培养问题表征能力 提升数学核心素养

韩秀平

(上海市松江第一中学,201600)

“表征”在我国《辞海》中的释义为“揭示;阐明”.在学科教育中,“表征”不能简单地理解为揭示、复述客观信息,还应当包括对客观信息进行加工的再呈现.那么,数学问题的表征能力也就可以理解为在解决数学问题的过程中,个体以其经验、知识储备等自身要素为基础,在接收数学问题中的客观信息后进行加工并将之呈现于头脑中的能力.数学问题表征是解决数学问题的前提条件,个体对问题表征的准确、多元、发散的程度对解决问题有至关重要的影响.《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》提出,要注重培养学生包括数学建模、数学运算、数据分析等六大数学学科核心素养.核心素养的培养覆盖了解决数学问题的全部环节,故对学生个体的数学表征能力亦提出较高的要求.

对数学问题进行准确、适当地表征可以有效推进解题,而错误、不当地表征则会阻碍解题思路.这种“错误、不当”主要体现在概念不清、遗漏隐含条件等,从而导致解题的失败.针对上述主要表征失误,结合培养学生核心素养的新要求,可采取以下教学策略.

一、准确引导,充分认识问题

阅读理解题干是解题的起点,也是为准确地表征问题而收集客观信息即“原料信息”的重要一步.在课堂教学中,要引导学生充分全面地去认识问题,包括收集问题的全部要素、挖掘隐藏条件、探索问题本质等,防止因学生审题不清、遗漏重要信息而解题失败.

思路1因为数列{an}是严格增数列,所以函数f(x)只需要满足每一段上是严格增数列,且保证连接处也是严格增数列即可,故得

思路2因为数列{an}是严格增数列,所以只需要满足每一段上是严格增数列.因为数列中的n的取值为n≥1,n∈N,所有第一段时只需要第五项比第四项大即可,而连接处只要第六项大于第五项即可,故得

思路1的主要问题是没有注意到条件n≥1,n∈N,遗漏这一条件会导致不同的解题思路,从而产生错误.面对较为复杂、繁琐的问题,学生往往并不是一开始就能准确进行问题表征,所以在平时教学中,应注重培养学生在解题活动中的自我监控意识和元认知能力.要鼓励学生在解题遇到阻碍时,随时回到问题中去进行审查,并作出相应的修正和调整,直至找到准确且适当的表征形式.

二、强化训练,准确加工转化

在全面认识理解问题信息后,需要搜寻自身与之相关联的经验、知识点(即“配料信息”),将相关联的“原料信息”与“配料信息”建立起连接,共同完成匹配环节.只不过有时两者的关系明显,有时需要深入观察思考才能发现内在联系.要有意识地引导学生在表征问题的过程中进行转化,完成加工环节.比如几何表征与代数表征相互转化或者语言表征与情境表征相互转化的情况,实现化繁为简，找到解题的突破口.

例2已知实数x，y满足x2+y2-4y+3=0,则x2+y2的取值范围是______.

代数表征:因为x2+y2-4y+3=0得x2=-(y2-4y+3)且x2≥0得1≤y≤3，所以x2+y2=-(y2-4y+3)+y2=4y-3,1≤y≤3,则1≤x2+y2≤9.

几何表征:x2+y2表示圆C:x2+(y-2)2=1上任意一点P(x,y)到原点O(0,0)距离的平方,所以|OP|max=|OC|+r=3,|OP|min=|OC|-r=1,则1≤x2+y2≤9.

面对关联度不明显或者联系隐含较强的数学问题,要针对此类题型加强训练,让学生熟练运用各种表征形式，抓住此类问题的本质,积累经验,灵活转化.

三、创设情境,培养多元意识

1.多种表征形式之间的相互转化

不同的表征形式是为了对概念或者问题进行不同的解释,即从不同角度、不同视觉阐述其本质.为此,常常需要在某一数学概念的教学中引入多种表征方式.

本题求解的关键是建立不等式,结合解决最值问题常见的形式,引导学生可通过代数计算、方程、换元、三角函数等方式来表征问题,形成灵活多样的表征方式,最终实现方法的优化选择.

2.以问题链为载体,加强表征能力培养

问题链的方法是以问题为导向,在提出问题、分析问题、解决问题的循环逻辑中加深对数学概念的理解,找到数学题目的解答方法.问题链以问题为核心,以设计多层次、多角度的问题为表现形式,由浅入深、由表及里,循序渐进地推进学生的思维进程,即问题表征的进程,以此加深理解数学概念,达到最终的教学目的.

例4已知函数f(x)=x|2x-a|-1有三个零点,则实数a的取值范围是______.

题目的题干是比较简单的,但学生拿到这个题目后往往无从下手,对学生的思维能力要求是比较高.可以利用问题链的形式,将此题进行有效转化,让学生逐步理解这个问题所涉及的考点．

问题1若方程x(a-2x)=1有两个不等实根,则实数a的取值范围是______.

问题2若方程x(a-2x)=1有两个不等正实根,则实数a的取值范围是______.

笛卡尔说过:“我所解决的每一个问题,都将成为范例,这些范例有助于其他问题的解决”,这正是数学表征问题所具备的意义之一.首先,准确适当的数学问题表征是成功解题的第一步,有利于学生能够从本质上理解数学概念；其次,问题表征可以提升学生的思维品质,推动其对问题条件进行深入加工,并培养逻辑推理、数学抽象等核心素养；最后,运用问题表征成功解题后的反思、整理和归纳,学生个体能够有效掌握表征规律,并内化为自身的解题经验和知识结构,进而构建自己的知识体系.因此，在平时的教学中,教师要给学生创造表征问题的机会和平台,帮助学生丰富数学知识储备库和活动经验,从整体上识别问题,提升思维能力、优化思维方式,切实提升解决问题能力,进而提升其数学核心素养.