抛物线焦点弦性质的活用

王晓萍

(山东省济南市章丘区第四中学)

数学抽象表现为获得数学概念和规则,在现有数学结论的基础上形成新命题、新结论等,数学运算表现为能够运用数学方法解决具体的问题,两者相辅相成,共同优化解题过程.抛物线焦点弦的一些相关性质所对应的常用结论,就是此类新命题、新结论创新应用的具体表现之一:若AB是过抛物线C:y2＝2px(p＞0)焦点F的一条弦,其中A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的倾斜角为α,则有四个最常见的抛物线焦点弦性质所对应的常用结论,本文对其在具体解题过程中的活用进行举例说明.小关系等问题,可以考虑活用该公式建立相应的方程或方程组,进而综合题目其他相关条件进行分析与求解.

分析 根据题目条件,先利用抛物线的方程确定参数p的值,进而直接活用抛物线焦半径的倒数和公式,结合题意中平面向量的线性关系,分别求得|BF|与|AF|的表达式,再结合双勾函数的图像与性质确定最大值(也可以考虑导数法,利用函数的单调性来确定函数的最值),最后结合抛物线的定义求解焦点弦AB的中点到抛物线C的准线的距离的最大值问题.

利用抛物线的焦半径三角公式求解问题时,可以借助焦半径引入三角函数进行三角换元处理,并结合三角函数的相关知识以及三角恒等变换进行求解,这在解决一些定值、最值或取值范围问题中经常采用,可以很好优化解题过程,提升解题效率.

通过利用这些抛物线焦点弦性质的常用结论,可以很好地脱离于传统的解决直线与抛物线位置关系时联立方程组求解,简化过程,优化解题.将特殊的概念、性质结论等广泛、抽象地应用于数学题目,直接构建与之相关的关系式,可以回避较为复杂的数学运算,全面优化解题思维,提升解题能力,体现数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养.