题解决及多学科融合类试题（例93 样题：公司招聘职员），试卷呈现避免套路化。政策文件对于学业水平考试的推动，必将使以核心素养为导向的综合性活动得到足够重视。如此趋势其实也已在近年来的中考试题中得以显现，透露了未来基础教育阶段数学纸笔评价的命题走向［7］。

三、教学建议

（一）均匀分配各年级课时，合理扩充跨学科主题范畴

首先，需要澄清的是，由于主题活动或项目学习和现实生活情境高度关联，迫使一些教师形成一种“年级越高，学生积累的学习和生活经验越丰富，活动案例越易设计，情境越加逼真，问题越能被学生理解并解决”的刻板印象。事实上，依据《义务课标2022年版》的课时要求，“跨学科主题学习不少于总课时的10%”，这并不意味着此类教学活动应集中在高年段，而应保证以“每个学期至少6～7个课时，即呈现2个跨学科主题学习案例”的比重被均匀分配到不同年级。七年级的学生相较于九年级的学生而言，同样也会面对一些复杂的、综合的现实问题，譬如，如何设计班级阅读角等在校园中遇到的问题。而关键就在于該如何基于七年级所学的知识和思想方法使问题得以解决。可想而知，不同年级、不同阶段的跨学科主题学习的要求是不同的，总体呈阶段性、层次性螺旋上升的趋势，教师需要对此提供学习方式上的保障。

其次，在案例的跨学科主题选取方面，既要做到符合课程总体目标及内容要求，呼应函数、几何、统计等领域内容的特殊功能与目标定位，又不能毫无止境地超出学生最近发展区的范围，增加学生学业负担。总体而言，需满足以下主要性质：真实性（与学生的现实生活密切相关）、综合性（需融合多门学科知识以解决问题，综合考量技能、情感、能力等多方面指标）、包容性（适宜不同学生参与，展示不同思维水平）、多维性（存在且适宜用多种不同方法及途径解决问题）和实践性（强调动手实操、团队分工协作的能力）。

秉持上述设计原则，教师在教学中除了可以灵活借鉴《义务课标2022年版》提供的现成案例，还应合理扩充跨学科主题范畴，尝试编创案例，进一步拓宽学生的视野，具体如下。第一，重视中华优秀传统文化的教育，譬如，日晷中的数学、奇妙的七巧板、探索勾股数的生成公式［8］等。第二，关注人文因素长期在数学学科中的匮乏，尝试以音乐、艺术等学科为切入口设计案例。譬如，借助音符时值、光学艺术达成小学阶段的分数教学［9］；利用“曲线缝合”艺术，实现以“直”造“曲”，大胆探索抛物线和直线这两种平面图形之间“不可思议”的关系，并用纸笔、GGB软件、织物或电脑编程等方式实操创造曲线［10］。第三，从家庭生活或校园生活中挖掘素材。譬如，校园劳动教育中所涉及的数学问题，学校稼园的整体设计、果蔬收成效益及高效分装问题等；选择最优零用钱协定方案，即利用技术软件的公式计算指令分析不同方案的利弊并预见更长远的规划；等等。第四，紧跟当前社会发生的时事热点，增强社会责任意识。譬如，结合政府部门出台的阶梯水价制度或节电计划，收集、统计居民用水量数据或探究家用电器在使用及待机状况下的耗电量，制订多样化节约水电的方案以缓解现存问题［11］；穿插空间科学的背景，设置如何用数学来发现宇宙中其他智慧生命的存在并与之交流的问题，从而使学生明白理解数字之间的关系及本质特征（质数、因数、倍数等），有助于人类实现这一愿望等［12］。

（二）深入理解内容板块的价值内涵，以学习任务单的形式具体呈现

目前，有关数学学习活动的类别名目繁多，譬如，主题式学习、项目学习、研究性学习、探究学习等。从设计宗旨、基本流程等方面来看，这些概念是极其相似的，但又存在差别。以主题式学习和项目式学习的比较为例，前者以内容为导向，属于跨学科背景下的数学内容学习，而后者则是以问题为导向，用数学方法解决现实问题为主，注重问题的主动提出与对应解决方案、策略的规划建构，涉及的学科知识更为宽泛，学习方式和路径更为多元。那么，究竟该如何择定学习活动的类别呢？其实，教师无须去刻意迎合活动类别的名称，虽然教学实施因活动任务的复杂程度而有所不同，但其活动流程是具有高度一致性的。基本包括创设问题情境、发现问题、提出问题、制订计划、方法指导、活动实施（查找资料、组建小组、中期交流、撰写报告等）、解决问题、展示交流、评价反思。这些环节不是机械的，可灵活调整步骤次序，在坚守学科立场的同时又要做到不过分执着于活动形式。

因此，教师可选择沿袭并适当改编人教版高中数学新教材的做法，在教学过程中以学习任务单的形式给出关键性文本提示，提供详细的学法指导，如“数学建模的一个实例、选题、要求、研究报告参考形式；数学探究的内容、要求、研究报告参考形式”等［13］。跨学科综合与实践活动的学习任务单主要可由活动情境介绍、主干问题、活动要求、方法或延拓知识提示、研究报告参考形式五大部分构成。其中，“活动情境介绍”遵循问题导向的原则，旨在引出项目主题，明确需要解决的驱动性问题；“主干问题”要立足于学生视角，由已有信息，预设学生能够主动提出什么问题，并给出相应的师生活动指引，同时又留有一定空白，保证发现问题、提出问题环节的完整性；“活动要求”的提出是为了规范各小组的基本研究路径（组建合作团队—明确问题—开展研究活动—撰写研究报告—交流展示），统一最终研究成果的基本形式；“方法或延拓知识提示”是针对研究过程中的难点和关键点进行必要的表述，为学生提供适当的帮助；“研究报告参考形式”包括研究计划、研究过程、研究结果、收获与体会、评价等部分，主要是为了让学生学会總结反思整个研究过程，除可视化的实体成果之外，研究报告中还需要撰写在数学思想方法、解决同类拓展问题的思路等方面的收获。

