基于皮亚杰认知发展观的概念建构——以圆锥曲线相关概念为例

张晓梅 周仕荣

(闽南师范大学数学与统计学院,363000)

按照经验主义的理论,数学概念的形成本应该是生动活泼有趣,且在教师的帮助引导下,学生凭借自己的直观经验感知来创造数学．此外,课标指出:高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向,提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式,激发学习数学的兴趣,养成良好的学习习惯,促进学生实践能力和创新意识的发展[1]．皮亚杰认为青少年思维发展是有迹可循的,在具体运算与形式运算两个阶段之间存在着一个质变过程.因此，要妥善运用这个关键期,顺应学生的发展规律,有意识地培养学生学习构建新概念的知识框架体系,这对于学生形式运算阶段的发展能够起到很好的协助促进作用．

本文以圆锥曲线为例,基于皮亚杰认知建构主义发展观，对数学概念建构进行探索．

一、皮亚杰认知发展观融入数学概念建构的途径

数学概念常用的教学方法多为直接讲解输出法.为了让学生尽快地掌握圆锥曲线的解题技巧和方法,教师往往直接给出概念让学生机械记忆,这大大忽视了圆锥曲线有关概念的建构形成过程[2]．这种为了应试教育而进行的教学,学习者无法实现对概念之间进行深层次的理解和联系．

根据皮亚杰的认知发展观,人的认知发展就是所谓的“建构”过程,通过不断丰富完善达到结果图式.在这个过程中,“同化”和“顺应”起着不可或缺的关键作用．同化是把新刺激纳入主体已有的图式之内,起到丰富加强主体的作用,此时会引起图式量变;顺应则是改变已有图式或形成新图式来适应新刺激的认知过程,也就是主体原有的图式不能同化客体,必须调整原有图式或建立新图式,此时图式发生质变[3]．基于皮亚杰认知建构主义发展观理论,在认真钻研教材的基础上,知悉教材中概念之间蕴含的联系与区别,精心设计教学活动,重视利用“同化——顺应”方法性概念建构,最后用问题来巩固知识点,组织好教学活动形成完整的概念建构环节．

1.基于“同化”的概念建构

“同化”是指在学习一个新知识时,逐渐把这个新刺激纳入个体已有认知结构中,但此时个体头脑中的信息并没有发生质变．好比“水果”认知结构中包含草莓、葡萄等,那么对于西瓜这一新刺激,可以不改变原来的图式而直接归纳入水果的认知结构中,此过程方式即为同化．同化对于新概念的理解和接收都有着十分重要的意义,学生通过将新知识与原有知识进行比较联合后,能够初步形成新概念的知识框架,但原本脑中的图式信息没有发生质变．

例如学生在学习抛物线之前,已经初步掌握椭圆、双曲线的有关概念和性质,能够谙熟圆锥曲线概念的建构形成过程．抛物线是日常生活中常见的曲线,例如投掷铅球的轨迹路线、卫星接收天线等都是抛物拱的一部分．

在讲解抛物线概念时,通过建构合适的问题情境,介绍卫星接收天线、汽车车灯等光学性质,从而给予学生开拓思维的学习动机．以卫星接收天线为例,其接收面是类似于碗一般具有对称性的曲面——抛物面,抛物面的轴截面是抛物线的一部分．将平行于抛物线轴的光线射入抛物线内部,根据光学反射与数学对称性质知,所有的反射光线都会聚焦于轴上一点,称此点为“焦点”并设为点F,可以简单理解为把所有光线都聚焦于此点,从而达到更好地接收外来信号的目的．与此相反(图1),焦点F发出的光线也会经抛物线上点的反射,同理可得最后反射光线会以平行于轴的方向射出,如射线PM．与此同时,光源F关于抛物线上过点P的切线会存在一个虚光源F′．此处设疑:若当点P取遍抛物线上的所有点时,对应虚光源F′的点构成什么图形?画图思考得到虚光源F′的轨迹是一条垂直于对称轴的直线,称此直线为“准线”并设为直线l[2]．经过以上问题情境的分析探索,得出抛物线焦点与准线概念的由来．

