聚焦练习设计，让深度学习真正发生——“质数和合数”一课的思考与实践

陕西旬阳县城关小学（725700）罗龙飞

随着课程改革的不断深入推进，“以学定教”的教育理念越来越受到广大教师的关注。大多数教师都特别重视课堂教学的创新，无论是对课程目标的设定、学生学情的把握，还是学法、教法的选择、教学情境的创设等，都不知不觉地向“以人为本”的方向转型。然而，作为数学学习不可缺少的重要活动之一的练习，却往往被忽视。

在教学中，有部分教师习惯性、倾向性地使用教材中的配套习题作为巩固知识的重要载体，学生在单一、机械的练习中，产生被动应付的心理，逐渐对数学学习失去兴趣，如此，学习很难真正发生。“以学定教”的理念倡导“以学生的学习为中心”来组织教学，教师是否可以将练习设计纳入整体的课堂教学体系中，使之成为撬动学生深度学习的杠杆？向课堂四十分钟要质量，让学生的学习从课外巩固向课内掌握转型，真正为学生减负。本着这样的思考，笔者对“质数和合数”一课的教学进行了实践探索。

一、教材研读

“质数”“合数”是小学阶段重要的基础概念，在小学数学中有着十分重要的地位。从数论的角度看，整数的基本元素是质数，任何一个合数都可以写成质数的乘积。从课程标准的角度看，“了解”是课程标准对质数和合数的总体要求。从学科本体来看，质数和合数是“数与代数”领域中最基本也是最重要的内容之一，上承因数和倍数，奇数和偶数，下启最大公因数和最小公倍数，通分和约分。从教材编排来看，人教版教材让学生找1至20各数的因数，通过观察比较因数个数的不同进行分类，给质数提供了定义，并强调“1”的特殊性，同时提供百数表让学生找100以内的质数，给予学生双向的思维空间。北师大版教材注重数形结合，通过等面积的长方形的长、宽变化，直观展示自然数2至12的因数，依托小范围的研究对象完成质数与合数的分类探究，更加注重问题的顺向思维。苏教版教材注重探究的层次性，虽然只简单呈现2，3，5，6，8，9这6个数作为研究对象，但待学生写出所有因数之后直接填空分类，让学生先思考“只有两个因数的数，它们的因数有什么特点”，再尝试判定10以内余下的4，7，10的所属类别，定义前置，验证为主，同时设置找质数的练习，发展学生的逆向思维。综合对比，人教版教材开放性更大，更侧重知识的迁移运用和内在整合。北师大版教材导向性更强，注重数形结合、直观呈现，促进学生理解和内化。苏教版教材层次性更强，通过简洁的数据揭示本质，分散学习难点，让学生主动验证获取结果。

二、思考实践

托尔斯泰曾说：“成功的教学所需要的不是强制，而是激发学生的学习兴趣。”“质数和合数”是一节数学概念课，内容比较抽象。课程标准的总体要求是“了解”，即从具体实例中知道或能举例说明质数和合数的有关特征，并根据它们的特征，解决具体情境中的质数和合数问题。不同版本教材的编排虽然都注重从具体实例出发，但更像是固定的“生产流水线”，有的实例内容呆滞、死板，容易形成片面的认知，很难唤起学生强烈的求知欲。怎样才能给教材中“冷冰冰”的数赋予现实意义，有效沟通数学与现实世界的联系，让学生乐于探究，主动学习呢？基于此，笔者在教学中进行了大胆尝试，将练习作为学习的生长点和连接点。围绕教学目标，笔者在课堂不同阶段设计不同的练习活动，让学生“卷入”学习的过程。

［练习1］你能给这些学号分分类吗？请你在作业单上分一分，再和同学说说你是按什么标准进行分类的，分成了几类？

［布置时机］建构质数和合数的概念时。

学生的学习应是自然发生的过程。因此，笔者将质数的学习与学生的学号巧妙结合，通过课前与不同学生的随机交流，再将他们的学号生成为课堂研究资源。让学生在作业单上自由分类，并说说是按什么标准来分的，分成了哪几类。学生在思考分类、明晰标准的过程中，自然就感悟到质数和合数各自的特征，进而建构概念。显然，这样的练习设计既能给学生提供更大的探索空间，又能把学生的生活和数学紧密联系起来。学生在完成练习的过程中，可以感受到学习数学的意义所在，还能体会到学号中所包含的数学知识。从实际教学来看，学生在完成分类的活动中，既可以根据是否是2的倍数进行分类，又可以根据因数个数的多少进行分类。无论是哪一种分法，都是符合学生的认知规律的，也为进一步抽象出“质数和合数”一类数的不同属性奠定了基础，同时更有利于将质数和合数放置于“数”的大体系中展开研究。学生也在经历观察、思考、分类、交流、抽象、概括等概念形成的学习过程中，获得成功、愉悦的情感体验，有效建构了质数与合数的概念。

［练习2］（1）判断37，49，53，87这4个数分别是质数还是合数，并说说理由。

（2）判断自己的学号是质数还是合数，并将其放到对应的集合圈里。

（3）在百数表内找出100以内的所有质数。

［布置时机］引出质数和合数的概念后。

数学教学最终就是要让学生会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界。其中，数学的眼光指的是数学抽象、直观想象，代表数学的一般性；数学的思维指的是逻辑推理、数学运算，代表数学的严谨性；数学的语言指的是数学模型、数据分析，代表数学应用的广泛性。质数、合数是比较抽象的两个数学概念。在前面环节的学习中，学生已初步建构了质数和合数的概念，也从具体实例中知道了质数和合数的有关特征，接下来就是要根据这些特征，结合具体情境进行辨析、内化。因此，在这里设计让学生判断说理的练习，有利于学生的思维从感性上升到理性，在此基础上，完成对自己的学号是质数还是合数的判断。学生在完成这一活动的过程中，会发现“1”无处安放，自然而然地就会体会到“1既不是质数也不是合数”的特殊性。而在放置“1”的过程中，又将质数和合数置于自然数这个更大的集合圈内，最后完成100以内质数表的寻找。学生采用不同方法筛查的过程，既是对概念的进一步内化，又是对逻辑推理能力的提升。同时，学生对“筛法”这一数论中的初等方法也有所了解，助力其建构完整的概念体系。

