初中数学“规律探索型概念课”的教学误区及改进措施——以《锐角三角函数》概念课为例

许家健

(广东省阳江市江城区教师发展中心 529900)

在初中数学概念课教学中，有一类属于“规律探索型概念课”.笔者曾在三所不同的学校听了题为“锐角三角函数”的同一节概念课，这节课就属于“规律探索型概念课”.现对这三节课的教学误区进行简要分析，并提出一些改进措施.

1 初中数学“规律探索型概念课”的教学误区

1.1 采用“概念讲述”的方式进行教学，学生没有经历概念的形成过程，死记硬背概念，不会灵活运用

学校1的老师直接采用了“概念讲述”的方式进行教学，大致流程如下：

(1)屏幕显示课本的问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌，观测得斜坡的坡角为30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？

(2)老师讲解：上面的问题可以用图形表示为：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若BC=35m，求AB的长.

(4)给出正弦定义，然后让学生读定义.

(5)例题讲解，如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB.

图1

(6)设计几道练习题，让学生巩固概念.

通过这样的方式学习，学生并没有真正理解“正弦”概念的含义.课后，笔者对学生问了几个问题，学生只记住了对边与斜边的比，并不知道这个比值是由角的大小确定的，更不理解这个比值是随角的大小变化而变化的函数关系，若把直角三角形变成锐角三角形就更无从下手了.

1.2 只重视对已有结论的证明，忽视了对结论的猜想和发现

在上述过程中，老师从特殊到一般，对结论进行了证明，过程看似完整.事实上，学生仍处于被动的学习状态，充其量只学会了证明他人发现的结论，却没有经历“发现”的过程，没有学会如何去发现.

1.3 从局部到局部的散点状教学，概念关联不强

学校3的老师基本上按照教材的编排顺序进行正弦概念的教学，简要概括流程如下：

问题1 显示课本中的为了绿化荒山，建扬水站的问题.

问题2 在上面的问题中，如果出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？

这样的设计是一种典型的从局部到局部的散点状教学，概念关联不强，学生要等学完余弦、正切等概念后才给出锐角三角函数的概念，学习中缺少类比联想的过程，也不能从整体上理解函数的概念.

2 初中数学“规律探索型概念课”的教学模式分析及举例

2.1 初中数学“规律探索型概念课”的教学模式分析

作为过程的数学概念，只有经历概念完整的形成过程，学生对数学概念内涵的理解才会更加清晰准确，才会更加丰富.作为对象的数学概念，我们必需克服散点状的教学形式，要有整体观念，使学生对概念的理解有一种结构化的认识，加强数学概念之间的联系.针对初中数学“规律探索型概念课”的特点，我们应采取如下的教学模式：材料感知→描述与反思、发现猜想→证明猜想、归纳结论→概念命名→练习巩固、纳入系统.

2.2 “锐角三角函数概念课”教学过程设计及分析

环节一 复习旧知

问题1 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=20°，求∠B.

问题2Rt△ABC中，AB=3，BC=4，求AC.

环节二 材料感知，情境引入

问题3 显示课本中的为了绿化荒山，建扬水站的问题.

老师提问：问题1涉及了直角三角形角和角之间的关系，问题2涉及了直角三角形边与边之间的关系，问题3涉及直角三角形哪些要素之间的关系？

设计目的：让学生从生活中的具体例子出发，抽象出数学问题，培养学生数学建模的思想，激发学生的学习兴趣；从复习直角三角形角与角的关系、边与边的关系，再到本节边与角的关系，过渡自然，也引导学生对直角三角形各元素进行整体研究和认识.

环节三 描述与反思、发现猜想

说一说问题4 在Rt△ABC中，三条边两两组合，一共有多少个比值？

做一做问题5 填表1(Rt△ABC，∠C=90°)

表1

设计意图：这一环节，我们通过丰富的材料，让学生参与对这些材料的比较、辨析活动，从角与角、边与边的关系自然想到对边与角关系的研究.

猜一猜先让学生分小组对前面的活动进行描述与反思，进而提问：当∠A=30°或45°时，上述表格里的三个比值是固定的，若锐角∠A取其他数值时，上述比值有什么变化？你是怎样研究的？由此，你得出什么样的猜想？

当学生产生争辩时，老师提议：可否用几何画板验证一下？验证后填表2：

表2

通过描述、反思、实验，引导学生取得一致猜想.

环节四 证明猜想，归纳结论

操作：作任意∠A，在∠A的一边上任意取一点B，作BC垂直于∠A的另一边，垂足为C，在射线AB上取不同于B的另一点B′，作B′C′⊥AC，交点为C′.

设计意图：这个操作设计可以由学生自主完成，若学生在证明猜想时感到困难，老师可以利用几何画板的动态展示启发学生思路，同时让学生经历从不完全归纳到演绎推理的过程，既培养了思维的发散性，又培养了思维的严谨性.

环节五 概念命名，引入符号

设计意图：这种设计是在尊重教材原有设计的基础上，进一步开发课程资源，在适合学生实际情况的前提下，对教材进行重组，先让学生重温“函数”的概念，接着理解“三角函数”，最后到“正弦”、“余弦”、“正切”.这种从整体到局部的设计，加强了概念之间的关联，有利于学生对“三角函数”概念的结构性理解.

环节六 练习巩固，纳入系统

(1)基本练习及变式练习

(2)引导学生小结与反思：今天你有什么收获？你知道“函数”、“三角函数”、“正弦”、“余弦”、“正切”各概念之间有什么区别和联系吗？你可以用思维导图表示上述关系吗？

设计意图：通过基本练习及变式练习，让学生在应用中进一步加深对“锐角三角函数”概念的理解；通过小结与反思，让学生把“锐角三角函数”概念纳入已有的知识系统.

在这类概念课的教学中，一定要让学生经历完整的概念探索过程，学生才能对数学概念有更深度的理解，学生的数学素养才能真正养成，数学概念教学的价值才能真正实现.