结合已学过圆锥曲线知识,引导学生讨论发现:若规定动点P到定点F的距离与点P到定直线l(不经过点F)的距离之比设为e．那么，当01时,点P的轨迹为双曲线;当e=1时,点P的轨迹就是抛物线．由此,学生头脑中原有的圆锥曲线框架会有所改变,抛物线概念这一新刺激会被纳入同化到个体已有的认知结构内,完善圆锥曲线的结构体系．同化能够帮助学生将抛物线的概念和方程归入圆锥曲线的相关范畴,从而在面对较难的知识点时能够做到不陌生不抗拒,进而为后续抛物线的对称性、离心率等几何性质的学习能有更好的辅助作用．

2.基于“顺应”的概念建构

“顺应”是指不能将新刺激纳入已有图式,需改变原有图式或建立新图式以适应新刺激的认知过程,此时图式出现质变．这就好比水果的认知结构中包含草莓、葡萄等,那么对于生菜这一新刺激是无法归纳为水果的分支,此时就需要重新建立一个“蔬菜”的认知结构来适应新刺激“生菜”,如此改变已有图式,原来的图式发生质变．诚然,顺应是同化的另外一种认知方式,当同化解决不了个体将新知识纳入原有知识框架时,顺应就起到重要的作用．

根据人教A版普通高中选择性必修第1册中知识点的编排,学完直线和圆的方程这一章节以后则会进入圆锥曲线的学习．学生之前对于圆锥曲线的知识少有涉猎,编排者依托循序渐进的原则,椭圆为紧跟圆后圆锥曲线的第一部分．此处先给出两者的定义:平面上到定点的距离等于定长的点的集合为圆;平面内到两定点F1,F2的距离之和等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的集合叫做椭圆．

在学习椭圆的知识之前,学生会认为椭圆与圆的概念类似,应该会同属于圆形这一解析几何结构内,但其实不然,如此反转势必会激发起学生的学习兴趣和探究动力．通过椭圆形成的动画展示，学生探索椭圆定义由来，教师教授椭圆本质属性后,引导学生从其他维度分析椭圆的根本性质,辨析椭圆与圆的本质区别．随着学习的深入,学生会发现此“椭圆”非彼“圆”,它们还是存在着很多不同点．要帮助学生将椭圆这个新刺激脱离圆而抽象出一个新的图式,从而建立一个新的知识框架——圆锥曲线．圆锥曲线概念的建立是学生数学抽象能力提升的重大表现,此时学生能够在已有数学知识的基础上,面对新的概念有自己一套的理解分类方式,构建相关数学知识之间的联系与区别．在这个过程中能够对学生起到深刻理解椭圆概念、提高数学抽象能力的作用．

3.基于“同化与顺应”相结合的概念建构

在日常的概念学习中,同化和顺应两者并不是相互孤立存在,往往是相互联系并存的．如图2，以圆锥曲线中“双曲线”的 概念建构为例,给出双曲线和椭圆的有关概念的.

经过剖析双曲线与椭圆两者的定义性质概念,归纳出以下结论．基于同化理论,它们都是与定点F1,F2存在某一特定关系的点集．同时,曲线上点P到点F的距离与点P到定直线l(不经过点F)的距离之比也有某一特定的比例关系．基于顺应理论,双曲线是关于轨迹上的点与两定点之间的差值等于|2a|(|2a|<|F1F2|),而椭圆则是和值等于2a(2a>|F1F2|)．此外,双曲线上的点到焦点的距离与到定直线l(不经过点F)的距离之比e>1,而椭圆则是0

