从教学架构与瓶颈突破谈数学思想方法教学

江苏扬州市维扬实验小学（225000）张 芳

数学思想方法对学生数学学习的重要性不言而喻。有人说数学思想方法是数学的灵魂，它犹如一只“看不见的手”，始终牵引着学生的数学学习。应当说这样的评价还是非常中肯的。小学数学教学历来重视思想方法的教学，尤其是在课程改革之后，在三维目标当中明确了“过程与方法”这一目标，这里所说的方法对数学学科而言就是数学思想方法。在课程改革的推进中，核心素养以及数学学科核心素养又代表着数学教学的目标与方向。在数学学科核心素养（此处借鉴其他学段的数学学科核心素养来理解）当中，有多个组成要素，如数学抽象、逻辑推理及数学建模中都蕴含着丰富的数学思想方法。因此，当下的小学数学教学，必须重视数学思想方法的价值，要在具体的教学过程中，让学生对这些数学思想方法有充分的体验。只有有了充分的体验，学生的数学学习才是完整的，数学教学的目标才能够有效达成。

从实际教学来看，尽管数学思想方法是数学教学历来所重视的，但是在实际教学中又存在“两张皮”的现象：一方面，教师都认识到数学思想方法是重要的，在教学研讨交流以及论文当中也都强调数学思想方法的重要性；另一方面，部分教师在实际教学时总认为思想方法是“虚”的，他们更重视“实”的数学知识教学，从而轻视数学思想方法的渗透、启迪。教学数学思想方法似乎缺乏一个有力抓手，因此，应当处于“核心地位”的数学思想方法的教学却始终处于教学的“边缘地带”。如何有效地架构数学思想方法的教学体系，突破数学思想方法传统教学的瓶颈，是教师教学中要研究的一个重要课题。

研究这个课题，离不开对教学架构的理解，尤其是在理解的过程中，对数学思想方法教学所面临的困境的判断。只有明确了困境所在，才能发现教学的瓶颈，也才能寻找到有效的突破途径。

一、序列性：觅得数学思想方法的踪影

序列性是一种非常重要的数学思想方法的教学思路，如果说传统的教学只侧重于学生对数学思想方法的体验的话，那序列性的教学思路要求的是，学生既对数学思想方法进行体验，同时也对这些数学思想方法进行比较。相比较而言，这一教学思路更能够深化学生对数学思想方法的认知，更能够让学生在比较的过程中认识到数学思想方法的运用情境与技巧等。根据序列性的教学思路，数学思想方法的教学，首先要求教师深度解读教材，从中梳理、发掘出序列性的数学思想方法。如此，数学思想方法的教学就能前有铺垫、渗透，后有巩固、拓展。一方面，教师应当多层次审视，让数学思想方法清晰地展现；另一方面，数学思想方法的渗透、铺垫、教学不宜采用“直入式”“告诉式”等教学方式，而应加强引导，加强启迪，从而真真正正让数学思想方法的教学落地生根。

在数学教学中，教师要循序渐进地发掘数学思想方法可以分成板块来进行研究，比如“数与代数”领域有哪些数学思想方法，“图形与几何”领域有哪些数学思想方法，“统计与概率”领域有哪些数学思想方法，等等。不仅如此，教师还要深度研究同样的数学思想方法在不同的学段、不同的年级、不同的知识领域有着怎样的应用。以“极限思想”的序列化教学为例，过去，教师往往认为小学低年级学段没有知识点可以渗透极限思想，不像在小学高年级学段学习“圆的周长”“圆的面积”等相关知识时会有“化曲为直”“化圆为方”等极限思想。其实不然，极限思想在小学阶段的教学应当是一以贯之的，应当是富有序列性的。比如在小学低年级学段，学生学习自然数、整数等，教师就可以利用数轴让学生不但认识数本身，而且认识数与数之间的关系。学生在寻找最大的数的过程中，通过数轴的无限延伸，能感悟到极限思想。再比如，学生在学习小数、分数时，教师可以引导学生将整数“1”平均分成10份、100份、1000份等，在这个过程中，学生能感受、体验到极限思想。尤其是在教学无限循环小数时，教师更是可以让学生感受、体验无限逼近的数学思想方法。

序列性，不仅仅要求教师将数学思想方法融入自己的日常教学中，更要求教师对每一个数学知识点用恰当的方式、创造合适的机会，去渗透、提炼、提升对应的数学思想方法。由于数学思想方法在教材中是隐蔽的，这就要求教师相机、有序，以及分层次、分阶段地渗透数学思想方法，并适当地进行点拨、提升。如此，学生方能觅得数学思想方法的踪影。

二、结构性：打通数学思想方法的关节

和数学知识一样，数学思想方法也是具有结构性的，也就是说，不同的数学思想方法之间是彼此相关联的。因此，教师在数学教学中要打通数学思想方法的结构关节，让数学思想方法集约成一个系统的整体。教学中，教师要寻求不同的数学知识、规律之中的相同思想诉求。比如转化思想是一种普适性的数学思想，往往和数形结合思想、假设思想等数学思想方法交织在一起。同样，对于某一个知识点，往往会涉及许多的数学思想方法。显然，数学思想方法所表现出来的结构性，意味着在具体的教学过程中数学思想方法的渗透不是孤立的，应当是系统的、关联的、有结构的。当多种数学思想方法同时出现在一个学习情境中时，教师要分清楚主次，用核心的数学思想方法带动相关联的数学思想方法，这样学生在这一学习情境中就能够体验到多种数学思想方法的运用，从而收获整体性的理解。

