数学运算视角下的原创试题命制——一道命题征集活动试题命制过程与感悟

湖南 周志刚 谭宏志

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，而运算推理是重要的研究方法，数学运算在高中数学教学中具有重要价值，它在发展学生理性思维和培育学生思维能力中具有不可替代的作用.《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称《课程标准》)指出，数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程,主要包括：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果.它是发现数学规律的重要工具,解决数学问题的基本手段,培养学生严格推理的重要途径.数学运算是函数与导数板块内容教学中应重点培养的核心素养之一,下面就笔者参与《教学考试》杂志社的命题征集活动中命制的一道函数与导数综合题的命制历程，与同行交流.

一、试题呈现与分析

【试题】已知函数f(x)=xlnx-(a+1)x+ea.

(1)当a>0时，求f(x)在(1,+∞)上的最小值；

(2)若不等式f(x)≤(x-a-2)ex-1+ea对x∈[1,+∞)恒成立，求a的取值范围.

1.试题考查意图

本题以函数为背景，以导数为工具，考查了函数与导数的综合问题，具体考查利用导数研究函数的最值及不等式恒成立问题，考查了数学建模中的同构思想，考查运算求解能力、抽象概括能力及化归与转化思想，落实数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养.

2.试题解法分析

第(1)问思路：通过求导，研究函数的极值，从而求出函数的最值；

第(2)问思路：不等式恒成立问题有两种常规处理方法：(ⅰ)参变分离后转化为求函数的最值；(ⅱ)构造相应的函数，通过对参数的分类讨论，求出参数取值范围，而本题第(2)问采用将两边式子转化为相同结构后，利用同构思想转化为研究函数的单调性，从而求出参数取值范围.

解析：(1)依题意，f′(x)=lnx-a，令f′(x)=0，解得x=ea，因为a>0，所以ea>1，当1ea时，f′(x)>0，所以f(x)的最小值为f(ea)=ealnea-(a+1)ea+ea=0.

(2)解法一：由已知f(x)≤(x-a-2)ex-1+ea，

得xlnx-(a+1)x+ea≤(x-a-2)ex-1+ea

即xlnx-(a+1)x+ea≤(x-1)ex-1-(a+1)ex-1+ea=ex-1lnex-1-(a+1)ex-1+ea，

即f(x)≤f(ex-1)，因为ex-1≥x对一切实数恒成立，所以要使不等式f(x)≤f(ex-1)成立，

只需f(x)在[1,+∞)上单调递增，又f′(x)=lnx-a，所以lnx-a≥0，即a≤lnx对x∈[1,+∞)恒成立，所以a≤(lnx)min=ln1=0，所以a≤0.

解法二：由已知f(x)≤(x-a-2)ex-1+ea，

得(x-a-2)ex-1-xlnx+(a+1)x≥0,

对x∈[1,+∞)恒成立，取x=e代入得，

令g(x)=(x-a-2)ex-1-xlnx+(a+1)x,x∈[1,+∞),g(1)=0.

g′(x)=(x-a-1)ex-1-lnx+a,显然g′(1)=0，

h′(x)单调递增，令h′(1)≥0，解得a≤0，

当a≤0时，对x∈[1,+∞)，h′(x)≥h′(1)≥0，于是h(x)在[1,+∞)上单调递增，

又h(x)≥h(1)=0，所以g(x)在[1,+∞)上单调递增，所以g(x)≥g(0)=0，

即(x-a-2)ex-1-xlnx+(a+1)x≥0.

当a>0时，存在x0∈(1,+∞)使得h′(x0)=0，

因为当1x0时，h′(x)>0，所以h(x)有最小值h(x0)，且h(x0)

综上,a的取值范围为(-∞,0].

二、试题命制立意

1.明确考查知识

根据预先制定的双向细目标，明确了考查的必备知识为函数与导数及其应用，具体考查的内容是利用导数研究函数单调性与极值(或最值)，并据此解决函数与方程和不等式有关的问题.

2.预设度量难度

根据命题构想，本题作为考试试卷的第20题，难度系数控制在0.35，具有一定的区分度，属于试卷中等偏难题.