可知,不论是同化还是顺应,双曲线都能以椭圆为已有知识和经验为基础进行学习,并且通过辨析两者的联系与区别,可以对双曲线的知识理解更加深刻,同时也可以对椭圆的已有知识进行系统的巩固,起到事半功倍的效果,促进学生对圆锥曲线的有效学习．

4.基于“同化与顺应”建立“图式”

同化和顺应之间的相互作用总是会满足某种协调,即适应新刺激或改变原有图式而顺应新刺激．个体的认识图式就在这种“平衡——打破平衡——再平衡”不断反复地由低级向高级的发展过程中得到发展[4]．简言之,经过“同化——顺应”多阶段的系统学习,学生逐渐建立有关概念的专属图式,“图式”是在解决相似问题时概括而成的较为固定的动作和思维模式,此过程的形成意味着学生对于概念的理解已达到比较成熟状态．

结合杜宾斯基的APOS理论,“图式阶段”的发展要经过长期的学习活动以此进一步完善,最终在头脑中形成综合的心智结构[5]．正如本文讨论的圆锥曲线有关概念图式的形成,它们之间有着千丝万缕不可分割的关系．诚如,学生在初中阶段借助几何直观定性地描述圆的概念,直至高中对圆的再学习,将圆的几何问题借助坐标系转变成方程,从而定量描述圆的有关概念,完善圆的认知结构．此后,以圆锥曲线的相关概念为中心结点建立认知框架,通过之前对圆的几何表征、定性定量分析后顺应生成椭圆概念,继而同化顺应出双曲线、抛物线等相关知识．经过以上过程,围绕圆锥曲线这个对象结点,与其他有关内容建立一定联系,逐渐形成一个相互关联的层级状认知结构,也就是“圆锥曲线”图式．因此,图式从一开始的初步形成,随着知识的增加不断受新信息的刺激反应,从而对原有图式进行加工扩充建立起有机的联系,形成一种动态的认知过程,频频精致完善，最终建立“圆锥曲线”的认知图式．

二、基于皮亚杰认知发展观的概念教学建议

1.注重问题情境创设,揭示概念形成和发展过程

数学学习切忌死记硬背公式定理,若不注重概念的形成过程,仅仅将概念如空降兵一样直接给出,只是让学生被动地接受知识,难以激发学生对数学的学习兴趣．如果注重问题情境的设置,辨析概念之间的异同,引导学生理解概念的产生同化顺应形成新的图式,则可以做到帮助学生建立认知框架以及促进学生认知发展,体现学生的主体地位．如在抛物线的教学中,通过建构合适的问题情境,介绍卫星接收天线、汽车车灯等光学性质,学生开拓思维的学习动机,使学生获得感性的体验,引发学生思考探究,从而顺利地解释概念的形成和发展过程．

2.引导学生自主探究,培养概念构建能力

探究策略是基于学生主动参加客观世界的研究,发展他们的自主探索能力．中学时期正是学生从具体运算向形式运算阶段过渡乃至后者发展的关键期,在这个阶段对学生进行抽象概念的建构教学既符合教学内容,更符合学生身心认知发展的顺序性．因此,在进行圆锥曲线的概念教学时,以引导探究的方式将知识呈现给学生,帮助学生自主探究掌握数学概念,有的放矢地引导学生建立认知图式的框架,从而获得科学探究的能力和技巧,明晰各个知识之间的联系与本质区别,培养概念构建能力,打实打牢学生的认知框架．

3.运用“同化”与“顺应”,帮助学生形成概念认知图式

结合皮亚杰的认知发展策略可知,同化和顺应都可以很好地帮助教师进行圆锥曲线概念的教学,它们都是知识构建的有效方法,但到底是选择同化还是顺应则需要根据学生已有的知识经验和数学知识本身发展脉络来仔细考虑,马虎不得．值得注意的是,同化与顺应绝不是相互独立、毫无交集的个体,在教学时应灵活运用同化和顺应两种建构方法,妥善结合两，者从而促进学生的知识接收与理解,顺利形成概念的认知图式．