比如教学北师大版教材四年级下册的“平均数”，不仅要让学生理解统计量的意义，还要引导学生学会求平均数。一种方法是引导学生去“匀”，即“移多补少”；另一种方法是让学生“先求和，再平均分”。在这个过程中，教师可以渗透多样化的数学思想方法，如估算、估测等思想方法。教师还可以引导学生画出条形图，将数与形结合起来。教学中，教师甚至可以改变某组数据中的一个数据，让学生再次计算平均数，从而让学生感受、体验到“平均数作为反映一组数据整体水平的统计量，受到一组数据中的每一个数据的影响”。这样的一种估算、估测思想，这样的一种数形结合思想，这样的一种动态关联的思想，这样的一种归纳、抽象、建模的数学思想，是学习平均数这样的统计量时，整体体验到的。学生可以借用不同的数学思想方法相互印证，如用“估算法”等进行验证，再用“数形结合”的思想方法进行验证等。

这样的一个教学过程，数学思想方法主要体现在科学的教学结构上。从教学设计来看，教师先引导学生理解统计量的意义，然后引导学生掌握求平均数的方法，这实际上是一个理论与实践相结合的教学过程，良好的教学结构，会让学生知其然且知其所以然。与此同时，这个教学过程中所渗透的估算、估测及数形结合等思想方法，可以实现在良好的教学结构当中向学生进行有效的渗透。这样教学，学生所理解到的数学思想方法就不再是抽象的、由文字描述的思想方法，而是在体验过程中领悟、在领悟之后能够反哺运用的思想方法。实际上，在数学教学中，数学思想方法往往不是独立的，而是相互交织在一起的。作为教师，就要引导学生在数学学习中找到数学思想方法之间的关联，让数学思想方法能够有效地渗透在学生的学习过程中，而且能够得到灵活、灵动、多元地运用。教师要从整体着眼、从关联入手、从思维发力，进而助推、延伸学生的数学学习。若能引导学生数学思想方法的学习从“平面铺陈”向“立体建构”“立体运用”转变，就能有效促进学生数学核心素养的发展。

三、本源性：追寻数学思想方法的原点

思想与观念是相通的，属于抽象、顶层的观念。人们常说，数学思想方法是数学之“根”。事实上，每一种数学思想方法都有其逻辑起点，也都有其思维起点。在数学教学中，教师不仅要引导学生接触、感受、体验数学思想，还要引导学生追寻数学思想的本源，让学生揭开数学思想方法的神秘面纱，认识到数学思想方法的生长点。有了这样的思路，那么学生在感受数学思想方法时，就能够知其然且知其所以然了。这对小学生而言是非常重要的，学生在数学学习的初始阶段就能够对数学思想方法形成比较深刻的理解，对他们今后的数学学习而言，有着非常重要的意义。回到起点，回到原点，追溯数学知识的本源，就能提升学生的数学学习力。

教育家弗赖登塔尔曾说：“将数学作为一个现成的产品来教，只是一种模仿的数学。而将之作为一种‘再创造’的过程来教，就是一种发现的数学。”弗赖登塔尔还曾说：“泄露一个可以由学生自己发现的秘密，那是坏的教学方法，甚至是一种罪恶。”可见，数学思想方法的教学也不应是说教式的，而应由教师进行启迪，让学生自主建构、感悟。教师要将数学思想方法作为一种“本源的方法”“原初的方法”来进行教学。比如教学北师大版教材六年级上册“圆的认识”时，笔者首先组织了一个小组活动，让学生分成男女两组进行画圆比赛，给男生组提供的工具是橡皮筋，给女生组提供的工具是绳子。活动中，笔者引导学生感悟“圆就是到定点的距离等于定长的所有点的集合”，感受“圆，一中同长”的哲理。教学中，笔者还从正四边形、正八边形等正多边形入手，利用多媒体动态演示正多边形逐渐转化为圆的过程。通过这样的演示，学生深刻感受、体验到“圆出于方，方出于矩”的极限思想。教学中，教师不必“和盘托出”数学思想方法，而是引导学生在观察活动、操作活动中慢慢感悟、品味、发现。正如史宁中教授所指出的：“如果将数学思想方法的教学与具体数学知识的教学剥离开来，数学思想方法就是空洞的、抽象的，是没有价值的。只有将数学思想方法与具体的数学知识相结合，与具体的数学知识背景相结合，用数学知识来分析和解决问题，数学思想才能发挥其存在价值。”

数学思想方法的教学应当“隐藏”起来，采用“随风潜入夜，润物细无声”的教学方式。在教学中追寻、追溯数学思想方法的本源，就是要加强数学思想方法的渗透，弥合数学思想方法教学的断层，让数学思想方法的教学能切入学生数学学习的“最近发展区”。这是一个非常重要的教学思路，尽管数学思想方法的作用非常关键，但是这并不意味着数学思想方法就应当成为显性的教学内容，为了让数学知识的建构过程更符合学生的学习需要，用数学思想方法来驱动知识的发生是必要的，这种必要性并不能否定数学知识教学的显性特征，也不能让数学思想方法的教学变得标签化。让学生在建构数学知识的过程中体验数学思想方法的运用，才是科学合理的教学思路。

需要再次强调的是，数学的思想方法是有“根”的。作为教师，就是要挖掘数学思想方法的根，包括源于数学的生长之根、源于学生生活的经验之根等。只有通过追寻、追溯数学思想方法之根，才能让数学思想方法以更加鲜活的姿态呈现给学生。

总而言之，在数学教学中，探寻数学思想方法的有序性、结构性和本源性，能让学生全面而深刻地感悟数学思想方法的内涵、意义和价值。回到数学思想方法来进行数学教学，能改变数学教学的“无根状态”。在数学教学中，教师要对教材中的知识进行深度发掘，要根据学生的认知水平选择合适的教学方式，从而让学生受到数学思想方法的熏陶，领略到数学思想方法的魅力。