［练习3］（1）下面的说法对吗？说一说你的理由。

①所有的奇数都是质数，所有的偶数都是合数。（）

②自然数不是质数就是合数。（）

③一个合数的因数一定比质数的因数多。（）

（2）把下列偶数写成两个质数相加的形式。

10=（ ）+（ ） 16=（ ）+（ ）

24=（）+（）

（3）猜一猜。

老师的电话号码是由11个数字组成的：

第一个数字和第九个数字相同，且既不是质数也不是合数；

第二个数字和第十个数字是最小的既是奇数又是质数的数；

第三个数字是两个连续质数的积；

第四个数字和第六个数字既是质数又是偶数；

第五个数字既是奇数又是合数；

第七个数字和第十一个数字既是质数又是5的倍数；

第八个数字是10以内最大的质数。

［布置时机］概念的巩固应用环节。

课程标准指出，学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的。教学中，教师设计富有层次、充满趣味的练习，能让学生以积极的心态、饱满的热情投入学习中，同化并积极建构新知识。因此，在这个环节，笔者既设计有基础性的巩固练习，又设计有富有挑战性的能力提升练习，同时注重从学生的心理需求出发，赋予原本枯燥乏味的数学练习以生动、有趣的故事情境或现实意义。其中，判断说理的练习就是一项基础性的巩固练习。学生判断的过程，实际就是概念辨析、同化的过程，也是一个推理的过程。学生在完成这项练习的过程中，能感受到数学的严谨性，使逻辑推理能力得到有效提升。把一个偶数写成两个质数相加的练习，源于被誉为“数学皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想，也是至今未解的数学难题。学生完成练习的同时，成就感也会油然而生，也许在不经意间，继续探究的种子也会在学生的心中悄然生根发芽。而猜老师电话号码的练习，则很好地把原本枯燥乏味的数学练习放置到新颖、有趣的现实情境中，从而使静态的数学知识变为动态的数学活动。显然，这样的数学学习才是充满活力的，富有生命力的。

［练习4］请你根据自己的喜好，从下列问题中任选一项并完成。

（1）你能将一个合数分解成几个质数相乘的形式吗？选择几个合数试试看，并说说你完成的过程。

（2）请你运用质数和合数的相关知识，选择家里任意一人的电话号码，改编成有趣的数学问题，让同学猜一猜。

（3）请发挥你的想象，给质数和合数画一幅“肖像”或者编一则关于二者的小故事。

［布置时机］课后。

课后练习既有巩固当堂知识的短期作用，也具有发展学生数学能力的长远价值，是课堂教学的巩固和延伸，甚至是课堂教学的极尽升华。“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上有不同的发展”的课程理念，也召唤着教师要着眼于以学生的发展为方向，并根据学生的个性、认知水平、学习能力的差异，设计不同层次的练习内容，使练习能够启发学生思维的发展，使不同层次的学生的学习都能在原有基础上获得最大限度的发展。上述3个问题中，将合数分解成质数相乘的形式既是对本节课知识的巩固，又是本节课知识的延伸和再生长；依据电话号码创编数学问题的练习，则需要学生的思维上升到更高的维度，通过逆向思维给每一个数定性、重组；给质数和合数画“肖像”或编故事的练习，既充满了趣味性，又具备一定挑战性，需要学生综合美术、语文等学科知识，用奇妙的想象力对认知的概念进行描绘，这实际是提升学生综合能力的拓展训练。3个问题形式不同、侧重不同，具有自主选择性，既给了学生自主发展的空间，又能让不同层次的学生“跳一跳，摘得到”，实现个性化发展。

三、反思收获

得法于课内，得益于课外。通过对“质数和合数”一课的实践探索，笔者认为，聚焦课内、外练习设计，强化课堂主阵地作用，可促进学生深度学习，实现减负增效的作用，在以人为本的新的教育观下具有重要的现实意义。作为教师，我们要不断加强对课内、外练习设计有效性的研究，让学生在做练习的过程中体验成功的喜悦，享受成长的乐趣，点燃生命的火花。

1.练习的内涵要丰富。既要具备巩固基础知识，掌握基本技能，形成数学思想方法，积累基本活动经验等方面的功能效应，又要具有学习兴趣培养、核心素养提升、健康人格形成以及思维可持续发展等方面的内涵价值。

2.练习的形式要多样。可以是书面型练习，也可以是实践型练习；可以是游戏型练习，也可以是实验型练习；可以是观察型练习，也可以是调查型练习；可以是问题型练习，也可以是专题型练习；可以是探究型练习，也可以是综合型练习等。只有通过丰富的练习形式，才能真正让学生从重复、机械、单一、封闭的低效练习中解放出来。

3.练习的时机要得当。要根据不同的知识，不同的学习时段，设计不同的练习，让学生练到点子上，练在易混易错处，练在思维困顿时，如此方能真正让练习成为撬动学生深度学习的杠杆。

4.练习的内容要开放。既要设计灵活性、探究性强的练习，让学生在“多种解法”或“多种答案”中灵活运用知识，增强创新意识和能力，又要设计跨学科综合性练习，给学生创设更为广阔的思维空间，发展数学丰富的内涵，让学生在综合运用各种学科知识的过程中领略数学的魅力。