以例题为载体 活化数学教学思维——以《勾股定理的简单应用之折纸问题》为例

侯庆秋

(江苏省南京市第五十四中学 210016)

1 教学过程

1.1 视频导入，激起兴趣

老师带领学生观看一段一分钟的折纸视频，通过视频，教师引导学生关注到在折纸的过程中发生的很多图形的变换，从而激发学生参与本课学习的兴趣.

1.2 复习反馈，回忆旧知

在本节课之前，学生已经学习了勾股定理和勾股定理的逆定理.通过简单的提问，让学生回忆起之前所掌握的知识，为今天这节课的后续学习奠定了良好的基础.

1.3 精选例题，活跃思维

在本节课中，笔者所选的例题是利用勾股定理解决折纸问题的典型方法，在教师和学生的共同分析之后，教师将解题过程完整地板书在黑板上，让学生形成此种情境下的解决问题的初步印象.让学生从初步的模仿开始，慢慢形成自己的思路，从而为下面的变式训练做铺垫.

例1如图1，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=3,BC=5，求EC的长.

图1

师：分析此题，有哪些已知条件？

生：有矩形ABCD，有折叠，还有AB=3,BC=5.

师：请大家将已知条件用铅笔标注在图上，通过折叠，我们能发现什么？有没有可以挖掘的条件呢？

生：通过观察发现折叠前的三角形和折叠后的三角形全等.

师：非常好.那我们可以继续表示出哪些边的边长呢？

生：因为BC=5，所以AD=5，又因为折叠，所以AF=AD=5.那么在直角三角形ABF中，就可以用勾股定理求出BF的边长为4.

师：还有别的边可以表示吗？

生：题目中要求的是EC的长，我们可以设EC=x，那么DE=EF=3-x，FC=BC-BF=5-4=1，这样在直角三角形ECF中，我们表示出了三条边的长，就可以利用勾股定理求出x了.

师：同学们的想法都非常好，我们共同将这道题的解题过程写下来.(教师在黑板上板书)

1.4 变式训练，举一反三

数学是一门思维性很强的学科，数学题是永远做不完的，所以在授课过程中，通过精选例题让学生达到举一反三、做一题会一类非常重要.在本节课的变式中，笔者的设计意图就是使学生在巩固利用勾股定理列方程一般模式的基础上跳出思维的框框，看看能否有别的方法来解决这个问题，这种方法甚至比勾股定理更加简单.通过这样的思维训练，学生的知识结构在无形中被打通了，体现了数学知识的融会贯通性，数学的灵活性思维也就跃然于心中.

变式1如图2，在长方形ABCD中，AB=3，BC=5，如果将该长方形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是多少？

要求学生在上一题的方法总结的基础上独立思考解决此题，请一位学生代表交流解题方法.该变式在例1的大前提不变的基础上改变了折纸的方式，让学生在例1的余温中继续思考.此环节的目的乃经验移交，帮助学生举一反三.

变式2如图3，折叠直角三角形纸片ABC，使直角边AC落在斜边AB上(折痕为AD，点C落在点E处)，已知AC=6 ,BC=8，求CD的长.(将长方形纸片换成三角形纸片的背景)

图3

学生尝试运用之前总结出来的解题经验，独立完成，全班点评.这一环节的设置，加强了学生对解题模式的感觉，并且这道题除了可以用勾股定理解决还可以用面积法来解决，这就开拓了学生的思路，让学生对折纸问题在原有模式的基础上又产生了新的认识.

1.5 构造模型，经验移交

本节课的设计从学生观察思考到学法总结到实践操作，再到检测反馈，符合了认知的过程与规律；过程中例题的选用由浅入深，层层递进；每个环节，教师重引导勤矫正，完成了学习经验的移交.但是本节课也有一处不足，在经验移交的过程中，总结本节课利用勾股定理解决问题的一般模式的时候，我是这样总结的：①分析图形；②表示边长；③寻找相等关系；④构建方程；⑤求解作答.这样的模式总结有一个缺点就是太空洞了，只是从宏观的角度给学生一个解决问题的指引，其实应该更加具体一点，比如说，在翻折过程中要让学生学会观察哪些量并没有发生变化，从线段的角度或者角的角度去看，抓住不变量，这样表示各边长就会更加准确快速.还要指导学生由已知到问题有时候需要双向的思考，对于简单的问题，由已知到问题可以直接解决，但是对于难题，如果出现由已知到问题卡壳的情况，可以从问题出发倒推，这样双向打通，更有利于问题的解决.

