再探抛物线中的“蝴蝶之谜”

万建光 李佳一

(湖北省武汉市吴家山第三中学,430040) (湖北省襄阳市第一中学,441099)

袁晶老师在文[1]中给出的抛物线中的“蝴蝶之谜”是由圆中的蝴蝶定理类比而来,并给出了两种方法解开了其中的奥秘.抛物线也是一种轴对称图形,能否有更一般性的结论?有没有其他更加简捷易懂的解法?图形中还有哪些结论?笔者为此深入探究,发现原文中的焦点F的位置可以更一般化,只需满足在抛物线的对称轴上即可.现将相应的结论及其推广整理成文,与读者分享.

结论1如图1,过点F(0,m)任意作两条弦分别与抛物线y=ax2(a>0)交于点A,B,C,D,连结AC,BD交直线y=m于M,N两点,则点M,N关于点F对称.

证明不妨设直线AB的方程为y=k1x+m,设点A,B,C,D的横坐标分别为xA，xB,xC,xD.

评注这种证法借助几何直观,将抛物线上点的坐标的关系显性化,不仅避免了复杂的计算,而且可以领略图形的简洁美和结论的奇异美.

如图3,若连结AD,BC,又见蝴蝶翩翩起舞,用同样的思路继续研究,不难继续推广得到抛物线中隐含的另一个重要结论:

结论2如图3,过点F(0,m)任意作两条

弦分别与抛物线y=ax2(a>0)交于点A,B,C,D,连结AD,BC分别交y轴于G,H两点,设点A,B,C,D的横坐标分别为xA,xB,xC,xD.则有

由直线AB，CD交y轴于点F(0,m)，可得到m=-axAxB=-axCxD；由直线AD，BC分别交y轴于点G，H，可得到yG=-axAxD,yH=-axBxC.