3.明确考查能力

本题主要考查运算求解能力、抽象概括能力以及在处理数学对象时构建数学模型的能力.

4.明确考查思想

在解决函数与导数问题中，函数与方程、分类讨论、化归与转化、数形结合思想往往会同时体现，本题在命制中明确将构建数学模型的同构思想作为考查的重点，着重考查函数与方程，化归与转化思想.

三、试题命制历程

1.试题背景

本题的试题素材来自于厦门大学研究生入学考试题：

ey+xlnx-x-xy≥0(x≥1,y≥0).

2.试题加工与完善

原题是双变量构成的二元不等式，笔者以该二元不等式左边为目标，预设变量x为主元，y为参数，于是得到原型函数f(x)=xlnx-(a+1)x+ea，再结合命题立意的要求，形成了第一稿：

已知函数f(x)=xlnx-(a+1)x+ea(a>0).

(1)求f(x)在(1,+∞)上的最小值；

(2)若不等式f(x)≤(x-a)ex-1+ea对x∈[e,+∞)恒成立，求a的取值范围.

但是在笔者解析过程中发现第二问由不等式求参数取值范围时，不利于下一步的计算，于是对函数进行调整，并形成了第二稿：

已知函数f(x)=xlnx-(a+1)x+ea(a>0).

(1)求f(x)在(1,+∞)上的最小值；

(2)若不等式f(x)≤(x-a-2)ex-1+ea对x∈[e,+∞)恒成立，求a的取值范围.

调整后第二问的解析：

由已知f(x)≤(x-a-2)ex-1+ea，

得xlnx-(a+1)x+ea≤(x-a-2)ex-1+ea

即xlnx-(a+1)x+ea≤(x-1)ex-1-(a+1)ex-1+ea=ex-1lnex-1-(a+1)ex-1+ea，

即f(x)≤f(ex-1)，因为ex-1≥x对一切实数恒成立，所以要使不等式f(x)≤f(ex-1)恒成立，

只需f(x)在[e,+∞)上单调递增，又f′(x)=lnx-a，所以lnx-a≥0，即a≤lnx对x∈[e,+∞)恒成立，

所以a≤(lnx)min=lne=1，所以0

考虑其中ex-1≥x对一切实数恒成立.但是当x=e时等号不成立，学生解题方法会因此受限，于是笔者进一步修改自变量的范围形成了第三稿：

已知函数f(x)=xlnx-(a+1)x+ea.

(1)当a>0时，求f(x)在(1,+∞)上的最小值；

(2)若不等式f(x)≤(x-a-2)ex-1+ea对x∈[1,+∞)恒成立，求a的取值范围.

这也是最终形成的定稿.

四、命题感悟

1.试题亮点

回顾试题命制过程，注重知识与方法，能力与素养的并重，体现了新高考命题的方向，主要有以下几个亮点：(1)素材选择来源于研究生考试试题，体现高考为大学选拔人才的功能，经过深加工后的函数模型是对数型函数，贴近高考，学生易于接受；(2)重视数学运算核心素养的考查，试题第(1)问属于常规考查，难度适中，大部分学生均可顺利完成，第(2)问通过改变参数与取值范围，让学生可从不同角度与方法解决，淡化技巧，注重通性通法，注重对主干知识的考试，突出数学本质；(3)注重数学思想的考查，本题考查的函数与方程、化归与转化思想均为高中数学重要的数学思想，基于构建数学模型的同构思想是最大亮点；(4)命题中笔者严格遵循《课程标准》中的高考命题建议，同时兼顾当前学校学生的学情，试题有梯度，有人文关怀.

2.命题感悟

通过本次原创试题命制，笔者有以下几点感悟：

(1)遵循标准，体现精神

命题是为选拔人才服务，所命试题要符合《课程标准》要求，体现高中数学的育人导向，培育科学精神和创新意识.

(2)精选素材，体现功能

命题要精选素材，好的素材是命制好试题的基础，教师应该在平时广泛阅读，留心积累，认真研究教材与高考真题，对于竞赛题和大学试题也可尝试了解研究，选好素材后，在命制过程中要体现考试的核心功能，坚持素养导向，能力为重的原则.

(3)兼顾学情，体现素养