深度思考,提升数学素养

王远征

(广东省深圳市高级中学南校区)

高等院校强基计划承载着选拔优秀人才的重任,所以强基校测试题关注对考生数学思维能力和数学素养的考查.这些试题通常短小精悍、入口宽,给了考生放飞思维的空间,试题往往能用多种方法解答,能客观地评价考生思维的灵活性、深刻性和创造性,通过对试题的解答能很好地考查学生从数学的角度发现、提出、分析和解决问题的能力.本文以2022年南京大学强基计划校测第2题为例,进行多角度探究,介绍当我们面对一道陌生的问题时,根据问题特征展开联想,从而找到解题突破口、解决问题的思维过程.

1 分析与探究

因为(sinα－sinβ)2≥0,(cosα＋cosβ－1)2≥0,所以由非负性得

此处逆向思考,有意识地将“常数3”表示成式②的形式,目的是为用配方法将原方程转化为2个非负数和的形式,创造条件,为建立二元方程组解题铺平道路,把陌生问题转化为熟悉问题来解决.

解法2 利用和差化积、半角公式、配方法和非负数性质求解.由题意可得

解法3 当我们从该方程的几何意义来思考,可以用如下数形结合的方法解答本题.

由题意可得

因数思形是一种常用的化归思想,即通过观察代数式的结构特征,联想它的几何意义,然后借助几何图形的直观性求解.

此题的解答远不止以上三种方法,有兴趣的读者可以进一步深入地观察、广泛地联想,调动所学知识来解答,这对训练思维的灵活性、深刻性、创造性大有裨益.此题反映出高校强基计划试题在很大程度上体现和落实对核心素养的考查,这些核心素养包括直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理、数据分析和数学抽象.只有在平时注重深度的学习与思考,强化感悟与内化,才能形成这些能力,积淀良好的数学素养.

2 变式

数学问题的表现形式虽然千姿百态,但本质都是数与数、数与形、形与形之间的和谐关系.解题者只有在仔细观察、深入思考的前提下,在数与数、数与形、形与形这些数学对象之间建立合理的联系,即实现有效的相互转化,才能使陌生问题熟悉化、复杂问题简单化、抽象问题具体化.对同一个数学问题进行多角度深入的思考是提升我们思维品质、形成良好数学素养的有效途径.如下变式练习,供读者练习.

变式1 已知α,β是方程x2＋(2m－1)x＋4－2m＝0的两个根,且α＜2＜β,求m的取值范围.

解法1 依题意,因为由根与系数的关系可得α＋β＝－2m＋1,αβ＝4－2m,又α＜2＜β,所以α－2＜0,且β－2＞0,于是(α－2)(β－2)＜0,即αβ－2α－2β＋4＜0,即4－2m＋2(2m－1)＋4＜0,解得m＜－3.

解法2 记f(x)＝x2＋(2m－1)x＋4－2m,依题意知该抛物线与横坐标轴有2 个不同的交点(α,0),(β,0),且抛物线开口向上.又α＜2＜β,所以f(2)＜0,即4＋2(2m－1)＋4－2m＜0,解得m＜－3.

图1

由于对同一问题观察的角度不同,联想的方向不同,因此就出现了多种不同的解题方法,但都能考查考生的观察能力、联想能力和数学素养.