（三）正确把握教师角色，关注跨学科活动过程，聚焦不同的评价侧重点

在跨学科活动实施阶段，教师身兼多重身份，所承担的任务、所扮演的角色是极为重要的。教师既可以是活动的指导者、协助者、评价者，也可以是活动的协调者、参与者和示范者，但唯独不是控制者。教师不能投入过多的干预，而应鼓励并支持活动中产生的每一个鲜活问题和解决方案，为学生搭建释放思维的舞台。但是，这也可能会引发一系列理想教学与实际教学相互矛盾的问题：跨学科综合与实践活动，尤其是针对其中的项目学习而言，享有高强度的自主探究性，导致无法全面预判学生所有的想法，这也就对教师提出了更高的要求。为了能同时保证教学效率和效果，面对学生提出的、偏离既定预设的、思路迥异且具有一定挑战性的研究问题，教师该如何从容应对？其实，于内容层面而言，学习内容不再只是外在于学习主体的客观实在，也有学生在活动过程中生发出来的新内容；于过程层面而言，学习过程不全是由教师事先设计的预想流程，而是学生在完成任务过程中生成的现实过程，虽然终究只能经历某一过程，但学生知道有无限可能的路径和过程，体会到选择、决策的重要性，意识到需要承受选择的后果；于体验层面而言，学习体验不再是被框定的教学目标，而是随机的、丰富的、复杂的［14］。可见，正是出于跨学科活动过程的不确定性，为数学教学追求确定性元素带来了更多的可能。因此，上述问题必然是有解的。教师应持有一种积极的眼光，将随处可见的不确定性视为一种教学资源，可以以参与者的身份入驻到一个或几个研究问题颇具挑战性的小组，协助其在课内、课外均能顺利完成任务。这样不仅化解了效率和质量之间的冲突，又充分肯定了学生思考的积极性，添置了一个解构现实问题的维度，充实了教学研究成果。当然，除了需关注执行方案、数学模型、分析报告、展示成果等外显元素，还应遵照过程性评价的指引，观察学生在活动实施过程中的行为、情绪情感、参与程度、努力程度，关注认识和体验变化等内隐要素，这也是核心素养的有机组成部分。

在评价阶段，跨学科综合与实践活动的教学评价维度是多重的，但这并不意味着这些详细的评价指标必须要在同一个活动中都被纳入评价范围中。教师可根据开展数学综合与实践主题活动的整体设计安排，在不同层级但归属同一基本主题的跨学科活动中，聚焦不同的评价侧重点。譬如，第三学段的“例60 校园平面图”旨在通过实地测量，引导学生经历相对复杂的测量过程，知道事先规划、分步实施的重要性，体会测量误差的取舍及其现实意义，侧重于积累数学实践活动经验，发展量感。因此，在教学评价中，教师应着重关注学生是否积极参与了完整的活动过程及其在各个步骤中的实际表现。而第四学段的“例90 绘制公园平面地图”与前者共享相同的主题，密切结合图形的变化、图形与坐标等主题，利用数学、地理、美术等融合知识，将空间中的景物关系抽象为平面图形及其位置关系，聚焦创造性、开放性行为的发生。在评价过程中，教师应着重关注学生提出的问题、解决方案及最终输出作品的新颖程度。因此，根据不同活动的主题、目标及内容的特征，均衡评价指标，界定不同活动的评价侧重点，方能保证跨学科综合与实践活动评价的可行性与有效性。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［3］史宁中.《义务教育数学课程标准（2022年版）》的修订与核心素养［J］.教师教育学报，2022（3）：92-96.

［4］郭华.落实学生发展核心素养 突显学生主体地位：2022年版义务教育课程标准解读［J］.四川师范大学学报（社会科学版），2022（4）：107-115.

［5］中华人民共和国教育部.义务教育课程方案（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［6］教育部办公厅.关于做好2022年中考命题工作的通知［EB/OL］（2022-03-25）［2022-07-20］.http：//www.gov.cn/zhengce/zhengceku/2022-04/06/content_5683705.htm.

［7］黄凯，张维忠.中考数学试题中的跨学科内容分析：以2017年—2021年浙江省中考试题为例［J］.中学数学教学参考，2022（17）：53-55.

［8］赵千惠，张维忠.一节体现数学联系与历史的教学课例：勾股数的生成公式［J］.中学数学杂志，2021（10）：35-38.

［9］赵千惠，张维忠.数学与音乐艺术的完美嫁接：小学分数教学的反思与重构［J］.教学月刊小学版（数学），2021（7/8）：82-85.

［10］赵千惠，张维忠. STEAM理念下的数学拓展课教学研究：以“曲线缝合：以‘直造‘曲”为例［J］.中小学课堂教学研究，2022（6）：18-24.

［11］赵千惠，张维忠.真实生活情境视角下的统计教学课例探究：以“总体百分位数的估计”为例［J］.中学数学教学参考，2022（16）：27-30，34.

［12］张维忠，赵千惠.澳大利亚初中数学教科书中的跨学科内容［J］.浙江师范大学学报（自然科学版），2022（2）：233-240.

［13］张维忠，徐佩雯.高中数学新教材中的数学建模［J］.浙江师范大学学报（自然科学版），2020（3）：349-354.

［14］郭华.项目学习的教育学意义［J］.教育科学研究，2018（1）：25-31.

（责任编辑：陆顺演）