三类抽象函数常考题型例析

厦门集美中学 陈习俭

1 f(x+y)=f(x)+f(y)型

求最值问题是有关抽象函数问题常见的一类题型，需要根据函数的自身基本特征求解，例如f(x+y)=f(x)+f(y)类型的抽象函数，可以先构建一次函数(f(x)=kx)进行转化：①分析函数f(x)的原型解析式，以及该函数的周期性、奇偶性、单调性等；②利用f(x+y)=f(x)+f(y)等基本特征求解，通过构造不等式判断函数在定义域内的单调性；③具体问题具体分析，结合所知条件得到所求最值.

例1对任意的x，y∈R，函数f(x)均满足f(x+y)=f(x)+f(y)，并且当x<0时，有f(x)>0,f(1)=-3，求函数f(x)在区间[-2，3]上的最大值和最小值.

分析:本题是很明显的一次函数型抽象函数问题，其中f(x)的原型是y=-3x.猜想该函数是实数集R上单调递减的奇函数，要求解在区间[-2，3]上的最值，即分析f(-2)，f(3)的值.

解：根据题意，得f(0)=0，f(-x)=-f(x)，f(2)=2f(1)=-6，f(3)=3f(1)=-9.

令任意x1

f(x1)-f(x2)

=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)

=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)

=f(x1-x2).

依题意，由x1-x2<0，得f(x1-x2)>0.

即有f(x1)>f(x2).

所以f(x)在区间[-2，3]上是减函数.

故它的最大值为f(-2)=-f(2)=6，最小值为f(3)=-9.

分析:由于一次函数满足f(x+y)=f(x)+f(y)，可假设函数f(x)=-kx，借助已知条件f(1)=-2求出具体函数解析式，判断所得解析式是否满足“当x>0时，f(x)<0”这一条件.最后将所求一次函数解析式代入命题中的不等式中，求出具体解集，即可判断命题的真假.

解析：设函数f(x)=-kx.

由f(1)=-2，可得k=2.

即f(x)=-2x，且满足x>0时，f(x)<0.

代入不等式，可得-6x2+4x<-6x+4.

整理，得6x2-10x+4>0.

故所给命题为真命题.

2 f(xy)=f(x)f(y)型

求自变量的值是抽象函数问题的另一类常见题型，也需要利用其函数基本特征求解，例如f(xy)=f(x)f(y)特征类抽象函数，可以构建幂函数型(f(x)=xn)特征函数进行转化，需要遵循以下思路：①猜想具体函数解析式，根据题设信息分析函数的具体形式，例如f(x)=x-1等；②根据猜想的函数形式判断对应函数的单调性，并利用单调性解题；③利用函数基本特征解题，即将f(xy)=f(x)f(y)等基本特征与实际问题相结合进行求解.

解：根据题意可知

所以f(x)在区间(0，+∞)是减函数.

又因为f(1)=f2(1)，f(x)>0，所以f(1)=1.

又f(m)f(3)=f(3m)，所以f(3m)=1=f(1).

变式2已知f(x)在(0，+∞)上都有f(x)>0，且满足f(xy)=f(x)f(y)，f(3)=27，若f(-a2)=-64，则求a的值.

分析:猜测满足条件f(xy)=f(x)f(y)的函数f(x)为幂函数型，则假设f(x)=xn，利用该条件与f(3)=27推断函数f(x)的解析式，并判断函数的奇偶性，然后由f(-a2)=-64，即可得到a的值.

解析：假设函数f(x)=xn.

由f(3)=27，可得f(x)=x3.

则有f(-x)=-f(x).

所以f(-a2)=-f(a)f(a)=-64.

因此f(a)=8,故a=2.

3 f(x+y)=f(x)f(y)型

抽象函数问题常见的还包括证明不等式成立问题，利用其函数基本特征是求解的常规手段，例如形如f(x+y)=f(x)f(y)的抽象函数，可以构建指数函数型[y=ax(a>0,a≠1)]特征函数进行转化：①确定函数的解析式，即由题设信息分析得到函数的具体形式，例如y=a2等；②判断函数的单调性，即根据函数解析式和题设条件，猜测函数在对应定义域内的单调性；③利用函数基本特征分析求解，即结合已知条件和函数的基本特征如f(x+y)=f(x)f(y)，解得所求值.

例3已知函数f(x)对任意x，y∈R，都满足f(x+y)=f(x)f(y)，且当x>0时，有01.

分析:首先结合题意得到y=e-x是函数f(x)的原型，从而猜测f(x)是减函数，再利用指数函数的基本特征f(x+y)=f(x)f(y)分析，得到01成立.

证明 ：依题意，得f(1)=f(1+0)=f(1)f(0).

又f(1)>0,所以f(0)=1.

所以f(0)=f[x+(-x)]=f(x)f(-x)=1.

当x<0时，则-x>0,0

故f(x)>1.

综上所述，当x<0时，f(x)>1.

证明:因为当x>0时，0

f(x2)f(y2)=f(x2+y2)>f(1).

因为函数f(x)在R上单调递减，所以

x2+y2<1.

故集合A代表圆面x2+y2<1内点的集合.

因为f(1)=f(0+1)=f(0)f(1)，且f(1)>0,所以

f(0)=1.

由上述三个案例及其解题思路可以发现，对于有关抽象函数问题，首先需要根据题意构建对应函数类型，然后分析函数单调性，再利用对应的基本特征求解.因此一定要仔细分析题意，并熟悉各类函数的形式和性质，确保求解方向正确.