拓展：如图4,长方形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB’为直角三角形时，BE的长为多少？

图4

此题需要分类讨论，每位学生发放16K纸一张，让学生参与到课堂的实践活动中来，通过自己亲手操作，发现可能出现的两种可能性.通过这道拓展题，学生的思维能力又上升到了一个新的高度，对折纸情境下的几何问题有了全面的认识，将精选例题的效益达到最大化.

2 教学反思

本课内容是苏科版数学教材八年级上册第三章第三节《勾股定理简单应用》专题训练的第一课.本课的教学目标是引领学生在折纸问题的情境下利用勾股定理解决问题，并在此基础上，触类旁通，学会在其他情境下(如最短距离问题)应用勾股定理解决问题.

合理选择例题，是达成教学目标的重要方法.在本节课中，首先用例1给学生形成一个初步解决问题的想法，然后又通过两个变式进行强化解题模式，最后通过拓展提升的例题打通学生的思维，对本节课的目标有了更为清晰地认识和理解.在本节课拓展提升的例题讲解环节中，学生通过实实在在的折纸实验，真正体会到折纸过程中图形发生的变化量和不变量，认识到分类讨论的必要性，实现了“尝试运用发现——寻找——使用——检验的思维流程去解决问题，体会勾股定理的文化价值，增强应用意识，并感受解决实际问题的乐趣”这一教学目标.本节课在设计时重点关注了以下三个方面.

2.1 建构模型

模型的构造是数学学习的重要途径，建构模型要让学生感悟建构的方法的本质是“联系”.在本节课的教学过程中，通过知识整理，引导学生准确把握折纸情境下产生的问题的特点与联系，建构适合搜索的知识网络，由粗糙到精致，逐步提升数学学习素养.

2.2 精选例题

例题是一节数学课课堂教学内容的核心体现.所以例题的选择一定要进行全方位地思考.有的时候不一定使用书本上提供的例题，可以根据学生的学情，进行必要地筛选或者改编，以契合本节课的教学目的，让学生更好地把握和理解知识点之间的关联.大多时候，一道好的例题可以让本节课的设计达到画龙点睛的效果.精心设计例题，让学生通过观察图形或者实际操作，准确找到图中线段之间的数量关系，再通过严谨的逻辑推理感悟转化思想(把斜三角形、四边形等图形转化为直角三角形问题)，根据勾股定理写出适宜的等量关系.

2.3 小组合作

学生的学习不应该仅仅是个体的独立学习，同学之间的互相学习也是必不可少的一个环节.在笔者所教授的班级中，往往会把学生分配到各个小组，小组中的成员包含了不同学习能力、不同性格的学生，科学的分组可以让课堂的效果事半功倍.课前学生独立进行知识梳理，学习小组协作做好课前准备；在课堂讨论环节，小组合作，思维碰撞，相互学习优点，凝聚集体的力量.

2.4 思维递进

每一节课都离不开思维的活动.在本节课的设计中，每一个问题和每一道题的呈现都是有思维的递进性的，让学生感觉到数学的学习就好像是在爬楼梯，一步一步脚踏实地地前行，也许会感觉到疲惫，但是更多的是享受活跃思维的快乐.要想做到在数学课上呈现思维的递进性，本质上还是需要教师在课堂设计的时候要合理排序，否则学生在数学课上就像过山车一样，思维忽上忽下，杂乱无章，不利于形成完整而清晰的思维脉络.

几何是一个比较抽象的数学分支，如何将几何的教学更加的具象，让学生更好地理解？比如在经验移交的时候，如何更加具有直观性、可操作性，还有在课堂上如何丰富教学活动调动起学生参与课堂的积极性等等，是未来教师还需要不断探索和研究的课题.