初中数学教学中数形结合思想的应用——以函数教学为例

肖秀珍

(福建省三明市将乐县第二中学 353300)

数学的两大基本属性是数与形，数缺形则少直观，形少数则难入微.初中数学函数可以理解为集合间的对应关系，包含三大要素即：定义域、值域、对应关系.表格、坐标系、图像等形式可以将枯燥的数字符号和函数语言转化为易于理解的图形语言，教师可以通过函数图像的教学有效直观地讲解函数知识，将数形结合的思想植入学生初中阶段函数学习中，为未来高中函数甚至高数的学习打好基础.因此本文针对“数形结合”展开的初中函数课程教学策略具有重要意义.

1数形结合思想初步形成之坐标系学习

学好函数的基础之一是对平面直角坐标系和坐标概念有深刻地了解.因为函数图像是由坐标系中的无数个点连接而成的，平面直角坐标系就如同画布一般，决定着点的相对位置、所处象限和图像特征.在函数教学中渗透数形结合思想，可以帮助学生快速地完成图像到数字的转换，让函数图像上点的位置和坐标对应起来，用数字来解析图像，用图像来解答问题.

教师在教学过程中可以设置问题，引发学生对抽象化坐标系的思考，再运用多媒体数字化课堂进行动画演示，增强学生的理解认知.

例如：(1)坐标轴的横纵坐标如何建立，坐标轴上每个点代表的意义和特点？

(2)点A(1，1)，B(1，-1)，C(-1,-1)，D(-1,1)分别在坐标系的哪个象限？

(3)A(1，1)经过怎样的移动可以到达点D(-1,1)？

(4)点A(1，1)，B(1，-1)，C(-1,-1)，D(-1,1)构成什么图形？学生在对问题思考的同时，数与形就会巧妙地在他们的大脑中进行结合，学生可以通过自己思考和教师演示初步建立函数学习的数形结合思维意识.例如第4小题的具体数形结合图像如图1.

图1

2数形结合思想的灵活利用之精准作图助解题

知名数学家波利亚撰写过《数学的发现》一书，书中提及数学教学的本质是一个引导学生寻找线索、解密答案的过程.在解答数学题目时，要学会从不同的角度去分析问题，将抽象理论的数学条件转换成直观形象的数学图形，帮助学生理清思绪，找到线索，以达到简化问题的目的.由此可知，数形结合思想在函数教学中的重大意义.在教学函数知识时，通过坐标画图的方式可以帮助学生完成思维的转换，让数的特征以形的面貌体现出来，从而更清楚地了解函数的图像、走势、特征和发现函数图象规律性特征.本文通过例1反比例函数图像讲解和例2函数求最值问题两个案例，介绍利用数形结合、精准作图的方法进行函数教学的必要性.

图2

图3

将数形结合思想引入初中函数课堂教学中，可以有效培养学生的数学建模能力和思维转化能力，帮助学生掌握多元角度分析问题的方法和思路，推动学生将几何与代数知识有机串联起来，促进学生数学思维品质的健康发展.

3 数形结合思想的逆向运用之解析函数不等式

中学阶段传统教学方法求解一元二次不等式时，往往采用“一元二次不等式三部曲”，即化简不等式、判断不等号方向、求解不等式范围的方法.这种传统的求解方法虽然具有很强的适用性和规律性，但是符号语言过于抽象，学生理解较为困难.教师可以通过二次函数图像辅助求解不等式，将抽象问题具体化，易于学生掌握.

例3求解一元二次不等式x2-4x-5>0.

分析对于这种形式的不等式，我们可以直接对等式左边进行因式分解可得

x2-(5-1)x-[5×(-1)]>0

(x-5)(x+1)>0

所以x<-1或x>5.

对于第一步和第二步因式分解，初二基础过关的同学都能理解，但是对于第三步分解不等式，却使得同学们难以理解，若是借助二次函数的图像便能生动形象地将其解释开来.这里做到第二步的时候，借助二次函数图像理解，利用两点式，确定y=x2-4x-5的图像与x轴的交点为(5，0)和(-1，0)；再利用一般式a=1>0得到，该函数图像开口向上，所以当x<-1或x>5时y>0，所以(x-5)(x+1)>0的解集即为{x|x<-1或x>5}.具体不等式求解方法如图4.

图4

4数形结合思想理论与实践融合

在素质教育为先的教学时代，教育要与生活结合，教学理论方法也要与实践相融合.因此初中数学教学要将函数理论与实践相结合，教师要善于利用多媒体互联网等手段，直观地展示函数图像与函数解析式之间的关系，帮助学生更好地理解和吸收.教师要善于运用情景导入、数形结合等方式，引导学生动手制图、自主学习探索提升学习兴趣和学习热情，高效科学地解决初中课本中的问题以及生活中的实际问题.初中数学学习阶段的重难点是一次函数、二次函数和比例反函数的图像与性质.教师要重视学生数学建模能力、迁移转化能力、逻辑思维能力地培养与发展，将抽象的函数符号转化为具体的图像，让学生发现数学的趣味和独特魅力.

数形结合的数学思想在数学各阶段的学习都具有较好的效果，不局限在函数章节学习，这种化繁为简、变抽象为具体、化符号为图像的数形结合学习方法对学生的学习具有重要作用，能帮助学生内化知识点，提升自主学习能力.函数学习的有效方法之一就是数形结合方法.对此，在具体的实践教学中，教师要注重该方法的应用和渗透，促进学生知识迁移转化能力、多元角度分析问题能力、逻辑思维能力的综合发展，帮助学生打牢函数基础，同时提高函数教学的质量.